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解析几何 第八章 第47讲抛物线 栏目导航 1 抛物线的定义平面内与一个定点f和一条定直线l l不经过点f 的点的轨迹叫做抛物线 点f叫做抛物线的 直线l叫做抛物线的 距离相等 焦点 准线 2 抛物线的标准方程与几何性质 0 0 0 0 d 3 抛物线y2 24ax a 0 上有一点m 它的横坐标是3 它到焦点的距离是5 则抛物线的方程为 a y2 8xb y2 12xc y2 16xd y2 20 x a 4 若点p到直线x 1的距离比它到点 2 0 的距离小1 则点p的轨迹为 a 圆b 椭圆c 双曲线d 抛物线解析由题意知 点p到点 2 0 的距离与p到直线x 2的距离相等 由抛物线定义得点p的轨迹是以 2 0 为焦点 以直线x 2为准线的抛物线 d 5 在平面直角坐标系xoy中 有一点a 2 2 在抛物线y2 2px p 0 上 则该抛物线的准线方程是 与抛物线有关的最值问题 一般情况下都与抛物线的定义有关 实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化 1 将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离 构造出 两点之间线段最短 使问题得解 2 将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离 利用 与直线上所有点的连线中垂线段最短 原理解决 一抛物线的定义及应用 例1 已知抛物线方程为y2 4x 直线l的方程为x y 5 0 在抛物线上有一动点p到y轴的距离为d1 到直线l的距离为d2 则d1 d2的最小值为 二抛物线的标准方程及其几何性质 1 求抛物线的标准方程常用待定系数法 因为未知数只有p 所以只需一个条件确定p值即可 2 利用抛物线方程确定及应用其焦点 准线等性质时 关键是将抛物线方程化成标准方程 3 涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考 通过图形可以直观地看出抛物线的顶点 对称轴 开口方向等几何特征 体现了数形结合思想解题的直观性 c 6 三直线与抛物线的位置关系及弦长问题 1 直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆 双曲线的位置关系类似 一般要用到根与系数的关系 2 有关直线与抛物线的弦长问题 要注意直线是否过抛物线的焦点 若过抛物线的焦点 可直接使用公式 x1 x2 p 若不过焦点 则必须用弦长公式 解析直线y 3 0是抛物线x2 12y的准线 由抛物线的定义知抛物线上的点到直线y 3的距离与到焦点 0 3 的距离相等 所以此圆恒过定点 0 3 c 2 已知点p是抛物线x2 4y上的动点 点p在x轴上的射影是点q 点a的坐标是 8 7 则 的最小值为 a 7b 8c 9d 10 c x 2 4 2018 贵州贵阳高三摸底考试 过抛物线c y2 4x的焦点f且斜率为k的直线l交抛物线c与a b两点 且 ab 8 1 求直线l的方程 2 若a关于x轴的对称点为d 抛物线的准线与x轴的交点为e 求证 b d
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