高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第一节 直线的倾斜角与斜率、直线的方程课件 文.ppt

第一节直线的倾斜角与斜率 直线的方程 总纲目录 教材研读 1 直线的倾斜角 考点突破 2 斜率公式 3 两条直线平行与垂直的判定 考点二两条直线的平行与垂直 考点一直线的倾斜角与斜率 4 直线方程的五种形式 考点三求直线方程 考点四直线方程的综合问题 1 直线的倾斜角 1 定义 当直线l与x轴相交时 取x轴作为基准 x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角 当直线l与x轴 平行或重合时 规定它的倾斜角为0 2 范围 直线l倾斜角的范围是 0 教材研读 2 斜率公式 1 若直线l的倾斜角 90 则斜率k tan 2 若p1 x1 y1 p2 x2 y2 在直线l上 且x1 x2 则l的斜率k 3 两条直线平行与垂直的判定 1 两条直线平行对于两条不重合的直线l1 l2 若其斜率分别为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 特别地 当直线l1 l2不重合且斜率都不存在时 l1与l2 平行 2 两条直线垂直如果两条直线l1 l2的斜率都存在 设为k1 k2 则有l1 l2 k1 k2 1 当一条直线的斜率为零 另一条直线的斜率不存在时 两条直线互相 垂直 4 直线方程的五种形式 常见的直线系方程 1 过定点p x0 y0 的直线系方程为a x x0 b y y0 0 a2 b2 0 还可以表示为y y0 k x x0 斜率不存在时可设为x x0 2 平行于直线ax by c 0的直线系方程为ax by 0 c 3 垂直于直线ax by c 0的直线系方程为bx ay 0 4 过两条已知直线a1x b1y c1 0 a2x b2y c2 0交点的直线系方程为a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 不包括直线a2x b2y c2 0 1 2015北京海淀期末 已知直线l1 ax a 2 y 1 0 l2 ax y 2 0 若l1 l2 则实数a的值是 a 0或 3b 2或 1c 0d 3 答案a因为l1 l2 所以a 1 a 2 a 即a2 3a 0 故a 0或a 3 经检验均符合题意 故选a a 2 2015北京东城3月联考 已知直线ax y 1 0与直线x ay 1 0互相垂直 则a a 1或 1b 1c 1d 0 答案d 直线ax y 1 0与直线x ay 1 0互相垂直 1 a 1 a 0 即2a 0 a 0 故选d d 3 2016北京房山一模 某市2015年前n个月空气质量优良的总天数sn与n之间的关系如图所示 若前m个月的月平均空气质量优良天数最多 则m的值为 a 7b 9c 10d 12 c 答案c2015年前n个月空气质量优良的总天数sn与n在题图中对应点p n sn 则前n个月的月平均空气质量优良天数即为直线op的斜率 由题图易得当n 10时 直线op的斜率最大 故m 10 4 2016北京东城期末 经过圆x2 y2 2x 2y 0的圆心且与直线2x y 0平行的直线方程是 a 2x y 3 0b 2x y 1 0c 2x y 3 0d x 2y 1 0 答案a由题意得所求直线的斜率为2 且直线过点 1 1 所以直线的方程为y 1 2 x 1 即2x y 3 0 故选a a 5 2015北京海淀一模 对于 a x2 y2 2x 0 以点为中点的弦所在的直线方程是 答案y x 解析方程x2 y2 2x 0可化为 x 1 2 y2 1 易知圆心坐标为 1 0 以点为中点的弦所在的直线与过圆心 1 0 和点的直线垂直 所以所求直线的斜率为 1 所以所求直线方程为y x 即y x y x 考点一直线的倾斜角与斜率 考点突破 典例1 1 直线xsin y 2 0的倾斜角的范围是 a 0 b c d 2 直线l过点p 1 0 且与以a 2 1 b 0 为端点的线段有公共点 则直线l的斜率的取值范围为 答案 1 b 2 1 解析 1 设直线的倾斜角为 则有tan sin 又sin 1 1 0 所以0 或 2 如图 kap 1 kbp 直线l的斜率k 1 易错警示由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由直线斜率的取值范围求倾斜角的取值范围时 常借助正切函数y tanx在和上的单调性求解 应注意任何直线都有倾斜角 但不是所有直线都有斜率 当倾斜角为时 直线斜率不存在 变式1 1若将本例 2 中的条件 p 1 0 改为 p 1 0 则直线l的斜率的取值范围是什么 解析 p 1 0 a 2 1 b 0 kap kbp 如图 可知直线l的斜率的取值范围为 1 2 2017北京朝阳二模 已知过定点p 2 0 的直线l与曲线y 相交于a b两点 o为坐标原点 当 aob的面积最大时 直线l的倾斜角为 a 150 b 135 c 120 d 30 a 答案a如图所示 