山东省临沂市郯城一中高二数学4月月考试题 理 新人教A版.doc

2012-2013学年山东省临沂市郯城一中高二（下）4月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个正确的）1（5分）（2012青岛二模）设复数（其中i为虚数单位），则的虚部为（）a2ib0c10d2考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：首先计算出z2=34i，代入则即可求出其虚部解答：解：，z2=（12i）2=34i，复数的虚部为2故选d点评：本题综合考查了复数的运算及其基本概念，熟练掌握运算法则、准确理解基本概念是做好本题的关键2（5分）若函数f（x）=2x2+1，图象上p（1，3）及邻近上点q（1+x+y），则=（）a4b4xc4+2xd2x考点：变化的快慢与变化率专题：计算题；导数的概念及应用分析：计算y=f（1+x）f（1），进而可求解答：解：由题意，y=f（1+x）f（1）=2（1+x）2+13=4x+22 x =4+2x故选c点评：本题考查导数的概念，考查学生的计算能力，属于基础题3（5分）已知，则（）abcd考点：微积分基本定理专题：计算题；导数的概念及应用分析：根据已知可得，=，然后根据积分基本定理可求解答：解：，则=故选c点评：本题主要考查了积分基本定理的简单应用，属于基础试题4（5分）设1a1，z为复数且满足（1+ai）z=a+i，则z在复平面内对应的点在（）ax轴下方bx轴上方cy轴左方dy轴右方考点：复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：由题设条件，可先由（1+ai）z=a+i解出z，再由a的范围，推出z对应的点的坐标，即可判断选项解答：解：由题设条件，复数z满足（1+ai）z=a+i，z=，又1a10，（1，1），所以复数对应的点在x轴上方故选b点评：本题考查复数的代数表示及其几何意义，理解得数代数表示的几何意义是解题的关键，本题考查了数形结合的思想及转化的思想，是复数中的基本题型5（5分）函数f（x）为偶函数，且f（x）存在，则f（0）=（）a1b1c0dx考点：导数的运算；函数奇偶性的判断专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用分析：由函数f（x）为偶函数得到f（x）=f（x），两边进行求导运算，然后在得到的式子中取x=0即可求得f（0）解答：解：因为f（x）为偶函数，则f（x）=f（x），所以f（x）=f（x）（1），右边移到左边，得f（x）+f（x）=0，取x=0得：f（0）+f（0）=0即f（0）=0故选c点评：本题考查了函数奇偶性性质的应用，考查了导数的运算，解答此题的关键是想到把f（x）=f（x）两边求导数，此题是基础题6（5分）若函数，则f（2）=（）a3b6c2d考点：导数的加法与减法法则专题：导数的概念及应用分析：把给出的函数求导，得到导函数后取x=1即可求得f（1），然后把f（1）代回导函数解析式，取x=2后即可求得f（2）解答：解：由，得f（x）=x22f（1）x+2取x=1得：f（1）=122f（1）+2，所以f（1）=1则f（x）=x22x+2，所以f（2）=2222+2=2故选c点评：本题考查了导数的加法与减法法则，考查了基本初等函数的导数公式，解答此题的关键是理解已知函数解析式中的f（1）为常数，是中档题7（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，则实数m的取值范围是（）a（，+）b（，c，+）d（，）考点：利用导数研究函数的单调性分析：对函数进行求导，令导函数大于等于0在r上恒成立即可解答：解：若函数y=x3+x2+mx+1是r上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0恒成立，即=412m0，m故选c点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系即当导数大于0是原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减8（5分）函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是（）a5，15b5，4c4，15d5，16考点：利用导数求闭区间上函数的最值专题：计算题分析：对函数y=2x33x212x+5求导，利用导数研究函数在区间0，3上的单调性，根据函数的变化规律确定函数在区间0，3上最大值与最小值位置，求值即可解答：解：由题意y=6x26x12令y0，解得x2或x1故函数y=2x33x212x+5在（0，2）减，