【三维设计】高考数学大一轮复习配套讲义（备考基础查清+热点命题悟通）第十三章 几何证明选讲 理 苏教版(1).DOC

第十三章几何证明选讲第一节相似三角形的判定及有关性质1平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰2平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例3相似三角形的判定与性质(1)判定定理：内容判定定理1两角对应相等的两个三角形相似判定定理2两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似判定定理3三边对应成比例的两个三角形相似(2)性质定理：内容性质定理1相似三角形对应高、中线、角平分线和它们周长的比都等于相似比性质定理2相似三角形的面积比等于相似比的平方结论相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方射影定理直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项；斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影的比例中项1在使用平行线截割定理时易出现对应线段、对应边对应顺序混乱，导致错误2在解决相似三角形的判定或应用时易出现对应边和对应角对应失误试一试1如图，f为abcd的边ad延长线上的一点，dfad，bf分别交dc，ac于g，e两点，ef16，gf12，则be的长为_解析：由dfad，abcd知bggf12，又ef16知eg4，故be8.答案：82在abc中，点d在线段bc上，bacadc，ac8，bc16，则cd的长为_解析：bacadc，cc，abcdac，cd4.答案：41判定两个三角形相似的常规思路(1)先找两对对应角相等；(2)若只能找到一对对应角相等，则判断相等的角的两夹边是否对应成比例；(3)若找不到角相等，就判断三边是否对应成比例，否则考虑平行线分线段成比例定理及相似三角形的“传递性”2借助图形判断三角形相似的方法(1)有平行线的可围绕平行线找相似；(2)有公共角或相等角的可围绕角做文章，再找其他相等的角或对应边成比例；(3)有公共边的可将图形旋转，观察其特征，找出相等的角或成比例的对应边练一练1如图，d，e分别是abc的边ab，ac上的点，debc且2，那么ade与四边形dbce的面积比是_解析：debc，adeabc，.2，.答案：2如图，已知在abc中，cdab于d点，bc2bdab，则acb_.解析：在abc与cbd中，由bc2bdab，得，且bb，所以abccbd.则acbcdb90.答案：90考点一平行线分线段成比例定理的应用1.如图，在abcd中，e是bc上一点，beec23，ae交bd于f，则bffd等于_解析：adbc，beec23，bead25.adbc，bffdbead25.即bffd.答案：2.(2014惠州调研)如图，在abc中，debc，dfac，aeac35，de6，则bf_.解析：由debc得，de6，bc10.又因为dfac，所以，即bf4.答案：43.如图，在四边形abcd中，efbc，fgad，则_.解析：由平行线分线段成比例定理得，故1.答案：1备课札记 类题通法比例线段常用平行线产生，利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的.考点二相似三角形的判定及性质典例(2013陕西高考)如图，弦ab与cd相交于o内一点e，过e作bc的平行线与ad的延长线交于点p.已知pd2da2，则pe_.解析由pebc知，acped.在pde和pea中，apeepd，aped，故pdepea，则，于是pe2papd326，所以pe.答案备课札记 类题通法1判定两个三角形相似要注意结合图形特征灵活选择判定定理，特别要注意对应角和对应边2相似三角形的性质可用来证明线段成比例、角相等；也可间接证明线段相等针对训练(2014佛山质检)如图，bd，aebc，acd90，且ab6，ac4，ad12，则be_.解析：由于bd，aebacd，所以abeadc，从而得，解得ae2，故be4.答案：4考点三射影定理的应用典例如图所示，在abc中，cab90，adbc于d，be是abc的平分线，交ad于f，求证：.证明由三角形的内角平分线定理得，在abd中，在abc中，在rtabc中，由射影定理知，ab2bdbc，即.由得：，由得：.备课札记 类题通法1在使用直角三角形射影定理时，要学会将“乘积式”转化为相似三角形中的“比例式”2证题时，要注意作垂线构造直角三角形是解直角三角形时常用的方法针对训练在rtacb中，c90，cdab于d，若bdad19，则tanbcd_.解析：由射影定理得cd2adbd，又bdad19，令bdx，则ad9x(x0)cd29x2，cd3x.rtcdb中，tanbcd.