山东省莱芜一中高三数学上学期期末考试试卷（a卷）理（含解析）.docVIP

2014-2015学年山东省莱芜一中高三（上）期末数学试卷（理科）（a卷） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1复数=（）aib1cid12已知全集u=r，集合a=x|x22x0，b=x|x10，那么aub=（）ax|0x1bx|x0cx|x2dx|1x23下列函数中，在（0，+）内单调递减，并且是偶函数的是（）ay=x2by=x+1cy=lg|x|dy=2x4数列an中，已知s1=1，s2=2，且sn+1+2sn1=3sn，（n2且nn*），则此数列为（）a等差数列b等比数列c从第二项起为等差数列d从第二项起为等比数列5对于任意xr，同时满足条件f（x）=f（x）和f（x）=f（x）的函数是（）af（x）=sinxbf（x）=sinxcosxcf（x）=cosxdf（x）=cos2xsin2x6阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）abc3d7在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，、为不同的两个平面）m，nmnmn，nmmn，n，mmn=a，m，m，n，n其中正确的命题个数有（）a1个b2个c3个d4个8如图，设区域d=（x，y）|0x2，1y3，向区域d内任投一点，记此点落在阴影区域m=（x，y）|0x2，1yx21的概率为p，则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d非充分非必要条件9若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）a2b2cd10抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb=60过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最大值为（）abc1d2二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11在（x2）5的展开式中，x的系数为12直线y=x+1被圆x22x+y23=0所截得的弦长为13设o是abc的重心，a，b，c分别为角a，b，c的对边，已知b=2，c=，则=14已知四面体sabc中，sa=sb=2，且sasb，bc=，ac=，则该四面体的外接球的表面积为15已知偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x0，1，f（x）=x2，若f（x）=|loga|x|在2，3上有5个根，求a的取值范围三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤16已知向量=（2cosx，cos（x+），=（cosx，2sin（x+），记f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，a=2，b=，求sinc的值17已知在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，a1在底面abc上的射影是棱bc的中点o，oeaa1于e点（1）证明：oe平面bb1c1c；（2）若aa1=ab，求ac与平面aa1b1b所成角的正弦值18从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品寿命（天）频数频率100，200）20a200，300）300.15300，400）b0.35400，500）300.15500，600）500.25合计2001（）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（）从灯泡样品中随机地取n（nn*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（）从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用，若将上述频率作为概率，用表示3个灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望19已知函数y=3x+的图象上有一点列p1（x1，y1），p2（x2，y2），pn（xn，yn），其中数列xn为等差数列，满足x2=，x5=（）求点pn的坐标；（）若抛物线列c1，c2，cn分别以点p1，p2，pn为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y轴，cn与y轴的交点为an（0，n2+1），记与抛物线cn相切于点an的直线的斜率为kn，求数列前n项的和sn20已知椭圆c：=1（ab0）经过点，且离心率为（）求椭圆c的方程；（）设经过椭圆c左焦点的直线交椭圆于m、n两点，线段mn的垂直平分线交y轴于点p（0，m），求m的取值范围21已知函数f（x）=ax24ln（x1）（）当a=1时，求f（x）的单调区间；（）若对一切x2，e+1，f（x）4恒成立，求实数a的取值范围2014-2015学年山东省莱芜一中高三（上）期末数学试卷（理科）（a卷）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的1复数=（）aib1cid1考点： 