高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 9.4 椭圆及其性质课件 理.ppt

9 4椭圆及其性质 高考理数 考点一椭圆的定义及其标准方程1 椭圆的定义把平面内与两个定点f1 f2的距离的和等于常数 大于 f1f2 的点的轨迹叫做椭圆 椭圆定义中的常数2a f1f2 即对椭圆上任意一点m都有 mf1 mf2 2a f1f2 这个条件是必要的 否则其轨迹就不是椭圆 事实上 若2a f1f2 其轨迹是 线段f1f2 若2a f1f2 其轨迹不存在 2 1 椭圆标准方程的推导是根据椭圆的定义 通过建立恰当的坐标系求出的 参数b 它是因为化简方程的需要而引入的 它具有明确的几何意义 b表示短半轴的长 知识清单 2 求椭圆的标准方程应从 定形 定式 和 定量 三个方面去思考 定形 是指对称中心在原点 以坐标轴为对称轴的情况下 焦点在哪条坐标轴上 定式 是根据 形 设椭圆方程的具体形式 定量 是指用定义法或待定系数法确定a b的值 考点二椭圆的几何性质 考点三直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系主要是指公共点问题 相交弦问题及其他综合问题 反映在代数上 就是直线与椭圆方程联立所得的方程组有无实数解及实数解的个数的问题 它体现了方程思想的应用 如把椭圆方程 1与直线方程y kx m联立消去y 整理成ax2 bx c 0的形式 这里的系数a一定不为零 设其判别式为 1 当 0时 直线与椭圆有两个公共点m x1 y1 n x2 y2 则可结合根与系数的关系代入弦长公式 mn 求得弦mn的长度 2 当 0时 直线与椭圆相切 0是直线与椭圆相切的充要条件 3 当 0时 直线与椭圆相离 0是直线与椭圆相离的充要条件 知识拓展 1 点p x0 y0 和椭圆 1 a b 0 的关系 1 p x0 y0 在椭圆内 1 2 如图 过椭圆的一个焦点且与长轴垂直的弦 ab 称为通径 3 如图 p为椭圆上的点 f1 f2为椭圆的两个焦点 且 f1pf2 则 f1pf2的面积为b2 tan 4 椭圆 1 a b 0 与 k k 0 有相同的离心率 5 设a b分别为椭圆 1 a b 0 的左 右顶点 p为椭圆上不同于a b的任意一点 则kpa kpb 1 利用待定系数法求椭圆的标准方程 1 作判断 根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上 还是在y轴上 还是两个坐标轴上都有可能 2 设方程 根据上述判断设方程 1 a b 0 1 a b 0 或mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 3 找关系 根据已知条件 建立关于a b c或m n的方程组 4 得方程 解方程组 将解代入所设方程 即为所求 注意 用待定系数法求椭圆的方程时 要 先定型 再定量 不能确定焦点的位置时 可进行分类讨论或把椭圆的方程设为mx2 ny2 1 m 0 n 0 m n 求椭圆的标准方程的方法 方法技巧 2 利用定义及性质求椭圆的标准方程 1 根据动点满足的几何意义 写出标准方程 2 建立关于a b c e的方程或方程组 进而求得方程 注意 1 如果椭圆焦点位置不能确定 可设方程为ax2 by2 1 a 0 b 0 a b 或 1 m2 n2 2 与椭圆 1共焦点的椭圆方程可设为 1 k m2 k n2 3 与椭圆 1 a b 0 有相同离心率的椭圆方程可设为 k1 k1 0 焦点在x轴上 或 k2 k2 0 焦点在y轴上 例1 2017广东惠州三调 20 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点分别为f1 1 0 f2 1 0 点a在椭圆c上 1 求椭圆c的标准方程 2 是否存在斜率为2的直线 使得当直线与椭圆c有两个不同交点m n时 能在直线y 上找到一点p 在椭圆c上找到一点q 满足 若存在 求出直线的方程 若不存在 说明理由 解题导引 解析 1 由题意知c 1 因为a在椭圆c上 所以2a af1 af2 2 2分 所以a2 2 所以b2 a2 c2 1 故椭圆c的方程为 y2 1 5分 2 不存在满足条件的直线 