曲线y 表示以o 0 0 为圆心 为半径的上半圆 s aob oa ob sin aob sin aob 易得当 aob的面积最大时 oa ob 此时o到直线l的距离oq 1 在rt poq中 可知 opq 30 故直线l的倾斜角为150 故选a 考点二两条直线的平行与垂直 典例2已知直线l1 ax 2y 6 0和直线l2 x a 1 y a2 1 0 1 当l1 l2时 求a的值 2 当l1 l2时 求a的值 解析 1 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1不平行于l2 当a 0时 l1 y 3 l2 x y 1 0 l1不平行于l2 当a 1且a 0时 两直线方程可化为l1 y x 3 l2 y x a 1 由l1 l2可得解得a 1 综上可知 a 1 2 当a 1时 l1 x 2y 6 0 l2 x 0 l1与l2不垂直 故a 1不符合 当a 1时 l1 y x 3 l2 y x a 1 由l1 l2得 1 a 方法技巧两直线平行或垂直的判定方法 1 已知两直线的斜率存在 两直线平行 两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不相等 两直线垂直 两直线的斜率之积为 1 2 已知两直线的斜率不存在若两直线的斜率不存在 当两直线在x轴上的截距不相等时 两直线平行 否则两直线重合 3 已知两直线的一般方程设直线l1 a1x b1y c1 0 l2 a2x b2y c2 0 则l1 l2 a1b2 a2b1 0且b1c2 b2c1 0 l1 l2 a1a2 b1b2 0 该方法可避免对斜率是否存在进行讨论 注意 当直线方程中存在字母参数时 不仅要考虑斜率存在的一般情况 还要考虑斜率不存在的特殊情况 同时还要注意x y的系数不能同时为零这一隐含条件 2 1 2017北京昌平上学期期末 已知直线3x 1 a y 1 0与直线x y 2 0平行 则a的值为 a 4b 4c 2d 2 答案a直线x y 2 0的斜率为1 因为两条直线平行 所以 1 解得a 4 a 2 2 2016北京东城一模 已知直线ax 3y 1 0与直线3x y 2 0互相垂直 则a a 3b 1c 1d 3 答案c直线ax 3y 1 0可化为y x 直线3x y 2 0可化为y 3x 2 两直线互相垂直 3 1 a 1 c 典例3 1 求过点a 1 3 斜率是直线y 4x的斜率的的直线方程 2 求经过点a 5 2 且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程 3 求过a 2 1 b m 3 两点的直线l的方程 考点三求直线方程 解析 1 设所求直线的斜率为k 依题意k 4 又直线经过点a 1 3 因此所求直线方程为y 3 x 1 即4x 3y 13 0 2 当直线不过原点时 设所求直线方程为 1 a 0 将 5 2 代入所设方程 解得a 所以直线方程为x 2y 1 0 当直线过原点时 设所求直线方程为y kx k 0 则 5k 2 解得k 所以直线方程为y x 即2x 5y 0 故所求直线方程为2x 5y 0或x 2y 1 0 3 当m 2时 直线l的方程为x 2 当m 2时 直线l的方程为 即2x m 2 y m 6 0 将m 2代入方程2x m 2 y m 6 0 得x 2 所以直线l的方程为2x m 2 y m 6 0 易错警示 1 在求直线方程时 应选择适当的形式 并注意各种形式的适用条件 2 对于点斜式 截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用 若采用点斜式 应先考虑斜率不存在的情况 若采用截距式 应判断截距是否为零 3 1根据所给条件求直线的方程 1 直线过点 4 0 倾斜角的正弦值为 2 直线过点 3 4 且在两坐标轴上的截距之和为12 3 直线过点 5 10 且原点到该直线的距离为5 解析 1 由题设知 该直线的斜率存在 故可采用点斜式 设倾斜角为 则sin 0 从而cos 则斜率k tan 故所求直线方程为y x 4 即x 3y 4 0或x 3y 4 0 2 由题设知截距不为0 设直线方程为 1 又直线过点 3 4 所以 1 解得a 4或a 9 故所求直线方程为4x y 16 0或x 3y 9 0 3 当斜率不存在时 所求直线方程为x 5 0 当斜率存在时 设斜率为k 则所求直线方程为y 10 k x 5 即kx y 10 5k 0 5 解得k 所求直线方程为3x 4y 25 0 综上 所求直线方程为x 5 0或3x 4y 25 0 典例4过点p 4 1 作直线l分别交x y轴正半轴于a b两点 1 当 aob的面积最小时 求直线l的方程 2 当 oa ob 取最小值时 求直线l的方程 考点四直线方程的综合问题 4 1已知直线l kx y 1 2k 0 k r 1 证明 直线l过定点 2 若直线不经过第四象限 求k的取值范围 3 若直线l交x轴负半轴于a 交y轴正半轴于b aob的面积为s o为坐标原点 求s的最小值 并求此时直线l的方程 解