江西省抚州市高二数学上学期期末试卷 理（含解析）.doc

江西省抚州市20152016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题1设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n2=2n2我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）a2b3c4d53如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=，=，=则下列向量中与相等的向量是（）a+bcd+4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a63.6万元b65.5万元c67.7万元d72.0万元5执行如图的程序框图，如果输入的n的值是6，那么输出的p的值是（）a15b105c120d7206下列命题中，真命题是 （）ax0r，使得bsin2x+3（xk，kz）c函数f（x）=2xx2有两个零点da1，b1是ab1的充分不必要条件7已知f1、f2为双曲线c：x2y2=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=2|pf2|，则cosf1pf2=（）abcd8椭圆上有n个不同的点p1，p2，p3，pn，椭圆的右焦点f，数列|pnf|是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）a198b199c200d2019“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”是“f（a）f（b）0”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充分必要d非充分非必要10设x1、x2r，常数a0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2（ x1x2）2，若x0，则动点p（x，）的轨迹是（）a圆b椭圆的一部分c双曲线的一部分d抛物线的一部分11已知f2，f1是双曲线 =1（a0，b0）的上、下焦点，点f2关于渐近线的对称点恰好落在以f1为圆心，|of1|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）a（，3）b（3，+）c（，2）d（2，+）12如图，已知平面=l，a、b是l上的两个点，c、d在平面内，且da，cb，ad=4，ab=6，bc=8，在平面上有一个动点p，使得apd=bpc，则pabcd体积的最大值是（）ab16c48d144二.填空题13现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是14在平面几何中有如下结论：正三角形abc的内切圆面积为s1，外接圆面积为s2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体pabc的内切球体积为v1，外接球体积为v2，则=15观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19，根据以上规律，把m3（mn*且m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为16已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，都存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“垂直对点集”给出下列四个集合：m=（x，y）|y=； m=（x，y）|y=log2x；m=（x，y）|y=ex2； m=（x，y）|y=sinx+1其中是“垂直对点集”的序号是三.解答题17已知命题p：不等式a25a33；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a0，若p且q是真命题，求a的取值范围集合18一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球（1）求事件a=“取出球的号码之和不小于6”的概率； （2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件b=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率19已知数列，（1）计算s1，s2，s3，s4；（2）猜想sn的表达式，并用数学归纳法证明20经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，t（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将t表示为x的函数；（）根据直方图估计利润t不少于57000元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x100，110）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100，110）的频率，求t的数学期望21如图，在三棱锥pabc中，平面apc平面abc，且pa=pb=pc=4，ab=bc=2（1）求三棱锥pabc的体积vpabc；（2）求直线ab与平面pbc所成角的正弦值22已知椭圆c：离心率e=，短轴长为2（）求椭圆c的标准方程；（）如图，椭圆左顶点为a，过原点o的直线（与坐标轴不重合）与椭圆c交于p，q两点，直线pa，qa分别与y轴交于m，n两点试问以mn为直径的圆是否经过定点（与直线pq的斜率无关）？