答案：课堂练通考点1如图，abemdc，aeed，efbc，ef12 cm，则bc的长为_ cm.解析：e为ad中点，m为bc的中点又efbcefmc12 cm，bc2mc24 cm.答案：242.如图，在abc中，f为边ab上的一点，(m，n0)，取cf的中点d，连结ad并延长交bc于点e.则_.解析：如图，作fgbc交ae于点g，则1，.两式相乘即得.答案：3在平行四边形abcd中，点e在边ab上，且aeeb12，de与ac交于点f，若aef的面积为6 cm2，则abc的面积为_ cm2.解析：令ea，efb，则ab6.由题意知eb2a.df3b.sabcabde3a4b12ab12672.答案：724如图，在四边形abcd中，e是ab上一点，ecad，debc，若sbec1，sade3，则scde_.解析：ecad，sdcesadeecad，debc，sbcescdebced，又因为ecbdecade，becead，becead，ecadbced.sdcesadesbcescde，于是scde.答案：5(2013广东高考)如图，在矩形abcd中，ab，bc3，beac，垂足为e，求ed的长_解析：tanbca，所以bca30，ecd90bca60.在rtbce中，cebccosbca3cos 30.在ecd中，由余弦定理得ed.答案：课下提升考能1.如图，已知abcd中，g是dc延长线上一点，ag分别交bd和bc于e，f两点，证明：afadagbf.证明：因为四边形abcd为平行四边形，所以abdc，adbc.所以abfgcf，gcfgda.所以abfgda.从而有，即afadagbf.2在abc中，acb90，ac2，点d在bc上且cd1，若cadb，求bd的长解：作出图形(如图)，依题意，有tancadtanb，即.故bd3.3.已知abc中，bfac于点f，ceab于点e，bf和ce相交于点p，求证：(1)bpecpf；(2)efpbcp.证明：(1)bfac于点f，ceab于点e，bfcceb.又cpfbpe，cpfbpe.(2)由(1)得cpfbpe，.又epfbpc，efpbcp.4.如图，在abc中，d是ac的中点，e是bc延长线上一点，过a作ahbe.连结ed并延长交ab于f，交ah于h.如果ab4af，eh8，求df的长解：ahbe，.ab4af，he8，hf2.ahbe，.d是ac的中点，1.hehdde8，hd4，dfhdhf422.5如图，在abc中，d是ac的中点，e是bd的三等分点，ae的延长线交bc于f，求的值解：过d点作dmaf交bc于m，因为dmaf，所以，因为efdm，所以，即sbdm9sbef，又，即sdmcsbdm6sbef，所以s四边形defc14sbef，因此.6.如图，在abc中，d为bc边的中点，e为ad上的一点，延长be交ac于点f.若，求的值解：如图，过点a作agbc，交bf的延长线于点g.，.又agedbe，.d为bc中点，bc2bd，.agfcbf，.7.如图所示，在平行四边形abcd中，e是cd的延长线上一点，decd，be与ad交于点f.(1)求证：abfceb；(2)若def的面积为2，求平行四边形abcd的面积解：(1)证明：四边形abcd是平行四边形，bafbcd，abcd，abfceb，abfceb.(2)四边形abcd是平行四边形，adbc，abcd，defceb，defabf.()2，()2.又decdab，cedecdde2de3de.()2，()2.sdef2，sceb18，sabf8.平行四边形abcd的面积ssabfscebsdef818224.8.如图，在rtabc中，bac90，adbc于d，dfac于f，deab于e，求证：(1)abacbcad；(2)ad3bccfbe.证明：(1)在rtabc中，adbc，sabcabacbcad.abacbcad.(2)rtadb中，deab，由射影定理可得bd2beab，同理cd2cfac，bd2cd2beabcfac.又在rtbac中，adbc，ad2bddc，ad4beabcfac，又abacbcad.即ad3bccfbe.第二节直线与圆的位置关系1圆周角定理(1)圆周角定理圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(2)圆心角定理圆心角的度数等于它所对弧的度数推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径2圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理1：圆内接四边形的对角互补定理2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角(2)判定判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆3圆的切线性质及判定定理(1)性质：性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心(2)判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角4与圆有关的比例线段(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角1易混圆心角与圆周角，在使用时注意结合图形作出判断2在使用相交弦定理、割线定理、切割线定理时易出现比例线段对应不成比例而失误试一试1.