高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ 2.2 函数的单调性与最大(小)值课件 文 北师大版.ppt

2 2函数的单调性与最值 第二章函数概念与基本初等函数 基础知识自主学习 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 基础知识自主学习 1 函数的单调性 1 单调函数的定义 知识梳理 f x1 f x2 f x1 f x2 下降的 上升的 2 单调区间的定义如果函数y f x 在区间a上是或是 那么就称a为单调区间 增加的 减少的 2 函数的最值 f x0 m f x m f x0 m f x m 知识拓展 3 在区间d上 两个增函数的和仍是增函数 两个减函数的和仍是减函数 4 函数f g x 的单调性与函数y f u 和u g x 的单调性的关系是 同增异减 题组一思考辨析1 判断下列结论是否正确 请在括号中打 或 1 若定义在r上的函数f x 有f 1 f 3 则函数f x 在r上为增函数 2 函数y f x 在 1 上是增函数 则函数的递增区间是 1 3 函数y 的递减区间是 0 0 4 闭区间上的单调函数 其最值一定在区间端点取到 基础自测 1 2 3 4 5 6 7 题组二教材改编2 函数f x x2 2x的递增区间是 3 函数y 在 2 3 上的最大值是 4 若函数f x x2 2mx 1在 2 上是增函数 则实数m的取值范围是 答案 1 或 1 2 2 解析由题意知 2 m m 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 题组三易错自纠5 函数y x2 4 的递减区间为 6 若函数f x 2x a 的递增区间是 3 则a的值为 解析 答案 2 6 1 2 3 4 5 6 7 解析当x 1时 函数f x 为减函数 所以f x 在x 1处取得最大值 为f 1 1 当x 1时 易知函数f x x2 2在x 0处取得最大值 为f 0 2 故函数f x 的最大值为2 解析 答案 2 1 2 3 4 5 6 7 题型分类深度剖析 命题点1给出具体解析式的函数的单调性典例 1 函数y 2x2 3x 1 的递减区间为 题型一确定函数的单调性 区间 多维探究 答案 解析 解析由2x2 3x 1 0 令t 2x2 3x 1 则y t t 2x2 3x 1的递增区间为 1 又y t在 1 上是减函数 函数y 2x2 3x 1 的递减区间为 1 2 函数y x2 2 x 3的递减区间是 答案 1 0 1 解析由题意知 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 当x 0时 y x2 2x 3 x 1 2 4 二次函数的图像如图 解析 由图像可知 函数y x2 2 x 3的递减区间为 1 0 1 解答 命题点2解析式含参数的函数的单调性典例判断并证明函数f x ax2 其中1 a 3 在 1 2 上的单调性 证明 设1 x1 x2 2 则 由1 x1 x2 2 得x2 x1 0 2 x1 x2 4 又因为1 a 3 所以2 a x1 x2 12 从而f x2 f x1 0 即f x2 f x1 故当a 1 3 时 f x 在 1 2 上是增加的 如何用导数法求解本例 解答 因为1 x 2 1 x3 8 又1 a 3 所以2ax3 1 0 所以f x 0 确定函数单调性的方法 1 定义法和导数法 证明函数单调性只能用定义法和导数法 2 复合函数法 复合函数单调性的规律是 同增异减 3 图像法 图像不连续的单调区间不能用 连接 跟踪训练 1 2017 郑州模拟 函数y 的递增区间为 解析 答案 2 函数y x 3 x 的递增区间是 解析 答案 解析 答案 题型二函数的最值 自主演练 解析由于y 在r上是减少的 y log2 x 2 在 1 1 上是增加的 所以f x 在 1 1 上是减少的 故f x 在 1 1 上的最大值为f 1 3 3 解析当x 1时 f x min 0 当x 1时 解析 答案 解析 答案 求函数最值的五种常用方法及其思路 1 单调性法 先确定函数的单调性 再由单调性求最值 2 图像法 先作出函数的图像 再观察其最高点 最低点 求出最值 3 基本不等式法 先对解析式变形 使之具备 一正二定三相等 的条件后用基本不等式求出最值 4 导数法 先求导 然后求出在给定区间上的极值 最后结合端点值 求出最值 5 换元法 对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数 再用相应的方法求最值 命题点1比较大小典例已知函数f x 的图像向左平移1个单位后关于y轴对称 当x2 x1 1时 f x2 f x1 x2 x1 a bb c b ac a c bd b a c 题型三函数单调性的应用 多维探究 解析 答案 命题点2解函数不等式典例已知函数f x 为 0 上的增函数 若f a2 a f a 3 则实数a的取值范围为 解析 答案 3 1 3 解得 33 所以实数a的取值范围为 3 1 3 命题点3求参数范围典例 1 2018 郑州模拟 函数y 在 1 上是增加的 则a的取值范围是a a 3b a 3c a 3d a 3 解析 答案 a的取值范围是a 3 解析 答案 函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 1 比较大小 2 解不等式 利用函数的单调性将 f 符号脱掉 转化为具体的不等式求解 应注意函数的定义域 3 利用单调性求参数 依据函数的图像或单调性定义 确定函数的单调区间 与已知单调区间比较 需注意若函数在区间 a b 上是单调的 则该函数在此区间的任意子集上也是单调的 分段函数的单调性 除注意各段的单调性外 还要注意衔接点的取值 解析 答案 所以y f x 在 