【中考12年】天津市2001中考数学试题分类解析 专题9 三角形.doc

2001-2012年天津市中考数学试题分类解析汇编（12专题）专题9：三角形一、选择题1.（天津市2002年3分）sin450的值等于【 】（a） （b） （c） （d）1【答案】b。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角度的三角函数值解答即可：sin45=。故选b。2.（天津市2002年3分）如图，在abc中，ab=ac,a=360，bd、ce分别为abc与acb的角平分线，且相交于点f，则图中的等腰三角形有【 】（a）6个 （b）7个 （c）8个 （d）9个【答案】d。【考点】等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的性质。【分析】由已知条件，根据等腰三角形的性质和判定，角的平分线的性质，三角形内角和等于180得到各个角的度数，应用度数进行判断即可： ab=ac，a=36，abc是等腰三角形，且abc=acb=72。 bd是abc的角的平分线，abd=dbc=abc=36=a。 ad=bd。adb是等腰三角形。 同理，aec是等腰三角形。 dbc=36，acb=72，bdc=1807236=72=acb。 bd=bc。bdc是等腰三角形。 同理，bce是等腰三角形。 fbc=fcb=36， bf=cf。bcf是等腰三角形。 bef=bfe=cdf=cfd=72，be=bf，cd=cf。bef，cdf是等腰三角形。 共8个等腰三角形。故选d。3.（天津市2003年3分）sin30的值等于【 】 （a） （b） （c） （d）1【答案】d。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角的三角函数值直接作答： sin30=。故选d。4.（天津市2004年3分）2sin450的值等于【 】 (a) 1 （b) (c) (d) 2【答案】b。【考点】特殊角的三角函数值.【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可：2sin45=2=。故选b。5.（天津市2004年3分）如图，已知等腰abc中，顶角a=36，bd为abc的平分线，则的值等于【 】(a) （b） (c) 1 （d） 【答案】b。【考点】等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，换元法解分式方程。【分析】由题可知abcbdc，然后根据相似比求解：等腰abc中，顶角a=36，abc=72。又bd是abc的角平分线，abd=dbc=36=a，且bdc=c=72。ad=bd=bc。又c=c，abcbdc。即。设，则经检验，都是分式方程的根，结合实际舍去负数。故选b。6.（天津市2005年3分）tan45的值等于【 】(a) （b) (c) (d) 1【答案】d。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角的三角函数值求解：tan45=1故选d。7.（天津市2005年3分） 如图，若正a1b1c1内接于正abc的内切圆，则的值为【 】(a) （b） (c) （d） 【答案】a。【考点】三角形的内切圆与内心、外心，解直角三角形，特殊角的三角函数值，弦径定理。【分析】由于abc、a1b1c1都是正三角形，因此它们的外心与内心重合；可过o分别作ab、a1b1的垂线，连接oa、oa1；在构建的含特殊角的直角三角形中，用o的半径分别表示出ab、a1b1的长，从而可求出它们的比例关系：a1b1c1和abc都是正三角形，它们的内心与外心重合。如图：过o分别作ab、a1b1的垂线，垂足分别为d、e，连接oa、oa1。设圆的半径为r。rtoad中，oad=30，od=r，ad=，即ab=。同理，a1b1=。故选a。8.（天津市2006年3分） tan30的值等于【 】(a) （b) (c) (d) 【答案】c。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角的三角函数值解答：tan30=。故选c。 9.（天津市2006年3分） 如图，ab/cd，ae/fd，ae、fd分别交bc于点g、h，则图中共有相似三角形【 】（a）4对 (b) 5对 (c) 6对 (d)7对【答案】c。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中bfh、bag、ceg、cdh任意两个三角形都相似，即bfhbag，bagceg，bfhceg，bfhcdh，cegcdh，cdhbag。相似三角形共有6对。故选c。10.（天津市2006年3分）如图，dac和ebc均是等边三角形，ae、bd分别与cd、ce交于点m、n，有如下结论： acedcb； cmcn； acdn。其中，正确结论的个数是【 】(a) 3个 （b）2个 (c) 1个 （d）0个 11.（天津市2007年3分）的值等于【 】 a. b. c. d. 1【答案】a。【考点】特殊角的三角函数值，根式的加减法。【分析】根据sin45=，cos45=计算：sin45=，cos45=，sin45+cos45=.故选a。12.（天津市2007年3分）下列判断中错误的是【 】a. 有两角和一边对应相等的两个三角形全等b. 有两边和一角对应相等的两个三角形全等c. 有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等d. 有一边对应相等的两个等边三角形全等【答案】b。【考点】全等三角形的判定。