椭圆双曲线焦点三角形问题.docx

椭圆、双曲线的焦点三角形问题一、有关面积的问题，方法：面积公式、余弦定理 例1. 如图，F1、F2分别是椭圆C：1(ab0)的左、右焦点，A是椭圆C的顶点，B是直线AF2与椭圆C的另一个交点，F1AF260.(1)求椭圆C的离心率；(2)已知AF1B的面积为40，求a，b的值解(1)由题意可知，AF1F2为等边三角形，a2c，所以e.(2)方法一a24c2，b23c2，直线AB的方程为y(xc)，将其代入椭圆方程3x24y212c2，得B，所以|AB|c.由SAF1B|AF1|AB|sinF1ABaca240，解得a10，b5.方法二设|AB|t.因为|AF2|a，所以|BF2|ta.由椭圆定义|BF1|BF2|2a可知，|BF1|3at，再由余弦定理(3at)2a2t22atcos 60可得，ta.由SAF1Baaa240 知，a10，b5.例2如图2，已知双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，分别为左、右焦点，双曲线的右支上有一点P，且的面积为，双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程.解析：设双曲线的方程为， .在PF1F2中，由余弦定理，得 ，即 ，又因为，所以，所以，所以即，又因为，所以. 故所求双曲线方程为.二、有关的问题，方法： 正弦定理、等比定理 例3已知椭圆的焦点是F1(1，0)、F2(1，0)，P为椭圆上一点，且F1F2是PF1和PF2的等差中项(1)求椭圆的方程；(2)若点P在第三象限，且PF1F2120，求tanF1PF2解：(1)由题设2F1F2PF1PF22a，又2c2，b，椭圆的方程为1(2)设F1PF2，则PF2F160，椭圆的离心率则，整理得：5sin(1cos)故，tanF1PF2tan三、有关内切圆的问题，方法：椭圆定义、切线长定理 例4椭圆上一点P，两个焦点， 的内 切圆记为，求证：点P到的切线长为定值.证明：设M与PF1F2的切点为A、B、C，如图1，因M是PF1F2的内切圆，所以|F1A|=|F1C|、|F2C|=|F2B|，|PA|=|PB|； |F1C|F2C|=2c， |F1A|F2B|=2c，由椭圆第一定义知 |PF1|PF2|=2a ， |PA|F1A|PB|F2B|=2a， 2|PA|=2a2c 即 |PA|=ac为定值四、有关轨迹的问题，方法： 例5 例6已知椭圆上一动点P，两个焦点， 的内切圆记为M，试求圆心M的轨迹方程.解析： 如图1，设PF1F2=、PF2F1=，M(x，y)则在PF1F2中由正弦定理及椭圆的定义有，由等比定理有即，又由合分比定理知.由斜率公式知：由前述不难看出，不论P位于椭圆上（异于长轴两端点）何处，总有整理得(ac)x2(ac)y2=(ac)c2(y0)证毕点评：由上获得的方程不难看出，PF1F2的内切圆圆心M始终在包含于原椭圆内的一小椭圆上移动如果中出现两个角，可以考虑应用正弦定理.五、开放性问题，方法： 例7、已知为双曲线的两个焦点，为双曲线右支上异于顶点的任意一点，为坐标原点下面四个命题：的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上；的内切圆的圆心必在直线上； 的内切圆必通过点其中真命题的代号是 解析：设的内切圆分别与PF1、PF2切于点A、B，与F1F2切于点M，则|PA|PB|，|F1A|F1M|，|F2B|F2M|，又点P在双曲线右支上，所以|PF1|PF2|2a，故|F1M|F2M|2a，而|F1M|F2M|2c，设M点坐标为（x，0），则由|F1M|F2M|2a可得（xc）（cx）2a解得xa，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，