请证明你的结论江西省抚州市20152016学年度高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1设命题p：nn，n22n，则p为（）ann，n22nbnn，n22ncnn，n22ndnn，n2=2n【考点】命题的否定【专题】简易逻辑【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论【解答】解：命题的否定是：nn，n22n，故选：c【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础2我校三个年级共有24个班，学校为了了解同学们的心理状况，将每个班编号，依次为1到24，现用系统抽样方法，抽取4个班进行调查，若抽到编号之和为48，则抽到的最小编号为（）a2b3c4d5【考点】系统抽样方法【专题】计算题；概率与统计【分析】求出系统抽样的抽取间隔，设抽到的最小编号x，根据编号的和为48，求x即可【解答】解：系统抽样的抽取间隔为=6设抽到的最小编号x，则x+（6+x）+（12+x）+（18+x）=48，所以x=3故选：b【点评】本题考查了系统抽样方法，熟练掌握系统抽样的特征是解答本题的关键3如图，在平行六面体abcda1b1c1d1中，m为ac与bd的交点，若=，=，=则下列向量中与相等的向量是（）a+bcd+【考点】相等向量与相反向量【分析】由题意可得 =+=+=+，化简得到结果【解答】解：由题意可得 =+=+=+=+（）=+（）=+，故选a【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，属于基础题4某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x（万元）4235销售额y（万元）49263954根据上表可得回归方程=x+的为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为（）a63.6万元b65.5万元c67.7万元d72.0万元【考点】线性回归方程【专题】概率与统计【分析】首先求出所给数据的平均数，得到样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，求出方程中的一个系数，得到线性回归方程，把自变量为6代入，预报出结果【解答】解：=3.5，=42，数据的样本中心点在线性回归直线上，回归方程中的为9.4，42=9.43.5+a，=9.1，线性回归方程是y=9.4x+9.1，广告费用为6万元时销售额为9.46+9.1=65.5，故选：b【点评】本题考查线性回归方程考查预报变量的值，考查样本中心点的应用，本题是一个基础题，这个原题在2011年山东卷第八题出现5执行如图的程序框图，如果输入的n的值是6，那么输出的p的值是（）a15b105c120d720【考点】程序框图【专题】计算题；图表型【分析】根据题中的流程图，依次求出p和k的值，根据k的值判断是否符合判断框中的条件，若不符合，则结束运行，输出p【解答】解：输入n=6，则k=1，p=1，第一次运行p=11=1，此时k=16，第二次运行k=1+2=3，p=13=3；第三次运行k=3+2=5，p=35=15；第四次运行k=5+2=7，p=157=105；不满足条件k6，程序运行终止，输出p值为105，故选b【点评】本题考查了循环结构的程序框图，利用程序框图中框图的含义运行解答6下列命题中，真命题是 （）ax0r，使得bsin2x+3（xk，kz）c函数f（x）=2xx2有两个零点da1，b1是ab1的充分不必要条件【考点】命题的真假判断与应用【专题】简易逻辑【分析】axr，ex0，即可判断出正误；b取x=，则sin2x+=12=13，即可判断出正误；cf（x）=2xx2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（1，0）内还有一个，即可判断出正误；da1，b1ab1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab1，但是b1，即可判断出正误【解答】解：axr，ex0，因此是假命题；b取x=，则sin2x+=12=13，因此是假命题；cf（x）=2xx2有3个零点，其中两个是2，4，另外在区间（1，0）内还有一个，因此共有3个，是假命题；da1，b1ab1，反之不成立，例如：取a=4，b=，满足ab1，但是b1，因此a1，b1是ab1的充分不必要条件，是真命题故选：d【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数零点的判定方法、不等式的性质、指数函数的性质、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题7已知f1、f2为双曲线c：x2y2=2的左、右焦点，点p在c上，|pf1|=2|pf2|，则cosf1pf2=（）abcd【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题【分析】根据双曲线的定义，结合|pf1|=2|pf2|，利用余弦定理，即可求cosf1pf2的值【解答】解：将双曲线方程x2y2=2化为标准方程=1，则a=，b=，c=2，设|pf1|=2|pf2|=2m，则根据双曲线的定义，|pf1|pf2|=2a可得m=2，|pf1|=4，|pf2|=2，|f1f2|=2c=4，cosf1pf2=故选c【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题8椭圆上有n个不同的点p1，p2，p3，pn，椭圆的右焦点f，数列|pnf|是公差大于的等差数列，则n的最大值为（）a198b199c200d201【考点】椭圆的应用；等差数列的性质【专题】计算题【分析】|p1f|=|ac|=1，|pnf|=a+c=3，|pnf|=|p1f|+（n1）d再由数列|pnf|是公差大于的等差数列，可求出n的最大值【解答】解：|p1f|=|ac|=1，|pnf|=a+c=3，|pnf|=|p1f|+（n1）d若d=，n=201，d，n201故选c【点评】本题考查椭圆的应用和等差数列的性质，解题时要认真审题，仔细解答9“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”是“f（a）f（b）0”的（）条件a充分不必要b必要不充分c充分必要d非充分非必要【考点】函数零点的判定定理；必要条件、充分条件与充要条件的判断【专题】函数的性质及应用【分析】通过举反例可得充分性不成立，通过举反例可得必要性不成立，从而得出结论【解答】解：由“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”不能推出“f（a）f（b）0”，如f（x）=x21在（2，2）上有零点，但f（2）f（2）0，故成分性不成立由“f（a）f（b）0”不能推出“函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点”，如f（x）= 满足f（1）f（1）0，但f（x）= 在（1，1）上没有零点，故必要性不成立故选d【点评】本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题10设x1、x2r，常数a0，定义运算“*”：x1*x2=（ x1+x2）2（ x1x2）2，若x0，则动点p（x，）的轨迹是（）a圆b椭圆的一部分c双曲线的一部分d抛物线的一部分【考点】轨迹方程【专题】计算题；压轴题【分析】设p（x1，y1），欲求出动点p的轨迹方程，只须求出x，y的关系式即可，结合新定义运算，即可求得动点p（x，）的轨迹方程，从而得出其轨迹【解答】解：x1*x2=（x1+x2）2（x1x2）2，=2则p（x，2）设p（x1，y1），即消去x得y12=4ax1（x10，y10）故点p的轨迹为抛物线的一部分故选d【点评】本题考查轨迹方程，利用的是直接法，直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程11已知f2，f1是双曲线 =1（a0，b0）的上、下焦点，点f2关于渐近线的对称点恰好落在以f1为圆心，|of1|为半径的圆内，则双曲线的离心率e为（）a（，3）b（3，+）c（，2）d（2，+）【考点】双曲线的简单性质【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】首先求出f2到渐近线的距离，利用f2关于渐近线的对称点恰落在以f1为圆心，|of1|为半径的圆上，可得mf1f2为钝角三角形，运用三边关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，f1（0，c），f2（0，c），一条渐近线方程为y=x，则f2到渐近线的距离为=b设f2关于渐近线的对称点为m，f2m与渐近线交于a，|mf2|=2b，a为f2m的中点，又0是f1f2的中点，oaf1m，f1mf2为钝角，mf1f2为钝角三角形，4c2c2+4b23c24（c2a2），c24a2，c2a，e2故选：d【点评】本题主要考查了双曲线的几何性质以及有关离心率和渐近线，考查勾股定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题12如图，已知平面=l，a、b是l上的两个点，c、d在平面内，且da，cb，ad=4，ab=6，bc=8，在平面上有一个动点p，使得apd=bpc，则pabcd体积的最大值是（）ab16c48d144【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】计算题【分析】本题需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，由题设条件知两个直角三角形pad与pbc是相似的直角三角形，可得出pb=2pa，作pdab，垂足为d，令ad=t，将四棱锥的体积用t表示出来，由二次函数求最值可得出正确选项【解答】解：由题意平面平面，a、b是平面与平面的交线上的两个定点，da，cb，且da，cb，pad与pbc是直角三角形，又apd=bpc，padpbc，又ad=4，bc=8，pb=2pa作pmab，垂足为m，则pm，令am=tr，在两个rtpam与rtpbm中，pm是公共边及pb=2pa，pa2t2=4pa2（6t）2 ，解得pa2=124tpm=，即四棱锥的高为，底面为直角梯形，s=36四棱锥pabcd的体积v=12=48，即四棱锥pabcd体积的最大值为48，故选c【点评】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解答本题，关键是将由题设条件得出三角形的性质、：两邻边的值有2倍的关系，第三边长度为6，引入一个变量，从而利用函数的最值来研究体积的最值，是将几何问题转化为代数问题求解的思想，属中档题二.填空题13现有10个数，它们能构成一个以1为首项，3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是【考点】等比数列的性质；古典概型及其概率计算公式【专题】等差数列与等比数列；概率与统计【分析】先由题意写出成等比数列的10个数为，然后找出小于8的项的个数，代入古典概论的计算公式即可求解【解答】解：由题意成等比数列的10个数为：1，3，（3）2，（3）3（3）9其中小于8的项有：1，3，（3）3，（3）5，（3）7，（3）9共6个数这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是p=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及古典概率的计算公式的应用，属于基础试题14在平面几何中有如下结论：正三角形abc的内切圆面积为s1，外接圆面积为s2，则，推广到空间可以得到类似结论；已知正四面体pabc的内切球体积为v1，外接球体积为v2，则=【考点】类比推理【分析】平面图形类比空间图形，二维类比三维得到类比平面几何的结论，则正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1，从而得出正四面体pabc的内切球体积为v1，外接球体积为v2之比【解答】解：从平面图形类比空间图形，从二维类比三维，可得如下结论：正四面体的外接球和内切球的半径之比是 3：1故正四面体pabc的内切球体积为v1，外接球体积为v2之比等于=故答案为：【点评】主要考查知识点：类比推理，简单几何体和球，是基础题15观察下面的算式：23=3+533=7+9+1143=13+15+17+19，根据以上规律，把m3（mn*且m2）写成这种和式形式，则和式中最大的数为m2m+1【考点】归纳推理【专题】规律型；归纳法；推理和证明【分析】根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，可知从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1【解答】解：根据23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，从23起，m3的分解规律恰为数列3，5，7，9，若干连续项之和，23为前两项和，33为接下来三项和，故m3的首数为m2m+1，故答案为：m2m+1【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）16已知集合m=（x，y）|y=f（x），若对于任意（x1，y1）m，都存在（x2，y2）m，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合m是“垂直对点集”给出下列四个集合：m=（x，y）|y=； m=（x，y）|y=log2x；m=（x，y）|y=ex2； m=（x，y）|y=sinx