【分析】根据三角形全等的判定方法对选项逐一验证：两个三角形全等的一般方法有：sss、sas、aas、asa，hl，a、是aas或asa，可以判定三角形全等；b、是sas 或ssa，ssa是不能判定三角形全等的；c、利用sss；可以判定三角形全等；d、利用sss可以判定三角形全等。故选b。13.（天津市2007年3分）将边长为3cm的正三角形的各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，再顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形，则这个新的正六边形的面积等于【 】a. b. c. d. 【答案】b。【考点】正三角形和正六边形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】如图，abc是边长为3cm的正三角形，点d、f是边ab的三等分，以各边六个分点为顶点构成一个正六边形，点f是de的中点，顺次连接这个正六边形的各边中点，又形成一个新的正六边形。由正六边形的中心对称性，知两个正六边形的中心重合，设为o。连接oe，of，og，作ohgf于点h。 由已知ab=3，ad=de=eb和正六边形的性质，得oe=1，oef=600，ofe=900。在rtoef中，。 在rtohf中，。 所求正六边形的面积等于。故选b。14.（天津市2008年3分）的值等于【 】 abcd1【答案】a。【考点】特殊角的三角函数值.【分析】根据特殊角的三角函数值解题即可：cos60=。故选a。15.（天津市2009年3分）2sin的值等于【 】a1bcd2 【答案】a。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角的三角函数值计算即可：2sin30=2=1。故选a。16.（天津市2009年3分）在abc和def中，ab=2de，ac=2df，如果abc的周长是16，面积是12，那么def的周长、面积依次为【 】a8，3b8，6c4，3d，6【答案】a。【考点】相似三角形的判定和性质。【分析】根据已知可证abcdef，且abc和def的相似比为2，再根据相似三角形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方即可求def的周长、面积：在abc和def中，ab=2de，ac=2df，。又a=d，abcdef，且abc和def的相似比为2。abc的周长是16，面积是12，def的周长为162=8，面积为124=3。故选a。17.（天津市2010年3分）的值等于【 】（a） （b） （c） （d）1【答案】a。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据特殊角的三角函数值来解本题：sin30=。故选a。18.（天津市2011年3分）sin45的值等于【 】（a) (b) (c) (d)1【答案】b。【考点】特殊角三角函数。【分析】利用特殊角三角函数的定义，直接得出结果：sin45=。故选b。19. （2012天津市3分）的值等于【 】（a）1 （b） （c） （d）2【答案】a。【考点】特殊角的三角函数值。【分析】根据cos60=进行计算即可得解：2cos60=2=1。故选a。二、填空题1. （2001天津市3分）如图，abc中，b=c，fdbc于d，deab于e，afd=158，则edf等于 度。【答案】68。【考点】三角形的外角性质，三角形内角和定理。【分析】由图可知，edf=fdb-edb=90-edb，而edb与b互余，cfd与c互余，b=c，则bde=cfd，由邻补角定义知cfd=180-afd，从而求出edf的度数：afd=158，fdbc，c=15890=68。b=c，deab，bde=9068=22。edf= =9022=68。2.（天津市2002年3分）若正三角形、正方形、正六边形的周长都相等，它们的面积分别记为s3、s4、s6，则s3、s4、s6由大到小的排列顺序是 .【答案】s6s4s3。【考点】正多边形和圆。【分析】根据题意画出图形设出正六边形的边长，再根据三角形、正方形、正六边形的周长都相等求出各图形的边长，再分别求出其面积即可：（1） （2） （3） 设正六边形的边长为，则abc的边长为，正方形abcd的边长为。 如图（1），过a作adbc，d为垂足， abc是等边三角形，bc=， bd=，由勾股定理得， 。如图（2），四边形abcd是正方形，ab=，。如图（3），过o作ogbc，g为垂足，六边形abcdef是正六边形，bog=30，。，s6s4s3。3.（天津市2003年3分）已知圆内接正三角形的边长为，则同圆外切正三角形的边长为 。【答案】。【考点】正多边形和圆，三角形的内心，弦径定理，锐角三角函数。【分析】作出正三角形的边心距，连接正三角形的一个顶点和中心可得到一直角三角形，解直角三角形即可：圆的内接正三角形的内心到每个顶点的距离是等边三角形高的，从而该等边三角形的高为，该等边三角形的外接圆的半径为。同圆外切正三角形的边长=。4.（天津市2004年3分）如图，等腰梯形abcd中，对角线ac、bd相交于点o，那么图中的全等三角形最多有 对. 【答案】3。【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定。【分析】有3对，分别为abcdcb，dabadc，aobdoc。（1）四边形abcd为等腰梯形，ab=dc，abc=dcb。又bc=bc，abcdcb（sas）（2）四边形abcd为等腰梯形，ac=bd。ab=dc，ad=da，dabadc（sss）。（3）dabadc，abd=dca。abc=dcb，obc=ocb。ob=oc。abd=dca，aob=doc，ob=oc。aobdoc（aas）。