2年中考1年模拟中考数学 专题25 尺规作图试题（含解析）.doc

专题25 尺规作图解读考点知识点名师点晴尺规作图尺规作图概念了解什么是尺规作图五种基本作图1画一条线段等于已知线段 会用尺规作图法完成五种基本作图，了解五种基本作图的理由，会使用精练、准确的作图语言叙述画图过程2画一个角等于已知角 3画线段的垂直平分线 4过已知点画已知直线的垂线 5画角平分线 会利用基本作图画较简单的图形1画三角形会利用基本作图画三角形较简单的图形2画圆会利用基本作图画圆2年中考【2015年题组】1（2015深圳）如图，已知abc，abbc，用尺规作图的方法在bc上取一点p，使得pa+pc=bc，则下列选项正确的是（）a b c d【答案】d考点：作图复杂作图2（2015三明）如图，在abc中，acb=90，分别以点a和b为圆心，以相同的长（大于ab）为半径作弧，两弧相交于点m和n，作直线mn交ab于点d，交bc于点e，连接cd，下列结论错误的是（）aad=bd bbd=cd ca=bed decd=edc【答案】d【解析】试题分析：mn为ab的垂直平分线，ad=bd，bde=90；acb=90，cd=bd；a+b=b+bed=90，a=bed；a60，acad，eced，ecdedc故选d考点：1作图基本作图；2线段垂直平分线的性质；3直角三角形斜边上的中线3（2015福州）如图，c，d分别是线段ab，ac的中点，分别以点c，d为圆心，bc长为半径画弧，两弧交于点m，测量amb的度数，结果为（）a80 b90 c100 d105【答案】b【解析】试题分析：如图，ab是以点c为圆心，bc长为半径的圆的直径，因为直径对的圆周角是90，所以amb=90，所以测量amb的度数，结果为90故选b考点：1等腰三角形的性质；2作图基本作图4（2015潍坊）如图，在abc中，ad平分bac，按如下步骤作图：第一步，分别以点a、d为圆心，以大于ad的长为半径在ad两侧作弧，交于两点m、n；第二步，连接mn分别交ab、ac于点e、f；第三步，连接de、df若bd=6，af=4，cd=3，则be的长是（）a2 b4 c6 d8【答案】d考点：1平行线分线段成比例；2菱形的判定与性质；3作图基本作图5（2015嘉兴）数学活动课上，四位同学围绕作图问题：“如图，已知直线l和l外一点p，用直尺和圆规作直线pq，使pql于点q”分别作出了下列四个图形其中作法错误的是（）a b c d【答案】a考点：作图基本作图6（2015衢州）数学课上，老师让学生尺规作图画rtabc，使其斜边ab=c，一条直角边bc=a小明的作法如图所示，你认为这种作法中判断acb是直角的依据是（）a勾股定理 b直径所对的圆心角是直角c勾股定理的逆定理 d90的圆周角所对的弦是直径【答案】b【解析】试题分析：由作图痕迹可以看出o为ab的中点，以o为圆心，ab为半径作圆，然后以b为圆心bc=a为半径花弧与圆o交于一点c，故acb是直径所对的圆周角，所以这种作法中判断acb是直角的依据是：直径所对的圆心角是直角故选b考点：1作图复杂作图；2勾股定理的逆定理；3圆周角定理7（2015自贡）如图，将线段ab放在边长为1的小正方形网格，点a点b均落在格点上，请用无刻度直尺在线段ab上画出点p，使ap=，并保留作图痕迹（备注：本题只是找点不是证明，只需连接一对角线就行）【答案】作图见试题解析考点：作图应用与设计作图8（2015北京市）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作法如下：老师说：“小芸的作法正确”请回答：小芸的作图依据是 【答案】到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线考点：1作图基本作图；2作图题9（2015百色）已知o为abc的外接圆，圆心o在ab上（1）在图1中，用尺规作图作bac的平分线ad交o于d（保留作图痕迹，不写作法与证明）；（2）如图2，设bac的平分线ad交bc于e，o半径为5，ac=4，连接od交bc于f求证：odbc；求ef的长【答案】（1）作图见试题解析；（2）证明见试题解析；【解析】试题分析：（1）按照作角平分线的方法作出即可；（2）由ad是bac的平分线，得到，再由垂径定理推论可得到结论；由勾股定理求得cf的长，然后根据平行线分线段成比例定理求得，即可求得，继而求得ef的长考点：1相似三角形的判定与性质；2全等三角形的判定与性质；3勾股定理；4圆周角定理；5作图复杂作图；6压轴题10（2015南京）如图，在边长为4的正方形abcd中，请画出以a为一个顶点，另外两个顶点在正方形abcd的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形（要求：只要画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