+1其中是“垂直对点集”的序号是【考点】点到直线的距离公式【专题】导数的综合应用【分析】由题意可得：集合m是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直【解答】解：由题意可得：集合m是“垂直对点集”，即满足：曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直m=（x，y）|y=，假设集合m是“垂直对点集”，则存在两点，满足=1，化为=1，无解，因此假设不成立，即集合m不是“垂直对点集”，m=（x，y）|y=log2x，（x0），取（1，0），则不存在点（x2，log2x2）（x20），满足1x2+0=0，因此集合m不是“垂直对点集”；m=（x，y）|y=ex2，结合图象可知：集合m是“垂直对点集”；m=（x，y）|y=sinx+1，结合图象可知：集合m是“垂直对点集”综上可得：只有是“垂直对点集”故答案为：【点评】本题考查了新定义“垂直对点集”、直线垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题三.解答题17已知命题p：不等式a25a33；命题q：只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a0，若p且q是真命题，求a的取值范围集合【考点】复合命题的真假【专题】简易逻辑【分析】根据不等式的性质分别求出命题p，q的等价条件，结合复合命题之间的关系进行求解即可【解答】解：由a25a33得a25a60，解得a6或a1，即p：a6或a1，p：1a6，若只有一个实数x满足不等式x2+2ax+11a0，则判别式=（2a）2411a=0，即2a211a=0，解得a=0或a=，若若p且q是真命题，则p，q都为真命题，则a=0或a=，即a的取值范围集合为，0【点评】本题主要考查复合命题之间的应用，根据条件求出命题的等价条件是解决本题的关键18一个盒子中装有5个编号依次为1、2、3、4、5的球，这5个球除号码外完全相同，有放回的连续抽取两次，每次任意地取出一个球（1）求事件a=“取出球的号码之和不小于6”的概率； （2）设第一次取出的球号码为x，第二次取出的球号码为y，求事件b=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计【分析】（1）列表求出基本事件共25个，事件a共包括15个基本事件，由此能求出取出球的号码之和不小于6的概率（2）基本事件共25个，求出事件b=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”包含的基本事件个子数，由此能求出点（x，y）落在直线 y=x+1左上方的概率【解答】解：（1）列表如下： 次数 1 2 3 4 5 1（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5） 2（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5） 3（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5） 4（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5） 5（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）由上表可知基本事件共25个，事件a=“取出球的号码之和不小于6”，事件a共包括15个基本事件，故所求事件a的概率为p（a）=（2）由上表可知基本事件共25个，事件b=“点（x，y）落在直线 y=x+1左上方”，事件b共包括有（1，3），（1，4），（1，5），（2，4），（2，5）（3，5）共6个基本事件，故所求的概率为p（b）=【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用19已知数列，（1）计算s1，s2，s3，s4；（2）猜想sn的表达式，并用数学归纳法证明【考点】数列的求和【专题】计算题；证明题【分析】（1）直接计算（2）由（1）猜想并进行证明【解答】解：（1）（2）证明：当n=1时，结论成立假设当n=k时成立，结论成立，即当n=k+1时，=当n=k+1时结论成立对于任意的kn+结论都成立【点评】本题主要考查数学归纳法的应用，用归纳法证明数学命题时的基本步骤：（1）检验n=1成立（2）假设n=k时成立，由n=k成立推导n=k+1成立，要注意由归纳假设到检验n=k+1的递推20经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品以x（单位：t，100x150）表示下一个销售季度内的市场需求量，t（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（）将t表示为x的函数；（）根据直方图估计利润t不少于57000元的概率；（）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x100，110）则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入100，110）的频率，求t的数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；用样本的频率分布估计总体分布【专题】概率与统计【分析】（）由题意先分段写出，当x100，130）时，当x130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可（）由（i）知，利润t不少于57000元，当且仅当120x150再由直方图知需求量x120，150的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润t不少于57000元的概率的估计值（）利用利润t的数学期望=各组的区间中点值该区间的频率之和即得【解答】解：（）由题意得，当x100，130）时，t=500x300（130x）=800x39000，当x130，150）时，t=500130=65000，t=（）由（）知，利润t不少于57000元，当且仅当120x150由直方图知需求量x120，150的频率为0.7，所以下一个销售季度的利润t不少于57000元的概率的估计值为0.7（）依题意可得t的分布列如图，t45000530006100065000p0.10.20.30.4所以et=450000.1+530000.2+610000.3