5.（天津市2005年3分） 如图，oaob，ocod，o60，c25，则bed等于 （度）【答案】70。【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理和外角定理。【分析】利用已知条件证明oadobc，再根据全等三角形的性质就得到d=c，然后就可以求出bed：oa=ob，oc=od，o=60，oadobc（sas）。d=c=25。dbe=o+c=85，bed=1802585=70。7.（天津市2007年3分） 如图，中，c=90，abc=60，bd平分abc，若ad=6，则cd= 。【答案】3。【考点】直角三角形两锐角的关系，含30度角直角三角形的性质，角平分线的性质。【分析】c=90，abc=60，a=30。又bd平分abc，cbd=abd=a=30。bd=ad=6。根据30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，得cd=bd=6=3。8.（天津市2008年3分）如图，已知abc中，efghijbc，则图中相似三角形共有 对【答案】6。【考点】相似三角形的判定。【分析】根据平行于三角形的一边与另两边相交形成的三角形与原三角形相似，则图中aef、agh、aij和abc任意两个三角形都相似，相似三角形共有6对。9.（天津市2010年3分）如图，已知ac=fe，bc=de，点a、d、b、f在一条直线上，要使abcfde，还需添加一个条件，这个条件可以是 【答案】c=e（答案不唯一）。【考点】全等三角形的判定。【分析】要判定abcfde，已知ac=fe，bc=de，具备了两组边对应相等，故添加c=e，利用sas可证两三角形全等；添加ab=fd，利用sss可证两三角形全等；等等（答案不唯一）。10.（天津市2010年3分）如图，等边三角形abc中，d、e分别为ab、bc边上的点，ad=be，ae与cd交于点f，agcd于点g， 则的值为 【答案】。【考点】等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】abc是等边三角形，ac=ba，cad=b 又ad=be，cadabe（sas）。dca=eab。 又abc是等边三角形，acb=cab=600，bcd=cae。 过点c作chab，垂足为点h，则bch=acb=300。 agcd，dch=dag。dagcae=dchbcd=bch=300。fag=cab（dagcae）=600300=300。在rtagf中，。11. （2012天津市3分）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为 【答案】。【考点】正多边形和圆，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】根据题意画出图形，如图，连接ob，oc，过o作ombc于m， boc=360=60。ob=oc，obc是等边三角形。obc=60。正六边形abcdef的周长为24，bc=246=4。ob=bc=4，bm=obsinobc =4。三、解答题1. （2001天津市8分）已知：如图，塔ab和楼cd的水平距离为80米，从楼顶c处及楼底口处测得塔顶a的仰角分别为45和60，试求塔高与楼高（精确到0.01米）（参考数据： ）。【答案】解：在rtace中，ace=45，rtaec是等腰直角三角形。 ae=ce=80米。在rtadb中，ec=bd=80米，adb=600，ab=ectan60=80。cd=be=8058.56（米）。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，矩形的性质。【分析】在rtabd根据三角函数即可以求出ab，bd即ec，在rtaec中根据三角函数即求出ae，从而就可以求出cd。2.（天津市2002年8分）某片绿地的形状如图所示，其中a=600，abbc，adcd，ab=200m，cd=100m，求ad、bc的长（精确到1m，）3.（天津市2003年8分）如图，湖泊的中央有一个建筑物ab，某人在地面c处测得其顶部a的仰角为60，然后，自c处沿bc方向行100m到d点，又测得其顶部a的仰角为30，求建筑物ab的高（精确到0.01m，1.732）。【答案】解：根据题意可得：设ab=，在rtabd中，有。在rtabc中，有。dc=bdbc=100，即，解得。建筑物ab的高为86.60米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。【分析】分析图形，根据题意找出（构造）直角三角形，应利用其公共边构造三角关系，求出答案。4.（天津市2004年8分）在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度，如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角，一般情况下， 倾角 愈小，楼梯的安全程度愈高.如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1减至2，这样楼梯占用地板的长度由d1增加到d2，已知d14m，140，236，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01m）参考数据：sin360.5878 cos360.8090tan360.7265 sin400.6428cos400.7660 tan400.8391【答案】解：在rtabc中，bc=d1=4m，acb=1=40，ab=bctan40=4tan403.356（m）。在rtabd中，bd=d2，adb=2=36，。