湖北省黄石市高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程课件 新人教A版必修2.ppt

4 1 2圆的一般方程 复习圆的标准方程 3 圆的标准方程的两个基本要素 是和 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中圆心坐标为c a b 半径为r 2 当圆心在坐标原点上 这时a b 0 那么圆的方程为x2 y2 r2 圆的一般方程 研究圆的标准方程 将圆的标准方程展开 化简 整理 可得x2 y2 2ax 2by a2 b2 r2 0 取d 2a e 2b f a2 b2 r2 可写成 x2 y2 dx ey f 0 也就是说 任何一个圆的方程都可以通过展开写成下面方程的形式 x2 y2 dx ey f 0 圆的一般方程 x a 2 y b 2 r2 研究二元二次方程表示的图形 再将上述方程x2 y2 dx ey f 0 左边运用配方法 得 x 2 y 2 显然 是不是圆方程与是什么样的数密切相关 1 当d2 e2 4f 0时 式可化为 x 2 y 2 2 方程表示以 为圆心 以为半径的圆 2 当d2 e2 4f 0时 式可化为 x 2 y 2 0 方程只有实数解x y 表示一个点 3 当d2 e2 4f 0时 式可化为 x 2 y 2 0 方程没有实数解 因而它不表示任何图形曲线 圆的一般方程 得结论 给定义 方程x2 y2 dx ey f 0的轨迹可能是圆 点或无轨迹 我们把d2 e2 4f 0时x2 y2 dx ey f 0所表示的圆的方程称为圆的一般方程 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 圆的一般方程x2 y2 dx ey f 0突出了形式上的特点 1 x2和y2的系数相同 且不等于0 2 没有xy这样的二次项 以上两点是二元二次方程ax2 bxy cy2 dx ey f 0表示圆的条件 必要不充分条件 明确指出了圆心和半径 圆的一般方程 例题分析 例1 求过三点o 0 0 m1 1 1 m2 4 2 的圆的方程 并求出这个圆的圆心坐标和半径 分析 圆的一般方程需确定三个系数 用待定系数法 解 设所求的圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 因为o m1 m2三点在圆上 所以它们的坐标是方程的解 解此方程组 可得 d 8 e 6 f 0 所求圆的方程为 x2 y2 8x 6y 0 将此方程左边配方得圆的标准方程 x 4 2 y 3 2 52 于是圆心坐标 4 3 半径为r 5 方法 待定系数法和配方法 圆的一般方程 例题分析 圆的一般方程 例2 经过点m 6 0 作圆c x2 y2 6x 4y 9 0的割线 交圆c于a b两点 求线段ab的中点p的轨迹 解 圆c的方程可化为 x 3 2 y 2 2 4 其圆心为c 3 2 半径为2 设p x y 是轨迹上任意一点 cp mp kcp kmp 1 即 1 化简得x2 y2 3x 2y 18 0 点c在曲线上 并且曲线为圆c内部的一段圆弧 1 补充练习 课堂练习 注意 圆 x a 2 y b 2 m2的半径是 m 圆的一般方程 1 方程x2 y2 dx ey f 0表示的曲线是以 2 3 为圆心 4为半径的圆 求d e f的值 2 求经过三点a 1 1 b 1 4 c 4 2 的圆的方程 课时小结 通过本节学习 首先要掌握圆的一般方程 能进行圆的一般方程与圆的标准方程的互化 其次 还应该根据已知条件与圆的两种形式的方程的不同特点灵活选