【三维设计】高考数学总复习（基础知识+高频考点+解题训练）第四章 平面向量的数量积与平面向量应用举例教学案（含解析）新人教A版.doc

平面向量的数量积与平面向量应用举例知识能否忆起一、两个向量的夹角1定义已知两个非零向量a和b，作a，b，则aob叫做向量a与b的夹角2范围向量夹角的范围是0180，a与b同向时，夹角0；a与b反向时，夹角180.3向量垂直如果向量a与b的夹角是90，则a与b垂直，记作ab.二、平面向量数量积1已知两个非零向量a与b，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab，即ab|a|b|cos ，其中是a与b的夹角规定0a0.当ab时，90，这时ab0.2ab的几何意义：数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积三、向量数量积的性质1如果e是单位向量，则aeea.2abab0.3aa|a|2，|a|.4cos .(为a与b的夹角)5|ab|a|b|.四、数量积的运算律1交换律：abba.2分配律：(ab)cacbc.3对r，(ab)(a)ba(b)五、数量积的坐标运算设a(a1，a2)，b(b1，b2)，则：1aba1b1a2b2.2aba1b1a2b20.3|a|.4cos .(为a与b的夹角)小题能否全取1已知向量a，b和实数，下列选项中错误的是()a|a|b|ab|a|b|c(ab)ab d|ab|a|b|解析：选b|ab|a|b|cos |，只有a与b共线时，才有|ab|a|b|，可知b是错误的2已知|a|4，|b|3，a与b的夹角为120，则b在a方向上的投影为()a2 b.c2 d解析：选d|b|cos 3cos 120.3(2012重庆高考)设xr，向量a(x,1)，b(1，2)，且ab，则|ab|()a. b.c2 d10解析：选bab，ab0，即x20，x2.a(2,1)，a25，b25，|ab|.4已知向量a和向量b的夹角为30，|a|2，|b|，则向量a和向量b的数量积ab_.解析：ab23.答案：35已知|a|1，|b|6，a(ba)2，则向量a与b的夹角_.解析：a(ba)aba22，ab2a23.cos .向量a与b的夹角为.答案：1.对两向量夹角的理解 (1)两向量的夹角是指当两向量的起点相同时，表示两向量的有向线段所形成的角，若起点不同，应通过移动，使其起点相同，再观察夹角 (2)两向量夹角的范围为0，特别当两向量共线且同向时，其夹角为0，共线且反向时，其夹角为. (3)在利用向量的数量积求两向量的夹角时，一定要注意两向量夹角的范围 2向量运算与数量运算的区别 (1)若a，br，且ab0，则有a0或b0，但ab0却不能得出a0或b0. (2)若a，b，cr，且a0，则由abac可得bc，但由abac及a0却不能推出bc. (3)若a，b，cr，则a(bc)(ab)c(结合律)成立，但对于向量a，b，c，而(ab)c与a(bc)一般是不相等的，向量的数量积是不满足结合律的 (4)若a，br，则|ab|a|b|，但对于向量a，b，却有|ab|a|b|，等号当且仅当ab时成立平面向量数量积的运算典题导入例1(1)若向量a(1,1)，b(2,5)，c(3，x)满足条件(8ab)c30，则x()a6b5c4 d3 (2) (2012浙江高考)在abc中，m是bc的中点，am3，bc10，则_.自主解答(1)8ab8(1,1)(2,5)(6,3)，所以(8ab)c(6,3)(3，x)30.即183x30，解得x4. (2) 如图所示，mc，()()22|2|292516.答案(1)c(2)16由题悟法平面向量数量积问题的类型及求法(1)已知向量a，b的模及夹角，利用公式ab|a|b|cos 求解；(2)已知向量a，b的坐标，利用数量积的坐标形式求解以题试法1(1)(2012天津高考)在abc中，a90，ab1，ac2.设点p，q满足，(1) ，r.若2，则()a. b.c. d2解析：选b由题意可知(1) ，且0，故(1) 222.又|1，|2，代入上式解得.(2)(2011江西高考)已知两个单位向量e1，e2的夹角为，若向量b1e12e2，b23e14e2，则b1b2_.解析：b1e12e2，b23e14e2，则b1b2(e12e2)(3e14e2)3e2e1e28e.又因为e1，e2为单位向量，夹角为，所以b1b23283186.