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=15，y（3）=4故函数y=2x33x212x+5在区间0，3上最大值与最小值分别是5，15故选a点评：本题考查用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值，利用单调性研究函数的最值，是导数的重要运用，注意上类题的解题规律与解题步骤9（5分）若函数f（x）=x33bx+3b在（0，1）内有极小值，则（）a0b1bb1cb0db考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题分析：先对函数f（x）进行求导，然后令导函数等于0，由题意知在（0，1）内必有根，从而得到b的范围解答：解：因为函数在（0，1）内有极小值，所以极值点在（0，1）上令f（x）=3x23b=0，得x2=b，显然b0，x=又x（0，1），010b1故选a点评：本题主要考查应用导数解决有关极值与参数的范围问题10（5分）下列说法正确的有（）个已知函数f（x）在（a，b）内可导，若f（x）在（a，b）内单调递增，则对任意的x（a，b），有f（x）0函数f（x）图象在点p处的切线存在，则函数f（x）在点p处的导数存在；反之若函数f（x）在点p处的导数存在，则函数f（x）图象在点p处的切线存在因为32，所以3+i2+i，其中i为虚数单位定积分定义可以分为：分割、近似代替、求和、取极限四步，对求和中i的选取是任意的，且in仅于n有关已知2i3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别是12，26a0b1c3d4考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：利用导数的概念与几何意义可对作出判断，利用虚数不能比较大小可判断，由定积分的定义可判断，利用两复数相等的条件可判断解答：解：令f（x）=x3，则f（x）=x3在（1，1）内单调递增，但当x=0时，f（x）=0，故错误；令f（x）=x3，函数f（x）在点p（0，0）处的导数存在，但函数f（x）图象在点p处的切线不存在，故错误；由于虚数不能比较大小，故错误；由定积分定义可知，in不仅与n有关，还与i的选取有关，故错误；2i3是方程2x2+px+q=0的一个根，2（2i3）2+p（2i3）+q=0，103p+q+（2p24）i=0，解得p=12，q=26故正确综上所述，5个命题中只有一个命题正确故选b点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查综合掌握知识、运用知识的能力，属于难题11（5分）（2008广东）设ar，若函数y=eax+3x，xr有大于零的极值点，则（）aa3ba3cada考点：利用导数研究函数的极值专题：计算题；压轴题分析：题目中：“有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f（x）=3+aeax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围解答：解：设f（x）=eax+3x，则f（x）=3+aeax若函数在xr上有大于零的极值点即f（x）=3+aeax=0有正根当有f（x）=3+aeax=0成立时，显然有a0，此时x=ln（）由x0，得参数a的范围为a3故选b点评：本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法12（5分）已知函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2）=0，当x0时，有xf（x）f（x）0成立，则不等式x2f（x）0的解集是（）a（2，0）（2，+）b（，2）（2，+）c（2，0）（0，2）d（，2）（0，2）考点：利用导数研究函数的单调性专题：计算题；作图题；导数的概念及应用分析：令g（x）=，依题意，可求得0x2或x2时f（x）0，从而可求得不等式x2f（x）0的解集解答：解：g（x）=，则g（x）=，当x0时，有xf（x）f（x）0成立，当x0时，g（x）0，g（x）=在（0，+）上单调递减，函数f（x）是定义在r上的奇函数，f（2）=0，g（x）=g（x），g（x）为偶函数，且g（2）=0，当0x2时，g（x）0，于是此时f（x）0；同理可得，当x2时，g（x）0，于是此时f（x）0；f（x）0的解集为x|x2或0x2不等式x2f（x）0的解集就是f（x）0的解集，为x|x2或0x2故选d点评：本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数的奇偶性与单调性，考查分析与作图能力，属于中