如图，p是圆o外一点，过p引圆o的两条割线pb、pd，paab，cd3，则pc等于_解析：设pcx，由割线定理知papbpcpd.即2x(x3)，解得x2或x5(舍去)故pc2.答案：22.如图，eb，ec是o的两条切线，b，c是切点，a，d是o上两点，如果e46，dcf32，则bad等于_解析：由已知，显然ebc为等腰三角形，因此有ecb67，因此bcd180ecbdcf81.而由a，b，c，d四点共圆，得bad180bcd99.答案：991与圆有关的辅助线的五种作法(1)有弦，作弦心距(2)有直径，作直径所对的圆周角(3)有切点，作过切点的半径(4)两圆相交，作公共弦(5)两圆相切，作公切线2证明四点共圆的常用方法(1)利用圆内接四边形的判定定理，证明四点组成的四边形的对角互补；(2)证明它的一个外角等于它的内对角；(3)证明四点到同一点的距离相等当证明四点共圆以后，圆的各种性质都可以得到应用3圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比，由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用练一练1(2014荆州模拟)如图，pa是o的切线，切点为a，过pa的中点m作割线交o于点b和c，若bmp110，bpc30，则mpb_.解析：由切割线定理得，ma2mbmc，又mamp，故mp2mbmc，即，又bmppmc.故bmppmc，所以mpbmcp，所以30mpbmcpamb18011070，所以mpb20.答案：202(2014长沙一模)如图，过圆o外一点p分别作圆的切线和割线交圆于点a，点b，且pb7，c是圆上一点，使得bc5，bacapb，则ab_.解析：由pa为圆o的切线可得，pabacb，又bacapb，于是apbcab，所以，而pb7，bc5，故ab2pbbc7535，即ab.答案：考点一圆周角、弦切角和圆的切线问题1.(2013天津高考)如图， abc为圆的内接三角形， bd为圆的弦， 且bdac. 过点a作圆的切线与db的延长线交于点e，ad与bc交于点f.若abac，ae6，bd 5，则线段cf的长为_解析：因为ae是圆的切线，且ae6，bd5，由切割线定理可得ea2ebed，即36eb(eb5)，解得eb4.又baeadbacbabc，所以aebc.又acbd，所以四边形aebc是平行四边形，所以aebc6，aceb4.又由题意可得cafcba，所以，cf.答案：2(2013广东高考)如图，ab是圆o的直径，点c在圆o上延长bc到d使bccd，过c作圆o的切线交ad于e.若ab6，ed2，则bc_.解析：连结oc，则occe，ocaace90，oacoca，oacace90.易知rtacbrtacd，则oaceac.eacace90，aec90，在rtacd中，由射影定理得：cd2edad，又cdbc，adab，将ab6，ed2代入式，得cd 2 ，bc2 .答案：23.(2014岳阳模拟)如图所示，o的两条切线pa和pb相交于点p，与o相切于a，b两点，c是o上的一点，若p70，则acb_.解析：如图所示，连结oa，ob，则oapa，obpb.故aob110，acbaob55.答案：55备课札记 类题通法1圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小2涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直径(或半径)或向弦(弧)两端作圆周角或弦切角.考点二圆内接四边形的性质及判定典例(2014郑州模拟)如图，ab是o的直径，g是ab延长线上的一点，gcd是o的割线，过点g作ag的垂线，交直线ac于点e，交直线ad于点f，过点g作o的切线，切点为h.(1)求证：c，d，e，f四点共圆；(2)若gh6，ge4，求ef的长解(1)证明：连结db，ab是o的直径，adb90，在rtabd与rtafg中，abdafe，又abdacd，acdafe，c，d，e，f四点共圆(2)gh2gegf，又gh6，ge4，gf9，efgfge5.