答案：6两平面向量的夹角与垂直典题导入例2(1)(2012福州质检)已知|a|1，|b|2，a与b的夹角为120，abc0，则a与c的夹角为()a150b90c60 d30(2)(2011新课标全国卷)已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量ab与向量kab垂直，则k_.自主解答(1)ab12cos 1201，cab，aca(ab)aaab110，ac.a与c的夹角为90.(2)a与b是不共线的单位向量，|a|b|1.又kab与ab垂直，(ab)(kab)0，即ka2kababb20.k1kabab0.即k1kcos cos 0(为a与b的夹角)(k1)(1cos )0.又a与b不共线，cos 1.k1.答案(1)b(2)1若本例(1)条件变为非零向量a，b，c满足|a|b|c|，abc，试求a与b的夹角解：设|a|m(m0)，a，b的夹角为，由题设知(ab)2c2，即2m22m2cos m2，得cos .又0180，所以120，即a，b的夹角为120.由题悟法1求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角2当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得ab及|a|，|b|或得出它们的关系以题试法2(1)设向量a(x1,1)，b(x1,3)，则a(ab)的一个充分不必要条件是()ax0或2 bx2cx1 dx2(2)已知向量a(1,0)，b(0,1)，cab(r)，向量d如图所示，则()a存在0，使得向量c与向量d垂直b存在0，使得向量c与向量d夹角为60c存在0，使得向量c与向量d共线解析：(1)选ba(x1,1)，ab(x1,1)(x1,3)(2x2，2)，故a(ab)2(x1)220x0或2，故x2是a(ab)的一个充分不必要条件(2)选d由图可知d4a3b4，故d正确；对于a，由图知若向量c与向量d垂直，则有0，则由图观察得向量c与向量d夹角小于60；对于c，若c)自主解答(1)由题意知，f(x)2cos2xsin 2x1cos 2xsin 2x12cos，f(x)的最小正周期t，ycos x在2k，2k(kz)上单调递减，令2k2x2k，得kxk.f(x)的单调递减区间，kz.(2)f(a)12cos1，cos1.又2ac，b3，c2.由题悟法向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、夹角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题以题试法4(1)(2012朔州调研)质点受到平面上的三个力f1，f2，f3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态，已知f1，f2成60角，且f1，f2的大小分别为2和4，则f3的大小为()a2b2c2 d6(2)若m为abc所在平面内一点，且满足()(2)0，则abc为()a直角三角形 b等腰三角形c等边三角形 d等腰直角三角形解析：(1)选a由已知条件f1f2f30，则f3f1f2，fff2|f1|f2|cos 6028.因此，|f3|2.(2)选b由()(2)0，可知()0，设bc的中点为d，则2，故0.所以.又d为bc的中点，故abc为等腰三角形1(2012豫东、豫北十校阶段性测试)若向量a(x1,2)和向量b(1，1)平行，则|ab|()a.b.c. d.解析：选c依题意得，(x1)210，得x3，故ab(2,2)(1，1)(1,1)，所以|ab|.2(2012山西省考前适应性训练)已知向量a(2,3)，b(4,7)，则a在b方向上的投影为()a. b.c. d.解析：选d依题意得，向量a在b方向上的投影为.3已知a，b，c为平面上不共线的三点，若向量(1,1)，n(1，1)，且n2，则n等于()a2 b2c0 d2或2解析：选bnn()nn(1，1)(1，1)2022.4(2012湖南高考)在abc中，ab2，ac3，1，则bc()a. b.c2 d.解析：选a1，且ab2，1|cos(b)，|cos b.