【三维设计】高考数学一轮复习 （基础知识+高频考点+解题训练）二次函数与幂函数教学案.doc

第六节二次函数与幂函数知识能否忆起一、常用幂函数的图象与性质函数特征性质yxyx2yx3yxyx1图象定义域rrrx|x0x|x0值域ry|y0ry|y0y|y0奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增(，0减(0，)增增增(，0)和(0，)减公共点(1,1)二、二次函数1二次函数的定义形如f(x)ax2bxc(a0)的函数叫做二次函数2二次函数解析式的三种形式(1)一般式：f(x)ax2bxc(a0)；(2)顶点式：f(x)a(xm)2n(a0)；(3)零点式：f(x)a(xx1)(xx2)(a0)3二次函数的图象和性质a0a.4(教材习题改编)已知点m在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为_解析：设幂函数的解析式为yx，则3，得2.故yx2.答案：yx25如果函数f(x)x2(a2)xb(xa，b)的图象关于直线x1对称，则函数f(x)的最小值为_解析：由题意知得则f(x)x22x6(x1)255.答案：51.幂函数图象的特点(1)幂函数的图象一定会经过第一象限，一定不会经过第四象限，是否经过第二、三象限，要看函数的奇偶性；(2)幂函数的图象最多只能经过两个象限内；(3)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点2与二次函数有关的不等式恒成立问题(1)ax2bxc0，a0恒成立的充要条件是(2)ax2bxc0时，图象过原点和(1,1)，在第一象限的图象上升；1时，曲线下凸；01时，曲线上凸；0时，图象是向下凸的，结合选项知选b.(2)(2013淄博模拟)若aa(0.2)ab(0.2)aa2ac.a(0.2)a2a d2a(0.2)aa解析：选b若aa0.所以(0.2)aa2a.求二次函数的解析式典题导入例2已知二次函数f(x)有两个零点0和2，且它有最小值1.(1)求f(x)解析式；(2)若g(x)与f(x)图象关于原点对称，求g(x)解析式自主解答(1)由于f(x)有两个零点0和2，所以可设f(x)ax(x2)(a0)，这时f(x)ax(x2)a(x1)2a，由于f(x)有最小值1，所以必有解得a1.因此f(x)的解析式是f(x)x(x2)x22x.(2)设点p(x，y)是函数g(x)图象上任一点，它关于原点对称的点p(x，y)必在f(x)图象上，所以y(x)22(x)，即yx22x，yx22x，故g(x)x22x.由题悟法求二次函数的解析式常用待定系数法合理选择解析式的形式，并根据已知条件正确地列出含有待定系数的等式，把问题转化为方程(组)求解是解决此类问题的基本方法以题试法2设f(x)是定义在r上的偶函数，当0x2时，yx，当x2时，yf(x)的图象是顶点为p(3,4)，且过点a(2,2)的抛物线的一部分(1)求函数f(x)在(，2)上的解析式；(2)在下面的直角坐标系中直接画出函数f(x)的草图；(3)写出函数f(x)的值域解：(1)设顶点为p(3,4)且过点a(2,2)的抛物线的方程为ya(x3)24，将(2,2)代入可得a2，则y2(x3)24，即x2时，f(x)2x212x14.当x2.又f(x)为偶函数，f(x)f(x)2(x)212x14，即f(x)2x212x14.所以函数f(x)在(，2)上的解析式为f(x)2x212x14.(2)函数f(x)的图象如图，(3)由图象可知，函数f(x)的值域为(，4二次函数的图象与性质典题导入例3已知函数f(x)x22ax3，x4,6(1)当a2时，求f(x)的最值；(2)求实数a的取值范围，使yf(x)在区间4,6上是单调函数自主解答(1)当a2时，f(x)x24x3(x2)21，由于x4,6所以f(x)在4,2上单调递减，在2,6上单调递增，故f(x)的最小值是f(2)1，又f(4)35，f(6)15，故f(x)的最大值是35.(2)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是xa，所以要使f(x)在4,6上是单调函数，应有a4或a6，即a6或a4.故a的取值范围为(，64，)本例条件不变，求当a1时，f(|x|)的单调区间解：当a1时，f(x)x22x3，则f(|x|)x22|x|3，此时定义域为x6,6，且f(x)故f(|x|)的单调递增区间是(0,6，单调递减区间是6,0由题悟法解决二次函数图象与性质问题时要注意：(1)抛物线的开口，对称轴位置，定义区间三者相互制约，常见的题型中这三者有两定一不定，要注意分类讨论(2)要注意数形结合思想的应用，尤其是给定区间上二次函数最值问题的求法以题试法3(2012泰安调研)已知函数f(x)x22ax1a在x0,1时有最大值2，则a的值为_解析：f(x)(xa)2a2a1，当a1时，ymaxa；当0a1时，ymaxa2a1；当a0时，ymax1a.根据已知条件或或解得a2或a1.答案：2或1二次函数的综合问题典题导入例4(2012衡水月考)已知函数f(x)x2，g(x)x1.(1)若存在xr使f(x)bg(x)，求实数b的取值范围；(2)设f(x)f(x)mg(x)1mm2，且|f(x)|在0,1上单调递增，求实数m的取值范围自主解答(1)xr，f(x)bg(x)xr，x2bxb0b4.故b的取值范围为(，0)(4，)(2)f(x)x2mx1m2，m24(1m2)5m24.当0，即m时，则必需m0.当0，即m时，设方程f(x)0的根为x1，x2(x12xm恒成立，求实数m的取值范围解：(1)由f(0)1，得c1.即f(x)ax2bx1.