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第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题1若实数x,y满足不等式组则3x4y的最小值是 ()a13b15c20 d282已知向量a(xz,3),b(2,yz),且ab,若x,y满足不等式|x|y|1,则z的取值范围为 ()a2,2 b2,3c3,2 d3,33若不等式组,所表示的平面区域被直线ykx分为面积相等的两部分,则k的值是 ()a. b.c. d.4已知o是坐标原点,点a(1,1)若点m(x,y)为平面区域上的一个动点,则的取值范围是 ()a1,0 b0,1c0,2 d1,25已知实数x,y满足,若zaxy的最大值为3a9,最小值为3a3,则实数a的取值范围为 ()aa1 ba1c1a1 da1或a16若变量x,y满足约束条件则zx2y的最小值为 ()a8 b6c0 d12二、填空题7在平面直角坐标系中,不等式组表示的平面区域的外接圆的方程为_8已知实数x,y满足(ar),若目标函数zx3y只有当时取得最大值,则实数a的取值范围是_9已知实数x,y满足约束条件,则z的最小值为_三、解答题10已知abcd的三个顶点为a(1,2),b(3,4),c(4,2),点(x,y)在abcd的内部,求z2x5y的取值范围11由约束条件所确定的平面区域的面积sf(t),试求f(t)的表达式12某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和6个单位的维生素c;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素c.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素c.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?详解答案一、选择题1解析:不等式组表示的可行域如图所示,根据目标函数z3x4y的几何意义容易求得,当x3,y1时,z有最小值13.答案:a2解析:因为ab,所以ab0,所以2x3yz,不等式|x|y|1可转化为,由图可得其对应的可行域为边长为,以点(1,0),(1,0),(0,1),(0,1)为顶点的正方形,结合图象可知当直线2x3yz过点(0,1)时z有最小值3,当过点(0,1)时z有最大值3.所以z的取值范围为3,3答案:d3解析:由图可知,线性规划区域为abc边界及内部,ykx恰过a(0,),ykx将区域平均分成面积相等两部分,故过bc的中点d(,),k,k.答案:a4解析:平面区域如图中阴影部分所示的bdn, n(0,2),d(1,1),设点m(x,y),因点a(1,1),则z xy,由图可知;当目标函数zxy过点d时,zmin110;当目标函数zxy过点n时,zmax022,故z的取值范围为0,2,即 的取值范围为0,2答案:c5解析:作出x,y满足的可行域,如图阴影部分所示,则z在点a处取得最大值,在点c处取得最小值又kbc1,kab1,1a1,即1a1.答案:c6解析:根据得可行域如图中阴影部分所示:根据zx2y得y,平移直线y得过m点时取得最小值根据得,则zmin42(5)6.答案:b二、填空题7解析:不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示易知abc为等腰直角三角形,a(2,2),b(1,1),c(1,2),因此abc的外接圆的圆心为(,),半径为.所以所求外接圆的方程为(x)2(y)2.答案:(x)2(y)28解析:在平面直角坐标系中画出不等式组所表示的可行域,其中直线xay10经过定点(1,0)且斜率为,结合图形可知,只有当0,即a0时,目标函数zx3y才能在点(1, 0)处取得最大值(如图(1);若0.答案:(0,)9解析:作出不等式组所表示的可行域(图略),z22x2y22xy,令2xy,可求得2xy的最小值是2,所以z的最小值为22.答案:三、解答题10解:由题可知,平行四边形abcd的点d的坐标为(0,4),点(x,y)在平行四边形内部,如图,所以在d(0,4)处目标函数z2x5y取得最大值为20,在点b(3,4)处目标函数z2x5y取得最小值为14,由题知点(x,y)在平行四边形内部,所以端点取不到,故z2x5y的取值范围是(14,20)11解:由约束条件所确定的平面区域是五边形abcep,如图所示,其面积sf(t)sopdsaobsecd,而sopd121.soabt2,secd(1t)2,所以sf(t)1t2(1t)2t2t.12解:法一:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用为z元,则依题意得:z2.5x4y,且x,y满足即作出线性约束条件所表示的可行域,如图所示,z在可行域的四个顶点a(9,0),b(4,3),c(2,5),d(0,8)处的值分别是za2.594022.5,zb2.544322,zc2.524525,zd2.504832.比较之,zb最小,因此,应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐,就可满足要求法二:设需要预订满足营养要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位,所花的费用
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