3）【答案】答案见试题解析【解析】试题分析：以a为圆心，以3为半径作弧，交ad、ab两点，连接即可；连接ac，在ac上，以a为端点，截取1.5个单位，过这个点作ac的垂线，交ad、ab两点，连接即可；以a为端点在ab上截取试题解析：满足条件的所有图形如图所示：考点：1作图应用与设计作图；2等腰三角形的判定；3勾股定理；4正方形的性质；5综合题；6压轴题11（2015镇江）图是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形正八边形（1）如图，ae是o的直径，用直尺和圆规作o的内接正八边形abcdefgh（不写作法，保留作图痕迹）；（2）在（1）的前提下，连接od，已知oa=5，若扇形oad（aod180）是一个圆锥的侧面，则这个圆锥底面圆的半径等于 【答案】（1）作图见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）作ae的垂直平分线交o于c，g，作aog，eog的角平分线，分别交o于h，f，反向延长 fo，ho，分别交o于d，b顺次连接a，b，c，d，e，f，g，h，八边形abcdefgh即为所求；（2）由八边形abcdefgh是正八边形，求得aod的度数，得到的长，设这个圆锥底面圆的半径为r，根据圆的周长的公式即可求得结论试题解析：（1）如图所示，八边形abcdefgh即为所求；（2）八边形abcdefgh是正八边形，aod=3=135，oa=5，的长=，设这个圆锥底面圆的半径为r，2r=，r=，即这个圆锥底面圆的半径为故答案为：考点：1正多边形和圆；2圆锥的计算；3作图复杂作图12（2015广安）手工课上，老师要求同学们将边长为4cm的正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等）【答案】答案见试题解析（2）正方形abcd中，e、f分别是ab、bc的中点，o是ac、bd的交点，连接oe、of，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（3）正方形abcd中，f、h分别是bc、da的中点，o是ac、bd的交点，连接hf，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可；（4）正方形abcd中，e、f分别是ab、bc的中点，o是ac的中点，i是ao的中点，连接oe、ob、of，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可试题解析：根据分析，可得：考点：1作图应用与设计作图；2操作型13（2015孝感）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（）（1）用直尺和圆规作出所在圆的圆心o；（要求保留作图痕迹，不写作法）（2）若的中点c到弦ab的距离为20m，ab=80m，求所在圆的半径【答案】（1）作图见试题解析；（2）50m试题解析：（1）如图1，点o为所求；（2）连接oa，oc，oc交ab于d，如图2，c为的中点，ocab，ad=bd=ab=40，设o的半径为r，则oa=r，od=odcd=r20，在rtoad中，解得r=50，即所在圆的半径是50m考点：1作图复杂作图；2勾股定理；3垂径定理的应用；4作图题14（2015宜昌）如图，一块余料abcd，adbc，现进行如下操作：以点b为圆心，适当长为半径画弧，分别交ba，bc于点g，h；再分别以点g，h为圆心，大于gh的长为半径画弧，两弧在abc内部相交于点o，画射线bo，交ad于点e（1）求证：ab=ae；（2）若a=100，求ebc的度数【答案】（1）证明见试题解析；（2）40考点：1作图基本作图；2等腰三角形的判定与性质15（2015随州）如图，射线pa切o于点a，连接po（1）在po的上方作射线pc，使opc=opa（用尺规在原图中作，保留痕迹，不写作法），并证明pc是o的切线；（2）在（1）的条件下，若pc切o于点b，ab=ap=4，求的长【答案】（1）作图见试题解析，证明见试题解析；（2）【解析】试题分析：（1）按照作一个角等于已知角的作图方法作图即可，连接oa，作obpc，由角平分线的性质证明oa=ob即可证明pc是o的切线；（2）先证明pab是等边三角形，则apb=60，进而poa=60，在rtaop中求出oa，用弧长公式计算即可试题解析：（1）作图如右图，连接oa，过o作obpc，pa切o于点a，oapa，又opc=opa，obpc，oa=ob，即d=r，pc是o的切线；（2）pa、pc是o的切线，pa=pb，又ab=ap=4，pab是等边三角形，apb=60，aob=120，poa=60，在rtaop中，tan60=，oa=，=考点：1切线的判定与性质；2弧长的计算