高等数学A2教学大纲.pdf

课程编号 06012000 高等数学 A2 Advanced Mathematics A2 总学时 88 总学分 5 5 课程性质 公共基础课 开设学期及周学时分配 第二学期 周6学时 适用专业及层次 全校本 专科生 应用物理 计算机 自动化 信息 机械 环境等专 业 相关课程 先行课程无 后继课程有概率论与数理统计 复变函数与积分变换等 教材 高等数学 第六版 同济大学应用数学系编著 高等教育出版社 2002年 推荐参考书 1 高等数学附册 学习辅导与习题选解 同济四 五版 同济大学应用数学系编著 高等教育出版社 2002年 2 高等数学 宣立新编著 高等教育出版社 2005年 3 高等数学学习指导 青岛科技大学数学系编 国际工业出版社 2010年 一 课程目的及要求 高等数学课程在高等工科学校的教学计划中是一门重要的基础理论课 它是为培养适 应我国社会主义现代化建设的需要高质量的专门人才服务的 目的 通过本课程的学习 要使学生获得以下知识 1 向量代数和空间解析几何 2 多元函数微积分 3 级数 本课程的学习可以为学生学习后继课程和解决实际问题提供必要的数学基础 同时 通过各教学环节 逐步培养学生具有比较熟练的基本运算能力 综合运用所学知识分析和 解决实际问题的能力 初步抽象概括问题的能力 自学能力以及一定的逻辑推理能力 基本要求 一 向量代数和空间解析几何 1 理解向量的概念 掌握向量的运算 2 掌握两个向量夹角的求法以及两个向量垂直 平行的条件 3 熟悉单位向量 方向余弦及向量的坐标表达式 并能熟练地运用坐标表达式进行 向量的运算 4 熟练掌握平面方程和直线方程的求法 5 了解曲面方程的概念 掌握常用二次曲面的方程及其图形 6 掌握旋转曲面 柱面方程 7 知道空间曲线的参数方程和一般方程 二 多元函数微分学 1 理解多元函数的概念 2 知道二元函数的极限 连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质 3 理解偏导数 全微分概念 知道全微分存在的必要条件和充分条件 4 了解方向导数和梯度的概念 5 熟练掌握复合函数的求导法则 了解全微分形式不变性的概念 会求二阶偏导 数 6 会求隐函数的偏导数及雅可比行列式 7 掌握求曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线方程的方法 8 理解多元函数极值的概念 了解条件极值的概念 会求解一些较简单的极值 最 值问题 三 多元函数积分学 1 理解二 三重积分的概念与性质 2 熟练掌握二重积分的计算方法 掌握三重积分的计算 含参变量积分 3 理解两类曲线积分 曲面积分的概念 知道曲线 曲面积分的性质 4 把 握两类曲线积分 曲面积分的计算方法 5 熟悉格林公式 会运用平面曲线积分与路径无关的条件 6 掌握高斯公式 知道斯托克斯公式 7 知道散度与旋度的概念 8 能用重积分 曲线积分及曲面积分来表达一些几何量与物理量 四 无穷级数 1 理解级数收敛 发散与级数和的概念 掌握级数收敛的必要条件 了解级数的基本性 质 2 熟悉几何级数和P 级数的敛散性 3 掌握正项级数的三大审敛法 4 掌握交错级数的莱布尼兹判别法 5 了解级数的绝对收敛与条件收敛的概念 6 知道幂级数收敛半径的求法 7 知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质 8 记住sinx cosx ln 1 x 等常用函数的麦克劳林展开式 9 掌握用间接法将一些简单函数展开成幂级数 会求和函数 10 掌握傅里叶级数的收敛定理 并能将定义在 和 L L 上的函数展开成傅 里叶级数 能将定义在 0 0 L 上的函数展开成正弦或余弦级数 二 课程内容及学时分配 课程内容 1 向量代数与空间解析几何 空间直角坐标系 两点间的距离公式 向量的概念及向量的运算 向量及其方向余弦 的坐标表示 