档题二、填空题（本大题共4个小题，每个题4分，共16分）13（4分）（2010惠州三模）=考点：定积分专题：计算题分析：欲求定积分，可利用定积分的几何意义求解，即可被积函数y=与x轴在01所围成的图形的面积即可解答：解：根据积分的几何意义，由图可得，原积分的值即为图中阴影部分的面积即包括一个扇形和一个三角形，故答案为：点评：本小题主要考查定积分、定积分的几何意义、三角形的面积、圆的面积等基础知识，考查考查数形结合思想属于基础题14（4分）（2007江苏一模）抛物线y=x2上的点到直线4x+3y8=0的距离的最小值是考点：抛物线的简单性质专题：计算题分析：先对y=x2求导得到与直线4x+3y8=0平行的切线的切点坐标，再由点到线的距离公式可得答案解答：解：先对y=x2求导得y=2x令y=2x=易得x0=即切点p（，）利用点到直线的距离公式得d=故答案为：点评：本题主要考查抛物线的基本性质和点到线的距离公式考查综合运用能力15（4分）如果复数（i为虚数单位，br）为纯虚数，则z=1bi所对应的点关于直线y=x的对称点为（2，1）考点：复数代数形式的乘除运算；复数的代数表示法及其几何意义专题：计算题分析：利用复数的运算法则进行化简，再利用纯虚数的定义即可得出b，从而z=1bi所对应的点及此点关于直线y=x的对称点解答：解：=为纯虚数，解得b=2z=1bi=12i所对应的点为（1，2），则点（1，2）关于直线y=x的对称为（2，1）故答案为（2，1）点评：熟练掌握复数的运算法则、纯虚数的定义、复数的几何意义、及关于直线y=x的对称点的特点是解题的关键16（4分）已知函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则c=6考点：函数在某点取得极值的条件专题：导数的概念及应用分析：由已知函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，则必有f（2）=0，且在x=2的左侧附近f（x）0，右侧附近f（x）0，据此即可求出c的值解答：解：f（x）=（xc）2+2x（xc）=3x24cx+c2，且函数f（x）=x（xc）2在x=2处有极大值，f（2）=0，即c28c+12=0，解得c=6或2经检验c=2时，函数f（x）在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去故c=6故答案为6点评：熟练掌握利用导数研究函数的极值的方法是解题的关键三、解答题（本大题共6个小题，要写出必要的演算步骤）17（12分）计算下列各题（）已知函数，求f（2）；（）求（）已知为z的共轭复数，且，求考点：导数的运算；定积分；复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：（）利用导数的运算法则对原函数求导，然后在导函数中取x=2进行计算；（）利用和的积分等于积分的和拆开，然后利用奇函数在对称区间上的定积分为0，把剩余部分求出被积函数的原函数再利用微积分基本定理求解；（）把给出的等式两边同时除以复数1+2i，然后利用复数的除法运算进行化简得到复数z，求出，代入后再利用复数的除法运算即可求得结果解答：解：（）由，所以，则=（）=（）由，得：所以z=2+i 则点评：本题考查了导数的运算，考查了定积分，考查了复数的除法运算，涉及基础性的知识较多，是计算类型题目，解答此题的关键是题目（）的计算，奇函数在对称区间上的定积分等于0用的灵活，该题是中低档题18（12分）已知函数f（x）=ax3+b，其图象在点p处的切线为l：y=4x4，点p的横坐标为2（如图）求直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；定积分专题：导数的综合应用分析：先利用导数求出该点的斜率，然后求出切点的坐标，得出函数的解析式，最后根据定积分即可求出直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积解答：解：f（x）=3ax2f（2）=12a，切线的斜率 k=12a，切线方程为：y=4x4，切点坐标为了（2，4）12a=4，a=，且f（2）=ax3+b=4，b=，即，直线l：y=4x4与x轴的交点的横坐标为1，所以直线l、直线x=0、直线y=0以及f（x）的图象在第一象限所围成区域的面积为：=+222（+2）=2点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，同时考查了定积分，属于中档题19（12分）已知x=3是函数f（x）=（x2+ax+b）e3x，（xr）的一个极值点（）求a与b的关系式（用a表示b），并求f（x）的单调区间；（）当a0时，求f（x）在0，4上的值域考点：函数在某点取得极值的条件；