；3作图基本作图16（2015广州）如图，ac是o的直径，点b在o上，acb=30（1）利用尺规作abc的平分线bd，交ac于点e，交o于点d，连接cd（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，求abe与cde的面积之比【答案】（1）作图见试题解析；（2）试题解析：（1）如图所示；考点：1作图复杂作图；2圆周角定理17（2015吉林省）图，图，图都是44的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1在图，图中已画出线段ab，在图中已画出点a按下列要求画图：（1）在图中，以格点为顶点，ab为一边画一个等腰三角形；（2）在图中，以格点为顶点，ab为一边画一个正方形；（3）在图中，以点a为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析；（3）作图见试题解析【解析】试题分析：（1）根据勾股定理，结合网格结构，作出两边分别为的等腰三角形即可；（2）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出边长为的正方形；（3）根据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可试题解析：（1）如图，符合条件的c点有5个： ；（3）如图，边长为的正方形abcd的面积最大 考点：作图应用与设计作图18（2015哈尔滨）图1、图2是两张形状、大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点（1）在图1中画出等腰直角三角形mon，使点n在格点上，且mon=90；（2）在图2中以格点为顶点画一个正方形abcd，使正方形abcd面积等于（1）中等腰直角三角形mon面积的4倍，并将正方形abcd分割成以格点为顶点的四个全等的直角三角形和一个正方形，且正方形abcd面积没有剩余（画出一种即可）【答案】（1）答案见试题解析；（2）答案见试题解析试题解析：（1）如图1所示；（2）如图2、3所示；考点：作图应用与设计作图19（2015六盘水）如图，已知rtacb中，c90，bac45（1）（4分）用尺规作图，在ca的延长线上截取adab，并连接bd（不写作法，保留作图痕迹）；（2）（4分）求bdc的度数；（3）（4分）定义：在直角三角形中，一个锐角a的邻边与对边的比叫做a的余切，记作cota，即，根据定义，利用图形求cot22.5的值【答案】（1）答案见试题解析；（2）22.5；（3）试题解析：（1）如图，（2）ad=ab，adb=abd，而bac=adb+abd，adb=bac=45=22.5，即bdc的度数为22.5；（3）设ac=x，c=90，bac=45，acb为等腰直角三角形，bc=ac=x，ab=ac=，ad=ab=，cd=，在rtbcd中，cotbdc=，即cot22.5=考点：1作图复杂作图；2解直角三角形；3新定义；4综合题20（2015山西省）如图，abc是直角三角形，acb=90（1）尺规作图：作c，使它与ab相切于点d，与ac相交于点e，保留作图痕迹，不写作法，请标明字母；（2）在你按（1）中要求所作的图中，若bc=3，a=30，求的长【答案】（1）作图见试题解析；（2）试题解析：（1）如图，c为所求；（2）c切ab于d，cdab，adc=90，dce=90a=9030=60，bcd=90acd=30，在rtbcd中，cosbcd=，cd=3cos30=，的长=考点：1作图复杂作图；2切线的性质；3弧长的计算；4作图题21（2015济宁）如图，在abc中，ab=ac，dac是abc的一个外角实验与操作：根据要求进行尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）（1）作dac的平分线am；（2）作线段ac的垂直平分线，与am交于点f，与bc边交于点e，连接ae，cf猜想并判断四边形aecf的形状并加以证明【答案】（1）作图见试题解析；（2）作图见试题解析，四边形aecf的形状为菱形【解析】考点：1作图复杂作图；2角平分线的性质；3线段垂直平分线的性质；4作图题；5探究型；6菱形的判定22（2015宁波）在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若多边形的各顶点都在方格纸的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的多边形称为格点多边形记格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为，其中m，n为常数（1）在下面的方格中各画出一个面积为6的格点多边形，依次为三角形、平行四边形（非