向量的夹角 向量平行与垂直的条件 曲面方程的概念 平面方程 直线方 程 平面与平面 平面与直线 直线与直线的位置关系 旋转曲面 柱面 二次曲面 空 间曲线 2 多元函数的微分学 邻域 区域 多元函数 二元函数的几何意义 二元函数的极限与连续 有界闭域上 连续函数的性质 偏导数与全微分 高阶偏导数 多元复合函数与隐函数的求导法则 空 间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 二元函数的极值 条件极值 方向导数 梯度 3 重积分 三重积分的定义及其性质 二 三重积分的计算方法 重积分的应用 4 曲线积分与曲面积分 两类曲线 曲面积分的定义 性质及其计算方法 两类曲线积分的关系 两类曲面积 分的关系 格林公式 曲线 曲面积分的应用 高斯公式 斯托克斯公式 散度与旋度 5 无穷级数 无穷级数收敛及发散的概念 级数的基本性质 几何级数 P 级数 调和级数 正项 级数的审敛法 交错级数 莱布尼兹判别法 绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛半径与 收敛区间 和函数的求法与性质 泰勒级数 麦克劳林级数 函数展开成幂级数 欧拉公 式 傅里叶级数 收敛定理 函数展开成傅里叶级数 学时分配 课程内容讲课时数空间解析几何与向量代数14多元函数微分学20多元函数积分学36无穷级 数18总计学时节88 三 教学重点与难点 第八章 空间解析几何与向量代数 重点 向量的数量积及向量积 单位向量 方向余弦及向量坐标表达式 向量垂直 平行的条件 平面方程 直线方程 旋转曲面 柱面 常见的二次曲面 难点 向量代数及其相关知识 第九章 多元函数微分学 重点 二元函数的概念 偏导数与全微分的定义 高阶偏导数 多元复合函数与隐 函数的求导法则 微分法在几何上的应用 二元函数极值 难点 多元复合函数求导法则 方向导数 第十章 重积分 重点 二重积分的计算 三重积分的计算 难点 二重积分交换积分次序 三重积分的计算 第十一章 曲线积分与曲面积分 重点 两类曲线 曲面积分的计算 两类曲线积分的关系 两类曲面积分的关系 格 林公式 高斯公式 难点 第二类曲线 曲面积分的计算 格林公式 高斯公式的应用 第十二章 级数 重点 无穷级数收敛及发散的定义 正项级数的审敛法 交错级数 绝对收敛与条件 收敛 幂级数的收敛半径与收敛域 和函数 函数间接展开成幂级数 难点 正项级数审敛法 函数间接展成幂级数 和函数求法 四 主要教学方法 以课堂讲授为主 多媒体辅助教学 五 典型作业练习 一 多元函数微分学 1 设 则 2 设 求 3 设函数由方程所确定 求 及 4 证明 函数在点 0 0 的偏导 数存在 但不连续 5 求曲面在点处的切平面方程和法线方程 6 求函数在点 1 1 1 处沿着从点 1 1 1 到点 2 3 3 的方向的方向导 数 7 求函数的极值 8 求函数在条件x y 1下的极大值 二 多元函数积分学 1 根据二重积分的性质 比较的大小 积分域D由x轴 y轴与直线x y 1所围成 2 交换积分次序 3 利用极坐标计算 其中D由圆周 及直线y 0 y x所围成的在第一象限内的闭区域 4 计算三重积分其中是由及 所围成的空间区域 5 计算曲线积分 其中L是圆周 按逆时针方向 6 计算曲面积分 其中是曲面介于及之间的部分 7 利用高斯公式计算曲面积分 其中是球面的外侧 三 级数 1 若级数在处收敛 则在处 2 判别下列级数的敛散性 1 2 3 4 3 判定下列级数的敛散性 若收敛 需说明是绝对收敛还是条件收敛 1 2 4 求级数的收敛域 5 求级数的收敛域与和函数 6 将函数f x 展开成x 1的幂级数 7 将函数f x 在上展成Fourier级数 并绘出级数的和函数S x 的草图 8 将f x x 0 分别展成余弦级数和正弦级数 六 课程考核方式 1 采取闭卷考试考核 平时成绩占0 20 卷面成绩占80 100