复数代数形式的乘除运算专题： 计算题分析： 复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为a+bi（a，br）的形式即可得到选项解答： 解：复数=i故选c点评： 本题是基础题，考查复数代数形式的乘除运算，注意共轭复数的应用，考查计算能力2已知全集u=r，集合a=x|x22x0，b=x|x10，那么aub=（）ax|0x1bx|x0cx|x2dx|1x2考点： 交、并、补集的混合运算专题： 集合分析： 分别求出a与b中不等式的解集，确定出a与b，找出a与b补集的交集即可解答： 解：由a中的不等式变形得：x（x2）0，解得：0x2，即a=x|0x2，由b中的不等式解得：x1，即b=x|x1，全集u=r，ub=x|x1，则a（ub）=x|0x1故选：a点评： 此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键3下列函数中，在（0，+）内单调递减，并且是偶函数的是（）ay=x2by=x+1cy=lg|x|dy=2x考点： 函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明专题： 函数的性质及应用分析： 分别根据函数单调性和奇偶性的性质进行判断即可解答： 解：ay=x2在（0，+）内单调递增，是偶函数，不满足条件，故a不选；by=x+1在（0，+）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故b不选；cy=lg|x|在（0，+）内单调递减，是偶函数，满足条件，故c选；dy=2x在（0，+）内单调递增，不是偶函数，不满足条件，故d不选，故选：c点评： 本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质，比较基础4数列an中，已知s1=1，s2=2，且sn+1+2sn1=3sn，（n2且nn*），则此数列为（）a等差数列b等比数列c从第二项起为等差数列d从第二项起为等比数列考点： 数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： 由已知得a1=1，a2=1，（sn+1sn）2（snsn1）=0（nn*，且n2），从而an+1=2an（nn*，且n2），由此能推导出数列an从第2项起是以2为公比的等比数列解答： 解：由s1=1得a1=1，又由s2=2，得1+a2=2，解得a2=1sn+13sn+2sn1=0（nn*，且n2），sn+1+2sn1=3sn，（n2且nn*），（sn+1sn）2（snsn1）=0（nn*，且n2），an+1=2an（nn*，且n2），n=1时，上式不成立故数列an从第2项起是以2为公比的等比数列故选：d点评： 本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列和等比数列的性质的合理运用5对于任意xr，同时满足条件f（x）=f（x）和f（x）=f（x）的函数是（）af（x）=sinxbf（x）=sinxcosxcf（x）=cosxdf（x）=cos2xsin2x考点： 抽象函数及其应用专题： 函数的性质及应用；三角函数的图像与性质分析： 直接利用已知条件，判断函数的奇偶性，以及函数的周期性，然后判断选项即可解答： 解：对于任意xr，满足条件f（x）=f（x），说明函数是偶函数，满足f（x）=f（x）的函数是周期为的函数对于a，不是偶函数，不正确；对于b，也不是偶函数，不正确；对于c，是偶函数，但是周期不是，不正确；对于d，f（x）=cos2xsin2x=cos2x，是偶函数，周期为：，正确故选：d点评： 本题考查抽象函数的奇偶性函数的周期性的应用，基本知识的考查6阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）abc3d考点： 程序框图专题： 图表型；算法和程序框图分析： 根据所给数值执行循环语句，然后判定是否满足判断框中的条件，一旦满足条件就退出循环，输出结果解答： 解：模拟执行程序框图，可得i=0，a=3i=1，a=不满足条件i2015，i=2，a=不满足条件i2015，i=3，a=3不满足条件i2015，i=4，a=不满足条件i2015，i=2015=3671+2，a=不满足条件i2015，i=2016=3672，a=3满足条件i2015，退出循环，输出a的值为3故选：c点评： 本题主要考查了循环结构，是直到型循环，先执行循环，直到满足条件退出循环，属于基础题7在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，、为不同的两个平面）m，nmnmn，nmmn，n，mmn=a，m，m，n，n其中正确的命题个数有（）a1个b2个c3个d4个考点： 命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系专题： 综合题分析： 