1=四边形讲义1.doc

四边形（1） 多边形1. 多边形：一般地，由n条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n边形，又称为多边形。2. 对角线：联结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。3. 正多边形：像正方形这样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。4. 定理： n边形的内角和为_(n-2)180,外角和为_360.例：如果一个多边形的每个内角都相等，它的一个外角等于一个内角的三分之二，这个多边形是几边形？（2） 平行四边形1. 概念 平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 正方形、矩形、菱形和平行四边形四者之间关系对角线相等对角线互相垂直有一个角是直角一组邻边相等平行四边形矩形菱形正方形2.平行四边形、菱形、矩形、正方形的有关性质图形边角对角线平行四边形对边平行且相等对角相等对角线互相平分菱形对边平行，四条边相等对角相等两对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线互相平分且相等正方形对边平行、四条边都相等四个角都是直角两条对角线互相平分、垂直、相等，每一条对角线平分一组对角2. 判断一个四边形是正方形可以有以下几种思路：1 先判定四边形是菱形，再确定这个菱形有一个角是直角2 先判定四边形是矩形，再确定这个矩形有一组邻边相等3 先判定四边形是平行四边形，再确定这个平行四边形有一个角是直角，并且有一组邻边相等4 判定一个四边形是对角线相等，并且互相垂直平分8. 特殊四边形的判定1四边形的内角和与外角和定理：（1）四边形的内角和等于360；（2）四边形的外角和等于360.2多边形的内角和与外角和定理：（1）n边形的内角和等于(n-2)180；（2）任意多边形的外角和等于360.3平行四边形的性质：因为ABCD是平行四边形4.平行四边形的判定：.5.矩形的性质：因为ABCD是矩形6. 矩形的判定：四边形ABCD是矩形.7菱形的性质：因为ABCD是菱形8菱形的判定：四边形四边形ABCD是菱形.9正方形的性质：因为ABCD是正方形 10正方形的判定：四边形ABCD是正方形.11等腰梯形的性质：因为ABCD是等腰梯形 12等腰梯形的判定：四边形ABCD是等腰梯形 14三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边，并且等于它的一半.15梯形中位线定理：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半.7. 三角形中位线定理 三角形的中位线：联结三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 定理：经过三角形一边中点与另一边平行的直线平分第三边（3） 中心对称图形 中心对称图形：一般地，在同一平面内，一个图形绕某一个点旋转180，如果旋转前、后的图形相互重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这这个点叫做它的对称中心。（3） 梯形1.梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。平行的两边叫做梯形的底，不平行的两边叫做梯形的腰，两底之间的公垂线段叫做梯形的高。定理：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰2. 等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形 直角梯形：有一个角是直角的梯形叫做直角梯形 等腰梯形性质定理1:等腰梯形在同一底上的两个角相等 等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条对角线相等 等腰梯形判定定理：同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形3.梯形常见的辅助线1）延长两腰交于一点 作用：使梯形问题转化为三角形问题。 若是等腰梯形则得到等腰三角形。 2）平移一腰 作用：使梯形问题转化为平行四边形及三角形问题。 3）作高作用：使梯形问题转化为直角三角形及矩形问题。4）平移一条对角线 作用：（1）得到平行四边形ACED，使CE=AD，BE等于上、下底的和 （2）S梯形ABCD=SDBE 5）当有一腰中点时，连结一个顶点与一腰中点并延长交一个底的延长线。 作用：可得ADEFCE，所以使S梯形ABCD=SABF。（图1）CABDEF例1：如图1，平行四边形ABCD中，AEBD，CFBD，垂足分别为E、F. 求证：BAE =DCF.例2如图2，矩形ABCD中，AC与BD交于O点，BEAC于E，CFBD于F.求证：BE = CF. OABCDEF（图2）ABCD图3EF例3已知：如图3，在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，点E、F分别在AB、CD上，且BE = 2EA，CF = 2FD. 求证：BEC =CFB.ADBCEF(图6)MN例4如图6，E、F分别是 ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF.（1）求证：ABECDF；（2）若M、N分别是BE、DF的中点，连结MF、EN，试判断四边形MFNE是怎样的四边形，并证明你的结论. 图7ABCDEFO例5如图7， ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F.求证：四边形AFCE是菱形.例6 四边形ABCD是矩形，O是它的中心，E、F是对角线AC上的点.（1）如果 ，则DECBFA（请你填上一个能使结论成立的一个条件）；（2）证明你的结论.ABCD图10EGOF例7如图10，已知在梯形ABCD中，ADBC，AB = DC，对角线AC和BD相交于点O，E是BC边上一个动点（点E不与B、C两点重合），EFBD交AC于点F，EGAC交BD于点C.（1）求证：四边形EFOG的周长等于2OB；（2）请你将上述题目的条件“梯形ABCD中，ADBC，AB = DC”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论，“四边形EFOG的周长等于2OB”仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.备用图（1）备用图（2）图13例8有一块梯形形状的土地，现要平均分给两个农户种植（即将梯形的面积两等分），试设计两种方案（平分方案画在备用图13(1)、(2)上），并给予合理的解释.图15例9请将四个全等直角梯形（如图15），拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图（拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法）1 已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。求证：（1）ADFCBE；（2）EBDF。2如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。 3 如图，在梯形纸片ABCD中，ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结。求证：四边形是菱形。 4把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。 5 如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。 （1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。6四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。 （1）求证：AE=CG；（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。7已知：如图，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足为点D，AN是ABC外角CAM的平分线，CEAN，垂足为点E，（1）求证：四边形ADCE为矩形；（2）当ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。8将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。（1）求证：ABEADF；（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。9如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PEBC于点E，PFCD于点F（1）求证：BP=DP；（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明；（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论10 为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形种植花草部分用阴影表示请你在图、图、图中画出三种不同的的设计图案提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图、图只能算一种11如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，C=30。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。（1）设ND的长为x，用x表示出点N到A