证明如下 假设存在满足条件的直线 设直线的方程为y 2x t m x1 y1 n x2 y2 p q x4 y4 mn的中点为d x0 y0 由消去x 得9y2 2ty t2 8 0 6分 所以y1 y2 且 4t2 36 t2 8 0 故y0 且 3 t 3 8分 由 得 x4 x2 y4 y2 9分 所以有y1 y4 y2 y4 y1 y2 t 10分 也可由 知四边形pmqn为平行四边形 又d为线段mn的中点 因此 d也为线段pq的中点 所以y0 可得y4 又 3 t 3 所以 y4 1 与椭圆上点的纵坐标的取值范围是 1 1 矛盾 11分 因此不存在满足条件的直线 12分 链接高考解决圆锥曲线问题的主体思想是根据圆锥曲线的定义或几何性质求解圆锥曲线的标准方程 并在此基础上联立直线与圆锥曲线的方程并消元 由根与系数的关系得到含有参数的等式 然后进一步研究问题 一般是研究参数的取值范围问题 中点弦问题 弦长或面积的最值问题等 1 与几何性质有关的问题要结合图形进行分析 即使不画出图形 思考时也要联想到图形 涉及顶点 焦点 长轴 短轴等椭圆的基本量 理清它们之间的关系 挖掘出它们之间的联系 求解自然就不难了 2 椭圆的离心率e 是刻画椭圆性质的不变量 当e越趋近于1时 椭圆越扁 当e越趋近于0时 椭圆越圆 求椭圆的标准方程需要两个条件 而求椭圆的离心率只需要根据一个条件得到关于a b c的齐次方程 结合a2 b2 c2即可求出 椭圆的几何性质的应用策略 例2 2017广东广州一模 8 已知f1 f2分别是椭圆c 1 a b 0 的左 右焦点 若椭圆c上存在点p使 f1pf2为钝角 则椭圆c的离心率的取值范围是 a a b c d 解析设p x0 y0 f1 c 0 f2 c 0 由题易知 x0 有解 即c2 min 又 b2 b2 c2 a2 b2 所以e2 又0 e 1 所以 e 1 故椭圆c的离心率的取值范围是 故选a 解题关键本题考查了平面向量的数量积在解题中的应用 体现了化归与转化思想 解答此题的关键在于把存在点p使 f1pf2为钝角转化为与的数量积小于0有解 一题多解如图 椭圆上存在点p使 f1pf2为钝角 以原点o为圆心 c为半径的圆与椭圆有四个不同的交点 b c 由b c 得a2 c2 c2 即a2 2c2 即e2 又0 e 1 e 1 故椭圆c的离心率的取值范围是 故选a 1 判断直线与椭圆的位置关系 可通过讨论直线方程与椭圆方程组成的方程组的实数解个数来确定 一般通过消元得关于x 或y 的一元二次方程 若 0 则直线与椭圆相交 若 0 则直线与椭圆相切 若 0 则直线与椭圆相离 2 弦长公式 设a x1 y1 b x2 y2 为直线与椭圆的两个交点 直线ab的斜率存在 设为k k 0 则 ab 即 ab x1 x2 y1 y2 解决直线与椭圆位置关系问题的方法 3 设a x1 y1 b x2 y2 为椭圆 1 a b 0 上两点 弦ab的中点为p x0 y0 则x0 y0 可通过根与系数的关系来解决弦中点问题 这其中的解题方法就是常说的 设而不求 整体代入 也可以由用 将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决 称为点差法 4 在直线与椭圆的位置关系问题中 常涉及变量的求值和最值 范围 问题 通常要用方程和函数的思想方法 而恰当地选择函数的自变量至关重要 例3 2016四川 20 13分 已知椭圆e 1 a b 0 的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点 直线l y x 3与椭圆e有且只有一个公共点t 1 求椭圆e的方程及点t的坐标 2 设o是坐标原点 直线l 平行于ot 与椭圆e交于不同的两点a b 且与直线l交于点p 证明 存在常数 使得 pt 2 pa pb 并求 的值 解题导引 解析 1 由已知 a b 则椭圆e的方程为 1 由方程组得3x2 12x 18 2b2 0 方程 的判别式为 24 b2 3 由 0 得b2 3 此时方程 的解为x 2 所以椭圆e的方程为 1 点t坐标为 2 1 2 由已知可设直线l 的方程为y x m m 0 由方程组可得所以p点坐标为 pt 2 m2 设点a b的坐标分别为a x1 y1 b x2 y2