上是增函数 2 2017 珠海模拟 定义在r上的奇函数y f x 在 0 上是增加的 且 0 则不等式f x 0的解集为 解析 答案 f x 在 0 上也是增加的 课时作业 1 函数y x2 6x 10在区间 2 4 上是a 减函数b 增函数c 先减少再增加d 先增加再减少 基础保分练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 答案 解析作出函数y x2 6x 10的图像 图略 根据图像可知函数在 2 4 上是先减少再增加 解析 答案 解析由 x2 x 6 0 得 2 x 3 故函数的定义域为 2 3 令t x2 x 6 则y t 易知其为减函数 由复合函数的性法则可知本题等价于求函数t x2 x 6在 2 3 上的递减区间 利用二次函数的性质可得t x2 x 6在定义域 2 3 上的递减区间为 故选a 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3 下列函数中 在区间 1 1 上为减函数的是 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 y cosx在区间 1 1 上不是单调函数 4 已知函数y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则实数a的取值范围是a 0 1 b 1 2 c 1 d 2 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析要使y log2 ax 1 在 1 2 上是增函数 则a 0且a 1 0 即a 1 解析 5 2017 天津 已知奇函数f x 在r上是增函数 若a b f log24 1 c f 20 8 则a b c的大小关系为a a b cb b a cc c b ad c a b 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 f x 在r上是奇函数 又f x 在r上是增函数 且log25 log24 1 log24 2 20 8 f log25 f log24 1 f 20 8 a b c 故选c 6 设f x 若f 0 是f x 的最小值 则a的取值范围为a 1 2 b 1 0 c 1 2 d 0 2 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 当x 0时 f x x a 2 f 0 是f x 的最小值 a 0 当x 0时 f x x a 2 a 当且仅当x 1时取 要满足f 0 是f x 的最小值 需2 a f 0 a2 即a2 a 2 0 解得 1 a 2 a的取值范围是0 a 2 故选d 3 解析设t x2 2x 3 由t 0 即x2 2x 3 0 解得x 1或x 3 所以函数的定义域为 1 3 因为函数t x2 2x 3的图像的对称轴为x 1 所以函数t在 1 上是减少的 在 3 上是增加的 所以函数f x 的递增区间为 3 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 0 1 函数g x 的图像如图所示 其递减区间为 0 1 9 设函数f x 在区间 2 上是增函数 那么a的取值范围是 解析 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 函数f x 在区间 2 上是增函数 解析由题意 得12 a 2 0 则a 2 又y ax a x 1 是增函数 故a 1 所以a的取值范围为1 a 2 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 11 已知函数f x x 0 2 求函数的最大值和最小值 解设x1 x2是区间 0 2 上的任意两个实数 且x1 x2 证明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由0 x10 x1 1 x2 1 0 所以f x1 f x2 0 即f x1 f x2 故f x 在区间 0 2 上是增函数 12 函数f x 4x2 4ax a2 2a 2在区间 0 2 上有最小值3 求a的值 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 0 a2 2a 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 f x min f 2 a2 10a 18 技能提升练 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 13 已知函数f x x 2x a a 0 在区间 2 4 上是减少的 则实数a的值是 8 解得a 8 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 14 已知f x 不等式f x a f 2a x 在 a a 1 上恒成立 则实数a的取值范围是 2 解析二次函数y1 x2 4x 3的对称轴是x 2 该函数在 0 上是减少的 x2 4x 3 3 同样可知函数y2 x2 2x 3在 0 上是减少的 x2 2x 3f 2a x 得到x a 2a x 即2x a 2x a在 a a 1 上恒成立 2 a 1 a a 2 实数a的取值范围是 2 15 函数f x 的定义域为d 若对于任意x1 x2 d 当x1 x2时 都有f x1 f x2 则称函数f x 在d上为非减函数 设函数f x 在 0 1 上为非减函数 且满足以下三个条件 拓展冲刺练 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析由 令x 0 可得f 1 16 已知函