根据线面垂直、线面平行的性质，可判断；由mn，nm或m可判断；根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断由已知可得平面，都与直线m，n确定的平面平行，则可得，可判断解答： 解：由线面垂直及线面平行的性质，可知m，n得mn，故正确；mn，nm或m，故错误根据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若mn，n，则m，又m，故正确由mn=a，m，n，m，n可得平面，都与直线m，n确定的平面平行，则可得，故正确综上知，正确的有故选c点评： 本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解题的关键是理解题意，有着较强的空间想像能力，推理判断的能力，是高考中常见题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大8如图，设区域d=（x，y）|0x2，1y3，向区域d内任投一点，记此点落在阴影区域m=（x，y）|0x2，1yx21的概率为p，则a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d非充分非必要条件考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；几何概型专题： 概率与统计；简易逻辑分析： 先根据几何概型的意义，关键是要找出阴影部分的面积，及矩形的面积，再将它们代入几何概型计算公式计算出概率，再根据函数零点的定义求出a的范围，继而得到答案解答： 解：阴影部分面积s阴影=s矩形s=（3+1）2dy=8|=8=，矩形部分面积s矩形=（3+1）2=8，所投的点落在阴影部分的概率p=函数y=ax2+2x+1有两个零点，=4+4a0，解得a1，a=p是函数y=ax2+2x+1有两个零点的充分不必要条件故选：a点评： 本题考查了几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关以及充分条件的判断，属于中档题9若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）a2b2cd考点： 简单线性规划专题： 数形结合；不等式的解法及应用分析： 对不等式组中的kxy+20讨论，当k0时，可行域内没有使目标函数z=yx取得最小值的最优解，k0时，若直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的左边，z=yx的最小值为2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答： 解：对不等式组中的kxy+20讨论，可知直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kxy+2=0，得x=，b（）由z=yx得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过b（）时直线在y轴上的截距最小，即z最小此时，解得：k=故选：d点评： 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题10抛物线y2=2px（p0）的焦点为f，a、b为抛物线上的两个动点，且满足afb=60过弦ab的中点m作抛物线准线的垂线mn，垂足为n，则的最大值为（）abc1d2考点： 抛物线的简单性质专题： 不等式的解法及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析： 设|af|=a，|bf|=b，连接af、bf由抛物线定义得2|mn|=a+b，由余弦定理可得|ab|2=（a+b）23ab，进而根据基本不等式，求得|ab|的取值范围，从而得到本题答案解答： 解：设|af|=a，|bf|=b，由抛物线定义，得af|=|aq|，|bf|=|bp|在梯形abpq中，2|mn|=|aq|+|bp|=a+b由余弦定理得，|ab|2=a2+b22abcos60=a2+b2ab配方得，|ab|2=（a+b）23ab，又ab（） 2，（a+b）23ab（a+b）2（a+b）2=（a+b）2得到|ab|（a+b）1，即的最大值为1故选c点评： 本题着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共计25分11在（x2）5的展开式中，x的系数为10考点： 二项式定理的应用专题： 二项式定理分析：根据题意，可得（x2）5的通项为tr+1，令x的幂指数等于1，可得r=3，将r=3代入通项可得x的系数解答： 解：根据二项式定理（x2）5的通项为tr+1=c5r（x）102r（）r=（1）rc5r（x）103r，令103r=1，可得r=3，将r=3代入通项公式，可得含x项的系数为：（1）3c53=10，故答案为：10点评： 本题考查二项式定理的运用，注意二项式系数与某一项的系数的区别12直线y=x+1被圆x22x+y23=0所截得的弦长为2考点： 直线与圆的位置关系专题： 直线与圆分析： 由圆的方程求出圆心和半径，求出圆心到直线y=x+1的距离d 的值，再根据弦长公式求得弦长解答： 解：圆x22x+y23=0 即 （x1）2+y2=4，表示以c（1，0）为圆心，半径等于2的圆由于圆心到直线y=x+1的距离为 d=，故弦长为 2=2=2，故答案为 2点评： 本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于中档题13设o是abc的重心，a，b，c分别为角a，b，c的对边，已知b=2，c=，则=1考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 利用重心的性质和向量的运算法则可得可得=（+），再利用数量积的运算性质即可得出解答： 解：设d为边bc的中点，如图所示，则=（），根据重心的性质可得=（+）=（+）则=（）（+）=（）=22（）2=1故答案为：1点评： 熟练掌握重心的性质和向量的运算法则、数量积的运算性质是解题的关键14（5分）（2014秋莱城区校级期末）已知四面体sabc中，sa=sb=2，且sasb，bc=，ac=，则该四面体的外接球的表面积为8考点： 球的体积和表面积；棱锥的结构特征专题： 计算题；空间位置关系与距离；球分析： 由勾股定理可得ab，再由勾股定理的逆定理，可得acbc，取ab的中点o，连接os，oc，则有直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半，可得球的半径，再由球的表面积公式即可计算得到解答： 解：由于sa=sb=2，且sasb，bc=，ac=，则ab=sa=2，由ab2=ac2+bc2，则acbc，取ab的中点o，连接os，oc，则oa=ob=oc=os=，则该四面体的外接球的球心为o，则球的表面积为s=4r2=4（）2=8故答案为：8点评： 本题考查勾股定理的逆定理和直角三角形的斜边的中线即为斜边的一半，考查球的表面积的计算，求得球的半径是解题的关键15已知偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1）且当x0，1，f（x）=x2，若f（x）=|loga|x|在2，3上有5个根，求a的取值范围a3考点： 函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断专题： 函数的性质及应用分析： 易得函数f（x）是一个周期函数，且t=2，作出函数的图象，数形结合可得解答： 解：偶函数f（x）满足f（x1）=f（x+1），函数f（x）是一个周期函数，且t=2又当x0，1，f（x）=x2，作出函数f（x）和y=|loga|x|在2，3上的图象，数形结合可得|loga3|1即可，解得a3故答案为：a3点评： 本题考查函数的奇偶性和周期性，数形结合是解决问题的关键，属中档题三、解答题：本大题共6个小题，满分75分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤16已知向量=（2cosx，cos（x+），=（cosx，2sin（x+），记f（x）=（）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（）在abc中，角a，b，c的对边分别为a，b，c，若，a=2，b=，求sinc的值考点： 余弦定理；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用专题： 三角函数的图像与性质；解三角形分析：（）由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f（x）=1sin（2x+），可求t，由2x+，kz，可解得单调递减区间（）由f（）=1sin（a+）=1，可解得a，cosa，由正弦定理可得sinb，cosb，从而可求sinc=sin（a+b）的值解答： 解：（）f（x）=2cos2x2sin（x+）cos（x+）=1sin（2x+），t=，由2x+，kz，可解得：x k，k，kz，单调递减区间为：k，k，kz（）f（）=1sin（a+）=1，可解得：a+=k，kz，由a为三角形内角，可得a=，cosa=由正弦定理可得：sinb=，cosb=，sinc=sin（a+b）=sin（a+b）=sinacosb+cosasinb=点评： 本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题17已知在三棱柱abca1b1c1中，底面abc为正三角形，a1在底面abc上的射影是棱bc的中点o，oeaa1于e点（1）证明：oe平面bb1c1c；（2）若aa1=ab，求ac与平面aa1b1b所成角的正弦值考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定专题： 空间位置关系与距离；空间角分析： （1）连结oa，由正三角形的性质得oabc，由射影性质得a1o底面abc，从而bc平面aoa1，进而bceo，由oeaa1于e点，是oebb1，由此能证明oe平面bb1c1c（2）以o为原点，oa为x轴，ob为y轴，oa1为z轴，建立空间直角坐标系，设ab=1，求出平面aa1b1bac的法向量，由此能求出ac与平面aa1b1b所成角的正弦值解答： （1）证明：连结oa，底面abc为正三角形，oabc，a1在底面abc上的射影是棱bc的中点o，a1o底面abc，又bc面abc，a1obc，bc平面aoa1，oe平面aoa1，bceo，oeaa1于e点，oebb1，又bcbb1=b，oe平面bb1c1c（2）以o为原点，oa为x轴，ob为y轴，oa1为z轴，建立空间直角坐标系，设ab=1，则a（，0，0），c（0，0），a1（0，0，），b（0，），b1（0，），=（，0），=（，0），=（，0，），设平面aa1b1bac的法向量为=（x，y，z），则，取x=2，得=（，3，1），设ac与平面aa1b1b所成角为，sin=|cos，|=|=点评： 