又f(x1)f(x)2x，则a(x1)2b(x1)1(ax2bx1)2x，即2axab2x，所以解得因此，f(x)x2x1.(2)f(x)2xm等价于x2x12xm，即x23x1m0，要使此不等式在1,1上恒成立，只需使函数g(x)x23x1m在1,1上的最小值大于0即可g(x)x23x1m在1,1上单调递减，g(x)ming(1)m1，由m10得，m1.因此满足条件的实数m的取值范围是(，1)1已知幂函数f(x)x的部分对应值如下表：x1f(x)1则不等式f(|x|)2的解集是()ax|0bc且abc0，则它的图象可能是()解析：选dabc，且abc0，a0，c0.图象开口向上与y轴交于负半轴3已知f(x)x，若0ab1，则下列各式中正确的是()af(a)f(b)ffbfff(b)f(a)cf(a)f(b)ffdff(a)ff(b)解析：选c因为函数f(x)x在(0，)上是增函数，又0ab，故f(a)f(b)ff.4已知f(x)x2bxc且f(1)f(3)，则()af(3)cf bfcf(3)cff(3)c dcfff(2)f(0)c.5设二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，且f(m)f(0)，则实数m的取值范围是()a(，0 b2，)c(，02，) d0,2解析：选d二次函数f(x)ax22axc在区间0,1上单调递减，则a0，f(x)2a(x1)0，x0,1，所以a0，即函数图象的开口向上，对称轴是直线x1.所以f(0)f(2)，则当f(m)f(0)时，有0m2.6若方程x22mx40的两根满足一根大于1，一根小于1，则m的取值范围是()a. b.c(，2)(2，) d.解析：选b设f(x)x22mx4，则题设条件等价于f(1)0，即12m4.7对于函数yx2，yx有下列说法：两个函数都是幂函数；两个函数在第一象限内都单调递增；它们的图象关于直线yx对称；两个函数都是偶函数；两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；两个函数的图象都是抛物线型其中正确的有_解析：从两个函数的定义域、奇偶性、单调性等性质去进行比较答案：8(2012北京西城二模)已知函数f(x)x2bx1是r上的偶函数，则实数b_，不等式f(x1)x的解集为_解析：因为f(x)x2bx1是r上的偶函数，所以b0，则f(x)x21，解不等式(x1)21x，即x23x20得1x2.答案：0x|1x0，即p22p30.1p3.又f(x)是偶函数且pz，p1，故f(x)x2.11已知二次函数f(x)的图象过点a(1,0)、b(3,0)、c(1，8)(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在x0,3上的最值；(3)求不等式f(x)0的解集解：(1)由题意可设f(x)a(x1)(x3)，将c(1，8)代入得8a(11)(13)，得a2.即f(x)2(x1)(x3)2x24x6.(2)f(x)2(x1)28，当x0,3时，由二次函数图象知，f(x)minf(1)8，f(x)maxf(3)0.(3)f(x)0的解集为x|x1，或x312已知函数f(x)ax22ax2b(a0)，若f(x)在区间2,3上有最大值5，最小值2.(1)求a，b的值；(2)若b0时，f(x)在2,3上为增函数，故当a0时，f(x)在2,3上为减函数，故(2)b0时，f(x)(x1)2，若当x时，nf(x)m恒成立，则mn的最小值为()a. b.c. d1解析：选d当x0，f(x)f(x)(x1)2，x，f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1，m1，n0，mn1.2(2012青岛质检)设f(x)与g(x)是定义在同一区间a，b上的两个函数，若函数yf(x)g(x)在xa，b上有两个不同的零点，则称f(x)和g(x)在a，b上是“关联函数”，区间a，b称为“关联区间”若f(x)x23x4与g(x)2xm在0,3上是“关联函数”，则m的取值范围为_解析：由题意知，yf(x)g(x)x25x4m在0,3上有两个不同的零点在同一坐标系下作出函数ym与yx25x4(x0,3)的图象如图所示，结合图象可知，当x2,3时，yx25x4，故当m时，函数ym与yx25x4(x0,3)的图象有两个交点答案：3(2013滨州模拟)已知函数f(x)ax2bxc(a0，br，cr)(1)若函数f(x)的最小值是f(1)0，且c1，f(x)求f(2)f(2)的值；(2)若a1，c0，且|f(x)|1在区间(0,1上恒成立，试求b的取值范围解：(1)由已知得c1，abc0，1，解得a1，b2.则f(x)(x1)2.则f(x)故f(2)f(2)(21)2(21)28.(2)由题意得f(x)x2bx，原命题等价于1x2bx1在(0,1上恒成立，即bx且bx在(0,1上恒成立又当x(0,1时，x的最小值为0，x的最大值为2，故2b0.1比较下列各组中数值的大小(1)30.8,30.7；(2)0.213,0.233；(3)4.1，3.8，(1.4)；(4)0.20.5,0.40.3.解：(1)函数y3x是增函数，故30.830.7.(2)yx3是增函数，故0.2131,03.81，而(1.4)3.8(1.4).(4)先比较0.20.5与0.20.3，再比较0.20.3与0.40.3，y0.2x是减函数，故0.20.50.20.3；yx0.3在(0，)上是增函数，故0.20.30.40.3.则0.20.50，二次函数f(x)ax2bxc的图象可能是()解析：选d当0，从而c0，可排除a，c；当0时，ab0，从而c0时，