高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何 第九节 圆锥曲线的综合问题课件 文.ppt

第九节圆锥曲线的综合问题 总纲目录 考点突破 考点二圆锥曲线中的定点 定值问题 考点一圆锥曲线中的范围 最值问题 考点三圆锥曲线中的探索性问题 考点一圆锥曲线中的范围 最值问题 考点突破 典例1 2018北京东城期末 已知椭圆c 1 a b 0 的右焦点f 1 0 与短轴两个端点的连线互相垂直 1 求椭圆c的标准方程 2 设点q为椭圆c上一点 过原点o且垂直于qf的直线与直线y 2交于点p 求 opq的面积s的最小值 解析 1 由题意 得解得a 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 设q x0 y0 p m 2 则 1 当m 0时 点p 0 2 q点坐标为 0 或 0 s 2 当m 0时 直线op的方程为y x 即2x my 0 直线qf的方程为y x 1 点q x0 y0 到直线op的距离d 方法技巧圆锥曲线中的最值 范围 问题类型较多 解法灵活多变 但总体上主要有两种方法 一是几何法 即通过利用曲线的定义 几何性质以及平面几何中的定理 性质等进行求解 二是代数法 即把要求最值 范围 的几何量或代数表达式表示为某个 些 变量的函数 然后利用函数方法 基本不等式方法等进行求解 1 1 2017北京朝阳一模 过点a 1 0 的直线l与椭圆c y2 1相交于e f两点 自e f分别向直线x 3作垂线 垂足分别为e1 f1 1 当直线l的斜率为1时 求线段ef的中点坐标 2 记 aee1 aff1的面积分别为s1 s2 设 s1s2 求 的取值范围 解析 1 依题意 得直线l的方程为y x 1 由得2x2 3x 0 设e x1 y1 f x2 y2 线段ef的中点为m x0 y0 则x1 x2 则x0 y0 x0 1 所以m 2 设直线l的方程为x my 1 由得 m2 3 y2 2my 2 0 显然m r 设e x1 y1 f x2 y2 则e1 3 y1 f1 3 y2 则y1 y2 y1y2 典例2 2016北京 19 14分 已知椭圆c 1过a 2 0 b 0 1 两点 1 求椭圆c的方程及离心率 2 设p为第三象限内一点且在椭圆c上 直线pa与y轴交于点m 直线pb与x轴交于点n 求证 四边形abnm的面积为定值 考点二圆锥曲线中的定点 定值问题 解析 1 由题意得 a 2 b 1 所以椭圆c的方程为 y2 1 又c 所以离心率e 2 证明 设p x0 y0 x0 0 y0 0 则 4 4 又a 2 0 b 0 1 所以 直线pa的方程为y x 2 令x 0 得ym 从而 bm 1 ym 1 2 1 2016北京东城期末 已知椭圆c 1 a b 0 过点 0 且满足a b 3 1 求椭圆c的方程 2 斜率为的直线交椭圆c于两个不同点a b 点m的坐标为 2 1 设直线ma与mb的斜率为k1 k2 若直线过椭圆c的左顶点 求此时k1 k2的值 试探究k1 k2是否为定值 并说明理由 解析 1 由椭圆过点 0 得b 因为a b 3 故a 2 所以椭圆c的方程为 1 2 若直线过椭圆的左顶点 则直线的方程是l y x 由解得或故k1 k2 k1 k2为定值 且k1 k2 0 设直线的方程为y x m 由消去y 得x2 2mx 2m2 4 0 当 4m2 8m2 16 0 即 2 m 2时 直线与椭圆交于两点 设a x1 y1 b x2 y2 典例3 2017北京海淀一模 已知椭圆c 1 a b 0 的左 右顶点分别为a b 且 ab 4 离心率为 1 求椭圆c的方程 2 设点q 4 0 若点p在直线x 4上 直线bp与椭圆交于另一点m 是否存在点p 使得四边形apqm为梯形 若存在 求出点p的坐标 若不存在 说明理由 考点三圆锥曲线中的探索性问题 因为点m在直线pb上 所以y1 x1 2 将 代入 得 显然y0 0 解得x1 1 由点m在椭圆上 得 1 所以y1 即m 将其代入 解得y0 3 所以p 4 3 方法技巧 1 探索性问题通常采用 肯定顺推法 其步骤如下 假设满足条件的元素 点 直线 曲线或参数 存在 列出与该元素相关的方程 组 若方程 组 有实数解 则元素存在 否则 元素不存在 2 反证法与验证法也是求解探索性问题的常用方法 3 1 2017北京丰台一模 已知p 0 1 是椭圆c 1 a b 0 上一点 点p到椭圆c的两个焦点的距离之和为2 1 求椭圆c的方程 2 设a b是椭圆c上异于点p的两点 直线pa与直线x 4交于点m 是否存在点a 使得s abp s abm 若存在 求出点a的坐标 若不存在 请说明理由 解析 1 由椭圆c 1 a b 0 过点p 0 1 可得b 1 由点p到两个焦点的距离之和为2 可得a 所以椭圆c的方程为 y2 1 2 存在 理由如下 假设存在点a 使s abp s abm 依题意得直线pa的斜率存在且不为零 设a m n m 0 则直线pa