高中数学 第二章 空间向量与立体几何 5.3 直线与平面的夹角课件 北师大版选修21.ppt

5 3直线与平面的夹角 第二章 5夹角的计算 1 理解直线与平面的夹角的概念 2 会利用向量的方法求直线与平面的夹角 学习目标 知识梳理自主学习 题型探究重点突破 当堂检测自查自纠 栏目索引 知识梳理自主学习 知识点一直线与平面的夹角 1 平面外一条直线与它在该平面内的的夹角叫作该直线与此平面的夹角 2 如果一条直线与一个平面平行或在平面内 我们规定这条直线与平面的夹角为 3 如果一条直线与一个平面垂直 我们规定这条直线与平面的夹角是 4 直线与平面夹角的范围 5 斜线与平面夹角的范围 答案 0 投影 返回 知识点二直线与平面夹角的向量求法设平面 的斜线l的方向向量为a 平面的法向量为n 1 当a n与 l的关系如图所示时 则l与 所成角 与a n所成的角互余 即sin cos a n 2 当a n与 l的关系如图所示时 题型探究重点突破 题型一求直线与平面的夹角的基本方法例1如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd的夹角 解析答案 反思与感悟 解方法一连接bc1 b1c交于点o 连接a1o 在正方体abcd a1b1c1d1中 b1c bc1 bc1 a1b1 b1c a1b1 b1 bc1 平面a1b1cd 故a1o为a1b在平面a1b1cd内的投影 即 ba1o为a1b与平面a1b1c的夹角 解析答案 反思与感悟 ba1o 30 a1b与平面a1b1cd的夹角是30 反思与感悟 方法二如图所示 建立空间直角坐标系 设正方体的棱长为1 则有a1 1 0 1 b 1 1 0 b1 1 1 1 设平面a1b1cd的一个法向量为n x y z 令x 1 则有y 0 z 1 可取n 1 0 1 则a1b与平面a1b1cd的夹角是30 反思与感悟 求直线与平面的夹角的方法与步骤思路一 找直线在平面内的投影 充分利用面与面垂直的性质及解三角形知识可求得夹角 或夹角的某一三角函数值 思路二 用向量法求直线与平面的夹角可利用向量夹角公式或法向量 利用法向量求直线与平面的夹角的基本步骤 1 建立空间直角坐标系 3 求平面的法向量n 解析答案 跟踪训练1如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 pd 平面abcd pd dc e是pc的中点 求eb与平面abcd夹角的余弦值 解析答案 解取cd的中点m 则em pd 又 pd 平面abcd em 平面abcd be在平面abcd上的投影为bm mbe为be与平面abcd的夹角 如图建立空间直角坐标系 设pd dc 1 则p 0 0 1 c 0 1 0 b 1 1 0 解析答案 题型二空间夹角的综合应用例2四棱锥p abcd中 底面abcd为矩形 pd 底面abcd ad pd e f分别为cd pb的中点 1 求证 ef 平面pab 又ab pa a ef 平面pab 解析答案 反思与感悟 反思与感悟 设平面aef的一个法向量为n x y z 反思与感悟 本题有两问是一个综合题 题目以四棱锥为背景构造垂直的证明和线面角的求解 求解过程充分体现了向量的工具性作用 解析答案 跟踪训练2在如图所示的几何体中 ea 平面abc db 平面abc ac bc ac bc bd 2ae m是ab的中点 1 求证 cm em 证明如图 以点c为坐标原点 以ca cb所在直线分别为x轴和y轴 过点c作与平面abc垂直的直线为z轴 建立如图空间直角坐标系 设ea a 则a 2a 0 0 b 0 2a 0 e 2a 0 a d 0 2a 2a m a a 0 解析答案 返回 2 求cm与平面cde的夹角 解设向量n 1 y0 z0 与平面cde垂直 所以y0 2 z0 2 即n 1 2 2 因此直线cm与平面cde的夹角是45 当堂检测 1 2 3 4 5 1 如图所示 在正方体abcd a1b1c1d1中 m n p分别是棱cc1 bc a1b1上的点 若 b1mn 90 则 pmn的大小是 a 等于90 b 小于90 c 大于90 d 不确定解析a1b1 平面bcc1b1 故a1b1 mn a 解析答案 mp mn 即 pmn 90 也可由三垂线定理直接得mp mn 1 2 3 4 5 解析答案 2 正方体abcd a1b1c1d1中 直线bc1与平面a1bd夹角的正弦值为 1 2 3 4 5 解析建系如图 设正方体的棱长为1 则d 0 0 0 a1 1 0 1 b 1 1 0 c1 0 1 1 a 1 0 0 答案c 1 2 3 4 5 解析答案 a 60 b 90 c 105 d 75 解析建立如图所示的空间直角坐标系 设bb1 1 则a 0 0 1 b 即ab1与c1b所成角的大小为90 解析答案 4 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 则bc1与平面bb1d1d所成的角的正弦值为 解析以d点为坐标原点 以da dc dd1所在的直线为x轴 y轴 z轴 建立空间直角坐标 图略 则a 2 0 0 b 2 2 0 c 0 2 0 c1 0 2 1 d 1 2 3 4 5 解析答案 解由于ac bc 2 d是ab的中点 所以c 0 0 0 a 2 0 0 b 0 2 0 d 1 1