高考数学一轮复习 第二章 函数、导数及其应用 第13讲 抽象函数配套课件 理.ppt

第13讲抽象函数 1 下列四类函数中 有性质 对任意的x 0 y 0 函数f x c 满足f x y f x f y 的是 a 幂函数c 指数函数 b 对数函数d 余弦函数 解析 假设f x ax 则f x f y axay ax y f x y 2 已知f x y f x y 2f x f y 且f x 0 则f x 是 a 奇函数 b b 偶函数c 非奇非偶函数d 不确定解析 令x y 0 则2f 0 2 f 0 2 因为f x 0 所以f 0 1 令x 0 则f y f y 2f y f y f y f x 为偶函数 故选b a 0 考点1 正比例函数型抽象函数 例1 设函数f x 对任意x y r 都有f x y f x f y 且当x 0时 f x 0 f 1 2 1 求证 f x 是奇函数 2 试问当 3 x 3时 f x 是否有最值 如果有 求出最值 如果没有 说出理由 1 证明 令x y 0 则有f 0 2f 0 f 0 0 令y x 则有f 0 f x f x 即f x f x f x 是奇函数 2 解 当 3 x 3时 f x 有最值 理由如下 任取x10 f x2 x1 0 f x1 f x2 y f x 在r上为减函数 因此f 3 为函数的最小值 f 3 为函数的最大值 f 3 f 1 f 2 3f 1 6 f 3 f 3 6 函数的最大值为6 最小值为 6 规律方法 1 利用赋值法解决抽象函数问题时需把握如下三点 一是注意函数的定义域 二是利用函数的奇偶性去掉函数符号 f 前的 负号 三是利用函数单调性去掉函数符 号 f 2 解决正比例函数型抽象函数的一般步骤为 f 0 0 f x 是奇函数 f x y f x f y 单调性 3 判断单调性小技巧 设x10 f x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 f x1 得到函数单调递减 互动探究 1 已知定义在r上的函数f x 满足f x y f x f y 则下 列判断错误的是 答案 d 考点2 对数函数型抽象函数 例2 已知函数f x 的定义域为 x x r 且x 0 对定义域内的任意x1 x2都有f x1 x2 f x1 f x2 且当x 1时 f x 0 f 2 1 1 求证 f x 是偶函数 2 求证 f x 在 0 上是增函数 3 解不等式f 2x2 1 2 1 证明 对定义域内的任意x1 x2都有f x1 x2 f x1 f x2 令x1 x x2 1 则有f x f x f 1 又令x1 x2 1 得2f 1 f 1 再令x1 x2 1 得f 1 0 从而f 1 0 于是有f x f x 所以f x 是偶函数 互动探究 考点3 指数函数型抽象函数 例3 定义在r上的函数y f x f 0 0 当x 0时 f x 1 且对任意的a b r 有f a b f a f b 1 求证 f 0 1 2 求证 对任意的x r 恒有f x 0 3 求证 f x 是r上的增函数 4 若f x f 2x x2 1 求x的取值范围 1 证明 令a b 0 则f 0 f 0 2 f 0 0 f 0 1 2 证明 当x 0时 x 0 f 0 f x f x 1 又当x 0时 f x 1 0 对任意的x r 恒有f x 0 3 证明 设x1 x2 则x2 x1 0 f x2 f x2 x1 x1 f x2 x1 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x 是r上的增函数 4 解 由f x f 2x x2 1 f 0 1得f 3x x2 f 0 f x 是r上的增函数 3x x2 0 0 x 3 x的取值范围是 0 3 规律方法 判断单调性小技巧 设x1 x2 x1 x2 0 则f x1 x2 1 f x1 f x2 x1 x2 f x2 f x1 x2 f x2 得到函数f x 是增函数 互动探究 答案 思想与方法 利用转