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（）求出f（x），因为x=3是函数f（x）的一个极值点得到f（3）=0即可得到a与b的关系式；令f（x）=0，得到函数的极值点，用a的范围分两种情况分别用极值点讨论得到函数的单调区间；（）由（）知，当a0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，得到f（x）在区间0，4上的值域解答：解：（）f（x）=（2x+a）e3x（x2+ax+b）e3x=x2+（a2）x+bae3x由f（3）=0得b=32a3f（x）=（x3）（x+a+1）e3x（1）当a13，即a4时，令f（x）0得3xa1令f（x）0得x3或xa1（2）当a1=3，即a=4时，f（x）=（x3）2e3x，由于（x3）20，且e3x0，故f（x）=（x3）2e3x0恒成立；（3）当a13，即a4时，令f（x）0得a1x3令f（x）0得xa1或x3，综上述：（1）当a4时f（x）的单调递增区间为（3，a1），递减区间（，3），（a1，+）（2）当a4时f（x）的单调递增区间为（a1，3），递减区间（，a1），（3，+）（3）当a=4时f（x）在（，+）上单调递减8（）由（）知，当a0时，f（x）在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f（x）在区间0，4上的值域是min（f（0），f（4），f（3），而f（0）=（2a+3）e30，f（4）=（2a+13）e10，f（3）=a+6，那么f（x）在区间0，4上的值域是（2a+3）e3，a+6点评：本题主要考查函数、导数在最大值、最小值问题中的应用和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力20（12分）设曲线y=（ax1）ex在点a（x0，y1）处的切线为l1，曲线y=（1x）ex在点b（x0，y2）处的切线为l2，若存在，使得l1l2，求实数a的取值范围考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的一般式方程与直线的垂直关系专题：导数的综合应用分析：根据曲线方程分别求出导函数，把a和b的横坐标x0分别代入到相应的导函数中求出切线l1和切线为l2的斜率，然后根据两条切线互相垂直得到斜率乘积为1，列出关于等式由x00，解出a=，然后根据为减函数求出其值域即可得到a的取值范围解答：解：函数y=（ax1）ex的导数为y=（ax+a1）ex，l1的斜率为k1=（ax0+a1）ex0，函数y=（1x）ex的导数为y=（x2）exl2的斜率为k2=（x02）ex0，由题设有k1k2=1从而有（ax0+a1）ex0（x02）ex0=1a（x02x02）=x03x00，得到x02x020，所以a=，又a=，令导数大于0得1x05，故a=在（0，1）是减函数，在（1，）上是增函数，x0=0时取得最大值为=；x0=1时取得最小值为11a故实数a的取值范围为：1a点评：本题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，以及直线的一般式方程与直线的垂直关系21（12分）已知函数f（x）=2x210x，（xr），问是否存在自然数m，使得方程在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系；根的存在性及根的个数判断专题：计算题；导数的综合应用分析：依题意，将f（x）+=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解转化为2x310x2+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，通过导数可分析得方程h（x）=0在（3，），（，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+）内没有实数根，从而可得答案解答：解：依题意，问题等价于方程2x310x2+37=0在（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数根，令h（x）=2x310x2+37，h（x）=6x220x=6x（x），当x（0，）时，h（x）0，h（x）在区间（0，）上单调递减；当x（，+）时，h（x）0，h（x）在区间（，+）上单调递增；4分由于h（3）=10，h（）=0，h（4）=50，7分所以方程h（x）=0在（3，），（，4）内分别有唯一实数根，而在（0，3），（4，+）内没有实数根10分所以存在唯一自然数m=3使得方程f（x）+=0在区间（m，m+1）内有且仅有两个不等的实数解