菱形）、菱形；（2）利用（1）中的格点多边形确定m，n的值【答案】（1）答案见试题解析；（2）（2）格点多边形内的格点数为a，边界上的格点数为b，则格点多边形的面积可表示为：，其中m，n为常数，三角形：，平行四边形：，菱形：，则，解得：考点：作图应用与设计作图23（2015杭州）“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形的三边分别为a，b，c，并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度（1）用记号（a，b，c）（abc）表示一个满足条件的三角形，如（2，3，3）表示边长分别为2，3，3个单位长度的一个三角形请列举出所有满足条件的三角形（2）用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形（用给定的单位长度，不写作法，保留作图痕迹）【答案】（1）共9种：（2，2，2），（2，2，3），（2，3，3），（2，3，4），（2，4，4），（3，3，3），（3，3，4），（3，4，4），（4，4，4）；（2）答案见试题解析【解析】试题分析：（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形；（2）首先判断满足条件的三角形只有一个：a=2，b=3，c=4，再作图：作射线ab，且取ab=4；以点a为圆心，3为半径画弧；以点b为圆心，2为半径画弧，两弧交于点c；连接ac、bc则abc即为满足条件的三角形考点：1作图应用与设计作图；2三角形三边关系24（2015温州）各顶点都在方格纸格点（横竖格子线的交错点）上的多边形称为格点多边形如何计算它的面积？奥地利数学家皮克（gpick，18591942年）证明了格点多边形的面积公式，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，s表示多边形的面积如图，（1）请在图中画一个格点正方形，使它的内部只含有4个格点，并写出它的面积（2）请在图乙中画一个格点三角形，使它的面积为，且每条边上除顶点外无其它格点（注：图甲、图乙在答题纸上）【答案】【解析】试题分析：（1）根据皮克公式画图计算即可；（2）根据题意可知a=3，b=3，画出满足题意的图形即可试题解析：（1）方法不唯一，如图或图所示：（2）方法不唯一，如图或图所示：考点：作图应用与设计作图25（2015青岛）【问题提出】用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？【问题探究】不妨假设能搭成m种不同的等腰三角形，为探究m与n之间的关系，我们可以先从特殊入手，通过试验、观察、类比、最后归纳、猜测得出结论【探究一】（1）用3根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，显然能搭成一种等腰三角形所以，当n=3时，m=1（2）用4根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？只可分成1根木棒、1根木棒和2根木棒这一种情况，不能搭成三角形所以，当n=4时，m=0（3）用5根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和3根木棒，则不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和1根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=5时，m=1（4）用6根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？若分成1根木棒、1根木棒和4根木棒，则不能搭成三角形若分成2根木棒、2根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=6时，m=1综上所述，可得：表【探究二】（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的三角形？（仿照上述探究方法，写出解答过程，并将结果填在表中）（2）用8根、9根、10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？（只需把结果填在表中）表你不妨分别用11根、12根、13根、14根相同的木棒继续进行探究，【问题解决】：用n根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（设n分别等于4k1，4k，4k+1，4k+2，其中k是正整数，把结果填在表中）表【问题应用】：用2016根相同的木棒搭一个三角形（木棒无剩余），能搭成多少种不同的等腰三角形？