【5年高考3年模拟】高考数学二轮复习 高考分类汇编 直线、平面垂直的判定和性质.doc

8.5直线、平面垂直的判定和性质考点直线、平面垂直的判定和性质1.(2013北京,8,5分)如图,在正方体abcd-a1b1c1d1中,p为对角线bd1的三等分点,p到各顶点的距离的不同取值有()a.3个b.4个c.5个d.6个答案b2.(2013辽宁,18,12分)如图,ab是圆o的直径,pa垂直圆o所在的平面,c是圆o上的点.(1)求证:bc平面pac;(2)设q为pa的中点,g为aoc的重心,求证:qg平面pbc.证明(1)由ab是圆o的直径,得acbc.由pa平面abc,bc平面abc,得pabc.又paac=a,pa平面pac,ac平面pac.所以bc平面pac.(6分)(2)连结og并延长交ac于m,连结qm,qo,由g为aoc的重心,得m为ac中点.由q为pa中点,得qmpc.又o为ab中点,得ombc.因为qmmo=m,qm平面qmo,mo平面qmo,bcpc=c,bc平面pbc,pc平面pbc,所以平面qmo平面pbc.因为qg平面qmo,所以qg平面pbc.(12分)3.(2013四川,19,12分)如图,在三棱柱abc-a1b1c1中,侧棱aa1底面abc,ab=ac=2aa1=2,bac=120,d,d1分别是线段bc,b1c1的中点,p是线段ad上异于端点的点.(1)在平面abc内,试作出过点p与平面a1bc平行的直线l,说明理由,并证明直线l平面add1a1;(2)设(1)中的直线l交ac于点q,求三棱锥a1-qc1d的体积.锥体体积公式:v=sh,其中s为底面面积,h为高解析(1)如图,在平面abc内,过点p作直线lbc,因为l在平面a1bc外,bc在平面a1bc内,由直线与平面平行的判定定理可知,l平面a1bc.由已知,ab=ac,d是bc的中点,所以,bcad,则直线lad.因为aa1平面abc,所以aa1直线l.又因为ad,aa1在平面add1a1内,且ad与aa1相交,所以直线l平面add1a1.(7分)(2)过d作deac于e.因为aa1平面abc,所以deaa1.又因为ac,aa1在平面aa1c1c内,且ac与aa1相交,所以de平面aa1c1c.由ab=ac=2,bac=120,有ad=1,dac=60,所以在acd中,de=ad=,又=a1c1aa1=1,所以=de=1=.因此三棱锥a1-qc1d的体积是.(12分)4.(2013北京,17,14分)如图,在四棱锥p-abcd中,abcd,abad,cd=2ab,平面pad底面abcd,paad.e和f分别是cd和pc的中点.求证:(1)pa底面abcd;(2)be平面pad;(3)平面bef平面pcd.证明(1)因为平面pad底面abcd,且pa垂直于这两个平面的交线ad,所以pa底面abcd.(2)因为abcd,cd=2ab,e为cd的中点,所以abde,且ab=de.所以abed为平行四边形.所以bead.又因为be平面pad,ad平面pad,所以be平面pad.(3)因为abad,而且abed为平行四边形,所以becd,adcd.由(1)知pa底面abcd.所以pacd.所以cd平面pad.所以cdpd.因为e和f分别是cd和pc的中点,所以pdef.所以cdef.所以cd平面bef.所以平面bef平面pcd.5.(2013江西,19,12分)如图,直四棱柱abcd-a1b1c1d1中,abcd,adab,ab=2,ad=,aa1=3,e为cd上一点,de=1,ec=3.(1)证明:be平面bb1c1c;(2)求点b1到平面ea1c1的距离.解析(1)证明:过b作cd的垂线交cd于f,则bf=ad=,ef=ab-de=1,fc=2.在rtbef中,be=.在rtcfb中,bc=.在bec中,因为be2+bc2=9=ec2,故bebc.由bb1平面abcd得bebb1,所以be平面bb1c1c.(2)三棱锥e-a1b1c1的体积v=aa1=.在rta1d1c1中,a1c1=3.同理,ec1=3,a1e=2.故=3.设点b1到平面ea1c1的距离为d,则三棱锥b1-a1c1e的体积v=d=d,从而d=,d=.6.(2013山东,18,12分)如图,四棱锥p-abcd中,abac,abpa,abcd,ab=2cd,e,f,g,m,n分别为pb,ab,bc,pd,pc的中点.(1)求证:ce平面pad;(2)求证:平面efg平面emn.证明(1)证法一:取pa的中点h,连结eh,dh.因为e为pb的中点,所以ehab,eh=ab.又abcd,cd=ab,所以ehcd,eh=cd.因此四边形dceh是平行四边形.所以cedh.又dh平面pad,ce平面pad,因此,ce平面pad.证法二:连结cf.因为f为ab的中点,所以af=ab.又cd=ab,所以af=cd.又afcd,所以四边形afcd为平行四边形.因此cfad.又cf平面pad,所以cf平面pad.因为e,f分别为pb,ab的中点,所以efpa.又ef平面pad,所以ef平面pad.因为cfef=f,故平面cef平面pad.又ce平面cef,所以ce平面pad.(2)因为e,f分别为pb,ab的中点,所以efpa.又abpa,所以abe