cd=d2d1=4.6194=0.6190.62（m）。楼梯占用地板的长度增加了0.62m。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】由题意得：增加部分是cd长，分别在rtabc，rtabd中利用三角函数的定义即可求出bc，bd长，即可求出cd长。5.（天津市2005年8分）如图，一艘货轮向正北方向航行，在点a处测得灯塔m在北偏西30，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达b处，测得灯塔m在北偏西45，问该货轮到达灯塔正东方向d处时，货轮与灯塔m的距离是多少？（精确到0.1海里，1.732）【答案】解：由题意，得ab=201=20（海里）在rtmdb中，bd= =md，在rtamd中，ad=，ab=adbd，即，（海里）。答：货轮到达灯塔正东方向的d处时，货轮与灯塔的距离约为27.3海里。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】因为md是rtmdb和rtadm的共有直角边，那么可用md来表示出ad和bd，再根据ab的长来求出md。6.（天津市2005年10分）在abc中，a、b、c所对的边分别用a、b、c表示。（）如图，在abc中，a2b，且a60。求证：a2b（bc）（）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”。本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形abc，其中a2b，关系式a2b（bc）是否仍然成了？并证明你的结论；（）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。【答案】解：（）证明：a=2b，a=60，b=30，c=90。c=2b，a=b。（）关系式a2b（bc）仍然成立。证明如下：如图，延长ba至点d，使ad=ac= b，连接cd。则acd为等腰三角形。bac是acd的一个外角，bac=2d。又bac=2b，b=d。cbd为等腰三角形。又d是acd和cbd的公共角，acdcbd。，即，a2b（bc）。（）若abc是倍角三角形，由a=2b，应有a2=b（b+c），且ab当acb时，设a=k+1，c=k，b=k1，（k为大于1的正整数）,代入a2=b（b+c），得（k+1）2=（k1）（2k1），解得k=5。有a=6，b=4，c=5，可以证明这个三角形中，a=2b。当cab时，设c =k+1，a=k， b =k1，（k为大于1的正整数）,代入a2=b（b+c），得k 2=（k1）2k，解得k=2。但a=2，b=1，c=3不构成三角形。当abc时，设a=k+1，b =k， c =k1，（k为大于1的正整数）,代入a2=b（b+c），得（k+1）2=k （2k1），即k23k1=0，无正整数解。当cab及abc时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形。边长为4，5，6的三角形为所求。【考点】勾股定理，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（）根据已知可求得各角的度数，再根据三角函数求得各边的关系，从而不难得到结论。（）延长ba至点d，使ad=ac= b，连接cd，证出acdcbd，根据相似三角形对应边成比例的性质得到结论。（）注意分三种情况进行分析。 7.（天津市2006年8分）如图，在观测点e测得小山上铁塔顶a的仰角为60，铁塔底部b的仰角为45。已知塔高ab20m，观察点e到地面的距离ef35cm，求小山bd的高（精确到0.1海里，1.732）。【答案】解：如图，过点e作egad于点g由已知，得aeg=60，beg=45，在rtbeg中，bg=eg。在rtaeg中，由，得ag=eg=bg。又ag=ab+bg=20+bg，bg=20+bg，即bg=。又bd=bg+gd，gd=ef=35，bd=（m）。答：小山bd的高约为62.3m。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题）。【分析】过点e作egad于点g；在rtbeg中，易知beg=45，得bg=eg；从而可在rtage中求得ag的大小，根据bd=bg+gd即可得答案。8.（天津市2007年8分）如图，从山顶a处看到地面c点的俯角为60，看到地面d点的俯角为45，测得米，求山高ab。（精确到0.1米，）9.（天津市2008年8分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为66 m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：）【答案】解：如图，过点a作adbc，垂足为d，根据题意，可得bad=300，cad=600，ad=66。在rtadb中，由，得bd=ad=66。在rtadc中，由得cd=ad=66 答：这栋楼高约为152.2 m。 【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），锐角三角函数。【分析】由题可知，在图中有两个直角三角形在rtabd中，利用30角的正切求出bd；在rtacd中，利用60角的正切求出cd，二者相加即可。10.（天津市2009年8分）在一次课外实践活动中，同学们要测量某公园人工湖两侧两个凉亭之间的距离现测得m，m，请计算两个凉亭之间的距离【答案】解：如图，过点作垂直于交的延长线于点。在中，。 。又在中，答：两个凉亭之间的距离为50m。【考点】解直角三角形的应用（方向角问题），锐角三角