（写出解答过程），其中面积最大的等腰三角形每腰用了 根木棒（只填结果）【答案】【探究二】：2；1；2；2；【问题解决】：k；k1；k；k；【问题应用】：672试题解析：（1）用7根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？此时，能搭成二种等腰三角形，即分成2根木棒、2根木棒和3根木棒，则能搭成一种等腰三角形用10根相同的木棒搭一个三角形，能搭成多少种不同的等腰三角形？分成3根木棒、3根木棒和4根木棒，则能搭成一种等腰三角形分成4根木棒、4根木棒和2根木棒，则能搭成一种等腰三角形所以，当n=10时，m=2故答案为：2；1；2；2问题解决：由规律可知，答案为：k；k1；k；k问题应用：20164=504，5041=503，当三角形是等边三角形时，面积最大，20163=672，用2016根相同的木棒搭一个三角形，能搭成503种不同的等腰三角形，其中面积最大的等腰三角形每腰用672根木棒考点：1作图应用与设计作图；2三角形三边关系；3等腰三角形的判定与性质；4探究型；5综合题；6压轴题【2014年题组】1（2014安顺）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出aobaob的依据是（ ）asasbssscasadaas【答案】b考点：作图基本作图；全等三角形的判定与性质2（2014涉县一模）如图，ad为o的直径，作o的内接正三角形abc，甲、乙两人的作法分别如下：甲：作od的垂直平分线，交o于b，c两点连接ab，acabc即为所求作的三角形乙：以d为圆心，od的长为半径作圆弧，交o于b，c两点连接ab，bc，caabc即为所求作的三角形对于甲、乙两人的作法，可判断（ ）a甲、乙均正确 b甲、乙均错误c甲正确，乙错误 d甲错误，乙正确【答案】a【解析】试题分析：根据甲的思路，作出图形如下：连接ob，bd,od=bd，od=ob,od=bd=ob,bod为等边三角形,obd=bod=60,又bc垂直平分od，om=dm,bm为obd的平分线,obm=dbm=30,又oa=ob，且bod为aob的外角,bao=abo=30,abc=abo+obm=60,同理acb=60,bac=60,abc=acb=bac,abc为等边三角形,故乙作法正确,故选a考点：垂径定理；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形3（2014玉林）如图，bc与cd重合，abccde90，abccde，并且cde可由abc逆时针旋转而得到请你利用尺规作出旋转中心o（保留作图痕迹，不写作法，注意最后用墨水笔加黑），并直接写出旋转角度是 【答案】90【解析】试题分析：如图所示：旋转角度是90考点：作图-旋转变换4（2014河南）如图，在abc中，按以下步骤作图：分别以b，c为圆心，以大于bc的长为半径作弧，两弧相交于m，n两点；作直线mn交ab于点d，连接cd，若cd=ac，b=25，则acb的度数为 【答案】105考点：作图基本作图；线段垂直平分线的性质5（2014梅州）如图，在rtabc中，b=90，分别以a、c为圆心，大于ac长为半径画弧，两弧相交于点m、n，连结mn，与ac、bc分别交于点d、e，连结ae，则：（1）ade= ；（2）ae ec；（填“=”“”或“”）（3）当ab=3，ac=5时，abe的周长= 【答案】（1）90；（2）=；（3）7考点：线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用考点归纳归纳 1：作三角形基础知识归纳：利用基本作图作三角形（1）已知三边作三角形；（2）已知两边及其夹角作三角形；（3）已知两角及其夹边作三角形；（4）已知底边及底边上的高作等腰三角形；（5）已知一直角边和斜边作直角三角形注意问题归纳：用没有刻度的直尺和圆规作图只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题【例1】已知：线段a、c和（如图），利用直尺和圆规作abc，使bc=a，ab=c，abc=（不写作法，保留作图痕迹）【答案】作图见解析考点：作图基本作图归纳 2：用角平分线、线段的垂直平分线性质画图基础知识归纳：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等线段垂直平分线的性质：垂直平分线垂直且平分其所在线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等基本做图如图： 【例2】两个城镇a，b与两条公路me，mf位置如图所示，其中me是东西方向的公路现电信部门需在c处修建一座信号发射塔，要求发射塔到两个城镇a，b的距离必须相等，到两条公路me，mf的距离也必须相等，