高中数学 第三章 导数及其应用 3.3.2 极大值与极小值课件 苏教版选修11.ppt

3 3 2极大值与极小值 第3章 3 3导数在研究函数中的应用 1 了解函数极值的概念 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系 并会灵活应用 2 掌握函数极值的判定及求法 3 掌握函数在某一点取得极值的条件 学习目标 栏目索引 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 知识梳理自主学习 知识点一极值点与极值的概念 1 极小值点与极小值如图 函数y f x 在点x a的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值都小 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则把点a叫做函数y f x 的极小值点 f a 叫做函数y f x 的极小值 答案 f x 0 f x 0 2 极大值点与极大值如 1 中图 函数y f x 在点x b的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值都大 f b 0 而且在点x b的左侧 右侧 则把点b叫做函数y f x 的极大值点 f b 叫做函数y f x 的极大值 统称为极值点 和统称为极值 答案 f x 0 f x 0 极大值点 极小值点 极大值 极小值 思考极大值一定大于极小值吗 答案不一定 知识点二求函数y f x 的极值的方法解方程f x 0 当f x0 0时 1 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 2 如果在x0附近的左侧f x 0 右侧f x 0 那么f x0 是 极大值 极小值 答案 返回 题型探究重点突破 解析答案 题型一求函数的极值 反思与感悟 解函数的定义域为r 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 由上表可以看出 当x 1时 函数有极小值 且极小值为f 1 3 当x 1时 函数有极大值 且极大值为f 1 1 令f x 0 得x 1 或x 1 反思与感悟 反思与感悟 求可导函数f x 的极值的步骤 1 确定函数的定义域 求导数f x 2 求方程f x 0的根 3 用函数的导数为0的点 顺次将函数的定义域分成若干个小开区间 并列成表格 检测f x 在方程根左右两侧的值的符号 如果左正右负 那么f x 在这个根处取得极大值 如果左负右正 那么f x 在这个根处取得极小值 如果左右不改变符号 那么f x 在这个根处无极值 解析答案 令f x 0 得x 1 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 因此当x 1时 f x 有极小值f 1 3 解析答案 题型二利用函数极值确定参数的值例2已知函数f x ax3 bx2 cx a 0 在x 1处取得极值 且f 1 1 1 求常数a b c的值 解f x 3ax2 2bx c x 1是函数f x 的极值点 x 1是方程f x 3ax2 2bx c 0的两根 又f 1 1 a b c 1 解析答案 2 判断x 1是函数的极大值点还是极小值点 试说明理由 并求出极值 当x1时 f x 0 当 1 x 1时 f x 0 函数f x 在 1 和 1 上是增函数 在 1 1 上是减函数 当x 1时 函数取得极大值f 1 1 当x 1时 函数取得极小值f 1 1 反思与感悟 反思与感悟 1 利用函数的极值确定参数的值 常根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组 利用待定系数法求解 2 因为 导数值等于零 不是 此点为极值点 的充要条件 所以利用待定系数法求解后 必须验证根的合理性 解析答案 跟踪训练2已知函数f x ax3 bx2 cx在x x0处取得极大值5 其导函数y f x 的图象经过点 1 0 2 0 如图所示 求 1 x0的值 解由图象可知 在 1 上f x 0 在 1 2 上f x 0 在 2 上f x 0 故f x 在 1 2 上单调递增 在 1 2 上单调递减 因此f x 在x 1处取得极大值 所以x0 1 解析答案 2 a b c的值 解f x 3ax2 2bx c 由f 1 0 f 2 0 f 1 5 解得a 2 b 9 c 12 解析答案 题型三函数极值的综合应用例3设函数f x x3 6x 5 x r 1 求函数f x 的单调区间和极值 解f x 3x2 6 令f x 0 解析答案 2 若关于x的方程f x a有三个不同的实根 求实数a的取值范围 解由 1 的分析知y f x 的图象的大致形状及走向如图所示 直线y a与y f x 的图象有三个不同的交点 即方程f x a有三个不同的实根 反思与感悟 反思与感悟 用求导的方法确定方程根的个数 是一种很有效的方法 它通过函数的变化情况 运用数形结合思想来确定函数图象与x轴的交点个数 从而判断方程根的个数 解析答案 跟踪训练3设a为实数 函数f x x3 3x a 1 求f x 的极值 解f x 3x2 3 令f x 0 得x 1或x 1 因为当x 1 时 f x 0 当x 1 1 时 f x 0 当x 1 时 f x 0 所以f x 的极小值为f 1 a 2 极大值为f 1 a 2 解析答案 2 是否存在实数a 使得方程f x 0恰好有两个实数根 若存在 求出实数a的值 若不存在 请说明理由 解因为f x 在 1 内单调递减 且当x 时 f x f x 在 1 内单调递减 且当x 时 f x 而a 2 a 2 即函数的极大值大于极小值 所以当极大值等于0时 极小值小于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 所以a 2 0 a 2 如图1所示 当极小值等于0时 极大值大于0 此时曲线f x 与x轴恰有两个交点 即方程f x 0恰好有两个实数根 解析答案 所以a 2 0 a 2 如图2所示 综上所述 当a 2或a 2时 方程f x 0恰有两个实数根 思想方法 等价转化思想的应用 解析答案 返回 解析答案 分析 1 对原函数求导 将导函数问题转化为由二次函数的根的分布探求开口方向的问题 从而证得a 0 2 利用x1 x2为导函数的两个根 将0 x1 1 x2 2等价转化为不等式组 利用线性规划求a 2b的最大值与最小值 1 证明由函数f x 在x x1处取得极大值 在x x2处取得极小值 知x1 x2是f x 0的两个根 由题意 得f x ax2 2bx 2 b 所以f x a x x1 x x2 由题意 知在x x1的左侧有f x 0 由x x1 0 x x2 0 得a 0 此不等式组表示的区域为平面aob上三条直线2 b 0 a 3b 2 0 4a 5b 2 0所围成的 abc的内部 如图所示 返回 当堂检测 1 2 3 4 5 解析答案 1 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x 有 个极大值点 个极小值点 解析f x 的符号由正变负 则f x0 是极大值 f x 的符号由负变正 则f x0 是极小值 由图象易知有两个极大值点 两个极小值点 2 2 解析答案 1 2 3 4 5 2 已知函数f x x3 px2 qx的图象与x轴切于点 1 0 则f x 的极大值为 极小值为 解析f x 3x2 2px q 根据题意 知x 1是函数的一个极值点 所以f x 3x2 4x 1 0 1 2 3 4 5 3 已知f x x3 ax2 a 6 x 1有极大值和极小值 则a的取值范围为 解析f x 3x2 2ax a 6 因为f x 既有极大值又有极小值 那么 2a 2 4 3 a 6 0 解得a 6或a 3 解析答案 a 6或a 3 解析答案 1 2 3 4 5 4 设函数f x 6x3 3 a 2 x2 2ax 若f x 的两个极值点为x1 x2 且x1x2 1 则实数a的值为 解析f x 18x2 6 a 2 x 2a 所以a 9 9 解析答案 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 若b 1 c 1 则f x x2 2x 1 x 1 2 0 此时f x 没有极值 若b 1 c 3 则f x x2 2x 3 x 3 x 1 当 3 x 1时 f x 0 当x 1