在abc中，ac2ab2bc22abbccos b，即94bc222.bc.5已知非零向量a，b满足|ab|ab|a|，则ab与ab的夹角为()a30 b60c120 d150解析：选b将|ab|ab|两边同时平方得ab0；将|ab|a|两边同时平方得b2a2，所以cos .6如图，在abc中，adab，|1，则()a2 b3c. d.解析：选d建系如图设b(xb,0)，d(0,1)，c(xc，yc)，(xcxb，yc)，(xb,1)，xcxbxbxc(1)xb，yc，(1)xb，)，(0,1)，.7(2013“江南十校”联考)若|a|2，|b|4，且(ab)a，则a与b的夹角是_解析：设向量a，b的夹角为.由(ab)a得(ab)a0，即|a|2ab0，|a|2，ab4，|a|b|cos 4，又|b|4，cos ，即.向量a，b的夹角为.答案：8(2012新课标全国卷)已知向量a，b夹角为45，且|a|1，|2ab|，则|b|_.解析：a，b的夹角为45，|a|1，ab|a|b|cos 45|b|，|2ab|244|b|b|210.|b|3.答案：39(2012大连模拟)已知向量a(2，1)，b(x，2)，c(3，y)，若ab，(ab)(bc)，m(x，y)，n(y，x)，则向量的模为_解析：ab，x4.b(4，2)，ab(6，3)，bc(1，2y)(ab)(bc)，(ab)(bc)0，即63(2y)0，解得y4.向量(8,8)，|8.答案：810已知a(1,2)，b(2，n)，a与b的夹角是45.(1)求b；(2)若c与b同向，且a与ca垂直，求c.解：(1)ab2n2，|a|，|b|，cos 45，3n216n120(n1)n6或n(舍)b(2,6)(2)由(1)知，ab10，|a|25.又c与b同向，故可设cb(0)(ca)a0，ba|a|20.cb(1,3)11已知|a|4，|b|8，a与b的夹角是120.(1)计算：|ab|，|4a2b|；(2)当k为何值时，(a2b)(kab)?解：由已知得，ab4816.(1)|ab|2a22abb2162(16)6448，|ab|4.|4a2b|216a216ab4b2161616(16)464768，|4a2b|16.(2)(a2b)(kab)，(a2b)(kab)0，ka2(2k1)ab2b20，即16k16(2k1)2640.k7.即k7时，a2b与kab垂直12设在平面上有两个向量a(cos ，sin )(0360)，b.(1)求证：向量ab与ab垂直；(2)当向量ab与ab的模相等时，求的大小解：(1)证明：因为(ab)(ab)|a|2|b|2(cos2sin2)0，所以ab与ab垂直(2)由|ab|ab|，两边平方得3|a|22ab|b|2|a|22ab3|b|2，所以2(|a|2|b|2)4ab0.而|a|b|，所以ab0，则cos sin 0，即cos(60)0，所以60k18090，即k18030，kz.又0360，则30或210.1已知两个非零向量a，b满足|ab|ab|，则下面结论正确的是()aab babc|a|b| dabab解析：选b因为|ab|ab|，所以(ab)2(ab)2，即ab0，故ab.2(2012山东实验中学四诊)abc的外接圆的圆心为o，半径为1，若2，且|，则向量在向量方向上的射影为()a. b.c3 d解析：选a由已知条件可以知道，abc的外接圆的圆心在线段bc的中点o处，因此abc是直角三角形，且a.又|，所以c，b，ab，ac1，故在上的射影|cos.3已知(6,1)，(x，y)，(2，3)(1)若，求x与y之间的关系式；(2)在(1)条件下，若，求x，y的值及四边形abcd的面积解：(1)(x4，y2)，(x4,2y)又且(x，y)，x(2y)y(x4)0，即x2y0.(2)由于(x6，y1)，(x2，y3)，又，所以0，即(x6)(x2)(y1)(y3)0.联立化简，得y22y30.解得y3或y1.故当y3时，x6，此时(0,4)，(8,0)，所以sabcd|16；当y1时，x2，此时(8,0)，(0，4)，sabcd|16.1abc中，ab边的高为cd，若a，b，ab0，|a|1，|b|2，则()a.ab b.abc.ab d.ab解析：选d如图，ab0，ab，acb90，ab.又cdab，ac2adab，ad.(ab)ab.2(2012郑州质检)若向量a(x1,2)，b(4，y)相互垂直，则9x3y的最小值为()a12 b2c3 d6解析：选d依题意得4(x1)2y0，即2xy2,9x3y32x3y2226，当且仅当