备课札记 类题通法证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补针对训练如图所示，在四边形abcp中，线段ap与bc的延长线交于点d，已知abac且a，b，c，p四点共圆(1)求证：；(2)若ac4，求apad的值解：(1)证明：因为点a，b，c，p四点共圆，所以abcapc180，又因为dpcapc180，所以dpcabc，又因为dd，所以dpcdba，所以，又因为abac，所以.(2)因为abac，所以acbabc，又acdacb180，所以acdabc180.由于abcapc180，所以acdapc，又capdac，所以apcacd，所以，所以apadac216.考点三与圆有关的比例线段典例(2014锦州模拟)如图，在abc中，cd是acb的平分线，acd的外接圆交bc于点e，ab2ac.(1)求证：be2ad；(2)当ac1，ec2时，求ad的长解(1)证明：连结de，因为四边形aced是圆的内接四边形，所以bdebca，又dbecba，所以bdebca，所以，而ab2ac，所以be2de.又cd是acb的平分线，所以adde，从而be2ad.(2)由已知得ab2ac2，设adt(0t2)，根据割线定理得，bdbabebc，即(abad)ba2ad(2adce)，所以(2t)22t(2t2)，即2t23t20，解得t，即ad.备课札记 类题通法1应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等2相交弦定理、切割线定理主要用于与圆有关的比例线段的计算与证明解决问题时要注意相似三角形知识与圆周角、弦切角、圆的切线等相关知识的综合应用针对训练(2014郑州模拟)如图，已知o和m相交于a，b两点，ad为m的直径，直线bd交o于点c，点g为弧bd的中点，连结ag分别交o，bd于点e，f，连结ce.求证：(1)agefcegd；(2).证明：(1)连结ab，ac，ad为m的直径，abd90，ac为o的直径，cefagd90.g为弧bd的中点，daggabecf.cefagd，agefcegd.(2)由(1)知daggabfdg，又gg，dfgadg，dg2aggf.由(1)知，.课堂练通考点1(2014惠州模拟)如图，pa切o于点a，割线pbc经过圆心o，obpb1，oa绕点o逆时针旋转60得到od，则pd的长为_解析：pa切o于点a，b为po的中点，aob60，pod120.在pod中，由余弦定理，得pd2po2do22podocospod414()7，故pd.答案：2(2014江南十校联考)如图，在圆的内接四边形abcd中，abc90，abd30，bdc45，ad1，则bc_.解析：连结ac.因为abc90，所以ac为圆的直径又acdabd30，所以ac2ad2.又bacbdc45，故bc.答案：3(2014广州模拟)如图，已知ab是o的一条弦，点p为ab上一点，pcop，pc交o于c，若ap4，pb2，则pc的长是_解析：如图，延长cp交o于点d，因为pcop，所以p是弦cd的中点，由相交弦定理知papbpc2，即pc28，故pc2.答案：24(2013新课标卷)如图，直线ab为圆的切线，切点为b，点c在圆上，abc的角平分线be交圆于点e，db垂直be交圆于点d.(1)证明：dbdc；(2)设圆的半径为1，bc，延长ce交ab于点f，求bcf外接圆的半径解：(1)证明：如图，连结de，交bc于点g.由弦切角定理得，abebce.而abecbe，故cbebce，bece.又因为dbbe，所以de为直径，则dce90，由勾股定理可得dbdc.(2)由(1)知，cdebde，dbdc，故dg是bc的中垂线，所以bg.设de的中点为o，连结bo，则bog60.从而abebcecbe30，所以cfbf，故rtbcf外接圆的半径等于.课下提升考能1(2013辽宁高考)如图，ab为o的直径，直线cd与o相切于e，ad垂直cd于d，bc垂直cd于c，ef垂直ab于f，连结ae，be.证明：(1)febceb；(2)ef2adbc.证明：(1)由直线cd与o相切，得cebeab.由ab为o的直径，得aeeb，从而eabebf；又efab，得febebf，从而febeab.故febceb.(2)由bcce，efab，febceb，be是公共边，得rtbcertbfe，所以bcbf.类似可证，rtadertafe，得adaf.又在rtaeb中，efab，故ef2afbf，所以ef2adbc.2(2013江苏高考)如图，ab和bc分别与圆o相切于点d，c，ac经过圆心o，且bc2oc.求证：ac2ad.证明：连结od.因为ab和bc分别与圆o相切于点d，c，所以adoacb90.又因为aa，所以rtadortacb.所以.又bc2oc2od，故ac2ad.3(2014哈师大模拟)如图，圆o的半径oc垂直于直径ab，弦cd交半径oa于e，过d的切线与ba的延长线交于m.(1)求证：mdme；(2)设圆o的半径为1，md，求ma及ce