本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力18从某批次的灯泡中随机地抽取200个样品，对其使用寿命进行实验检测，将结果列成频率分布表如下根据寿命将灯泡分成一等品、合格品和次品三个等级，其中寿命大于或等于500天的灯泡是一等品，寿命小于300天的灯泡是次品，其余的灯泡是合格品寿命（天）频数频率100，200）20a200，300）300.15300，400）b0.35400，500）300.15500，600）500.25合计2001（）根据频率分布表中的数据，写出a，b的值；（）从灯泡样品中随机地取n（nn*）个，如果这n个灯泡的等级分布情况恰好与从这200个样品中按三个等级分层抽样所得的结果相同，求n的最小值；（）从这个批次的灯泡中随机地取3个进行使用，若将上述频率作为概率，用表示3个灯泡中次品的个数，求的分布列和数学期望考点： 离散型随机变量的期望与方差；频率分布表；离散型随机变量及其分布列专题： 概率与统计分析： （）由频率分布表，得频率之和为1，频数之和为200，由此能求出a和b（）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1由此按分层抽样法，能求出n的最小值（）由已知得的所有取值为0，1，2，3，且b（3，），由此能求出的分布列和数学期望解答： 解：（）由频率分布表，得：a=10.150.350.150.25=0.1b=20020303050=70（）由表可知：灯泡样品中优等品有50个，正品有100个，次品有50个，优等品、正品和次品的比例为50：100：50=1：2：1（4分）按分层抽样法，购买灯泡数n=k+2k+k=4k（kn*），n的最小值为4（6分）（）的所有取值为0，1，2，3（7分）由题意，购买一个灯泡，且这个灯泡是次品的概率为0.1+0.15=0.25，（8分）从本批次灯泡中购买3个，表示3个灯泡中次品的个数，则b（3，），p（=0）=（1）3=，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，（11分）随机变量的分布列为： 0 1 2 3 p （12分）的数学期望e（）=0+1+2+3=（13分）点评： 本题考查频率分布列的应用，考查分层抽样的应用，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用19已知函数y=3x+的图象上有一点列p1（x1，y1），p2（x2，y2），pn（xn，yn），其中数列xn为等差数列，满足x2=，x5=（）求点pn的坐标；（）若抛物线列c1，c2，cn分别以点p1，p2，pn为顶点，且任意一条的对称轴均平行于y轴，cn与y轴的交点为an（0，n2+1），记与抛物线cn相切于点an的直线的斜率为kn，求数列前n项的和sn考点： 数列的求和；数列与函数的综合专题： 等差数列与等比数列分析： （i）设等差数列xn的公差为d，可得d=，利用等差数列的通项公式可得xn，进而得到yn（ii）由题意可设以pn为顶点的抛物线cn的方程为：y=a，由于cn与y轴的交点为an（0，n2+1），代入解得a=1，可得以pn为顶点的抛物线方程为：y=，利用导数的几何意义可得切线的斜率，再利用“裂项求和”即可得出sn解答： 解：（i）设等差数列xn的公差为d，x2=，x5=，d=1xn=x2+（n2）d=（n2）=yn=pn（ii）由题意可设以pn为顶点的抛物线方程为：y=a，cn与y轴的交点为an（0，n2+1），n2+1=a，解得a=1，以pn为顶点的抛物线方程为：y=，y（x=0）=2n+3=kn，kn+1=2n+5=，数列前n项的和sn=+=点评： 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、抛物线的标准方程及其性质、导数的几何意义、抛物线的切线方程、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题20已知椭圆c：=1（ab0）经过点，且离心率为（）求椭圆c的方程；（）设经过椭圆c左焦点的直线交椭圆于m、n两点，线段mn的垂直平分线交y轴于点p（0，m），求m的取值范围考点： 椭圆的简单性质专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题分析： （i）由椭圆c：=1（ab0）经过点，且离心率为，可得，又a2=b2+c2，联立解得即可（ii）当直线mnx轴时，线段mn的垂直平分线为x轴，可得m=0当直线mn的斜率存在时，可设直线mn的方程为y=k（x+2）（k0），与椭圆方程联立化为（1+2k2）x2+8k2x+8k28=0，设m（x1，y1），n（x2，