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第八章 直线，平面，简单几何体和空间向量第58讲立体几何中的向量法（3课时）【知识要点】考点一、线面关系与空间向量之间的转换 【知识要点】【基础练习】考点二、空间角与空间距离的向量表示【知识要点】【基础练习】【典例导悟】题型一。向量法论证线面关系例1.如图，已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC，D为AB的中点，ACBCBB1.(1)求证：BC1AB1 ；(2)求证：BC1 /平面CA1 D 题型二。向量法求空间距离题型三。向量法求空间角例3：(2009上海高考)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BCAB2，ABBC，求二面角B1A1CC1的大小 解：如图，建立空间直角坐标系则A(2,0,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,2)，B1(0,0,2)，C1(0,2,2)，设AC的中点为M，BMAC，BMCC1.BM平面A1C1C，即(1,1,0)是平面A1C1C的一个法向量设平面A1B1C的一个法向量是n(x，y，z)(2,2，2)，(2,0,0)，令z1，解得x0，y1.n(0,1,1)，设法向量n与的夹角为，二面角B1A1CC1的大小为，显然为锐角cos|cos|，解得.二面角B1A1CC1的大小为.题型四。向量法解决综合问题例4。如图，已知等腰直角三角形RBC，其中RBC90，RBBC2.点A、D分别是RB、RC的中点，现将RAD沿着边AD折起到PAD位置，使PAAB，连结PB、PC.(1)求证：BCPB；(2)求二面角ACDP的平面角的余弦值解：(1)证明：点A、D分别是RB、RC的中点，ADBC，ADBC，PADRADRBC90，PAAD，PABC，BCAB，PAABA，BC平面PAB.PB平面PAB，BCPB.(2)法一：取RD的中点F，连结AF、PF. RAAD1，AFRC.APAR，APAD，AP平面RBC.RC平面RBC，RCAP.AFAPA，RC平面PAF.PF平面PAF，RCPF.AFP是二面角ACDP的平面角在RtRAD中，AFRD，在RtPAF中，PF，osAFP.二面角ACDP的平面角的余弦值是.法二：建立如图所示的空间直角坐标系Axyz. 则D(1,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,1)(1,1,0)，(1,0,1)，设平面PCD的法向量为n(x，y，z)，则：令x1，得y1，z1，n(1,1，1)显然
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