成人高考数学精讲第26讲讲义.doc

四、双曲线1 定义平面内到两个定点的距离的差的绝对值等于常数的点的轨迹是双曲线。定点是焦点，两焦点的距离是焦距。2 双曲线的标准方程和性质如下表所示。3 实轴与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线。它的标准方程是，或标准方程图形顶点对称轴轴、轴实轴长，虚轴长焦点焦距离心率准线渐近线五、抛物线1 定义平面内到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹是抛物线。定点是焦点，定直线是准线。2 抛物线的标准方程和性质标准方程图形顶点对称轴轴轴焦点离心率准线典型例题例1已知曲线的方程是，那么在这条曲线上的点是（）（A）（B）（C）（D）解：选（A）分析：将每个选择分支中的点分别代入曲线方程的左边，谁能满足曲线方程，就选谁。例2已知点在方程的曲线上，那么的值是（）（A）（B）（C）（D）解：选（D）分析：把点代入方程求出值例3曲线和曲线的交点坐标是（）（A）（B）（C）（D）解：选（D）分析：解方程组，说明，平面上两条抛物线的相对位置有三种情况：（1）相离，没有公共交点；（2）相交且有一个交点；（3）相交且有两个交点本题中为第三种情况例4设则以为直径的圆的方程是（）（A）（B）（C）（D）解：选（D）分析：求出两点的中点，则点就是为直径的圆的圆心，该圆的半径，故以为直径的圆的方程是例5圆的圆心坐标和半径分别是（）（A）（B）（C）（D）解：选（D）分析：本题中是圆的一般方程，需要对它进行配方，转化为圆的标准方程，然后再确定圆心坐标与半径，例6若方程表示圆，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）解：选（C）分析：对原方程配方，转化为标准方程，再去推求的取值范围，用十字相乘法，或，即例7椭圆的焦点在轴上，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是解：椭圆的标准方程为，式中，（1）若，则焦点在轴上；椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是（2）若，则焦点在轴上；椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是本题中，因为，故椭圆的焦点在轴上，椭圆上任意一点到两个焦点距离的和是例8椭圆的长轴长是，短轴长是，焦点坐标是解：椭圆方程可以改写为，“椭圆，椭圆老大”，椭圆的长轴长是，短轴长是，焦点坐标是例9双曲线的实轴长是，虚轴长是，顶点坐标是，渐近线方程是解：双曲线，双曲线的实轴长是，虚轴长是，顶点坐标是，*例10曲线的方程为，下列各点中，在曲线上的点是（）ABCD答案：B分析：要判断一个点是否在一条曲线上，只要把它的坐标代入曲线方程中，如果方程两边相等，这个点就在这条曲线上，否则就不在曲线上。注意：在解这类选择题时，需要把各个点的坐标逐个代入方程，但是，一旦得出某点的坐标适合方程，那么其余各点的坐标就不必再代入方程了，因为选择题中有且只有一个选择项是正确的。例11已知方程的曲线经过点，则的值是（）A2B2CD答案：D分析：因为曲线经过点，所以根据曲线的方程的定义，点的坐标适合方程，把代入方程，可以得到关于的一个方程，即可求出，例12曲线与曲线不同的公共点的个数是（）A4B3C2D1答案：D分析：由曲线方程的定义可知，两条曲线公共点坐标，就是这两条曲线方程组成的方程组的实数解，方程组有几组不同的实数解，就有几个不同的公共点。由，得，把它代入，得，因为此一元四次方程只有一个实数解，故两条曲线与只有一个不同的公共点。例13圆上到轴距离等于1的点有（）A1个B2个C3个D4个答案：C分析一：按解析几何的一般方法，由所求点应满足的条件，可以列出方程组这个方程组有几组不同的解，交点就有几个。分析二：画出圆的图形。由方程经过配方，可以得到，所以，圆的圆心为，半径为4。容易看出，在轴下方，与轴距离等于1的点有两个，在轴上方，到轴距离等于1的点只有一个。注意：（1）在解方程组时，要注意应分为两种情况，即与，实际上是解两个方程组，否则会丢掉一部分解。（2）在解析几何中，有时通过观察图形，并注意利用平面几何知识，往往可以开拓思路，尤其在解选择题时，这种方法有时很方便。所以在求解解析几何题时，最好画出草图。例14方程的图形是（）A圆B椭圆C双曲线D抛物线答案：B分析：因为方程的右边等于1，因此，要判别方程的图形是哪一种，应考察与的符号，因为，故；又因为，因此，即与项的系数均为正数。又因为，且，所以，即与项的系数不相等，所以它的图形不会是圆，也不会是双曲线与抛物线，只能是椭圆。例15方程的两根，可以分别作为（）A一条抛物线与一条椭圆的离心率B两条抛物线的离心率C一条抛物线与一条双曲线的离心率D两条椭圆的离心率答案：C分析：抛物线、椭圆、双曲线的离心率分别是满足，因此可以先求出方程的两根，然后根据根的