高考数学 第四章 圆与方程章末复习提升课件 新人教A版必修2.ppt

第四章圆与方程 章末复习提升 知识网络整体构建 要点归纳主干梳理 题型探究重点突破 栏目索引 知识网络整体构建 返回 要点归纳主干梳理 1 圆的方程 1 圆的标准方程 x a 2 y b 2 r2 其中圆心是c a b 半径长是r 特别地 圆心在原点的圆的标准方程为x2 y2 r2 圆的一般方程 x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 2 由于圆的方程均含有三个参变量 a b r或d e f 而确定这三个参数必须有三个独立的条件 因此 三个独立的条件可以确定一个圆 3 求圆的方程常用待定系数法 此时要善于根据已知条件的特征来选择圆的方程 如果已知圆心或半径长 或圆心到直线的距离 通常可用圆的标准方程 如果已知圆经过某些点 通常可用圆的一般方程 2 点与圆的位置关系 1 点在圆上 如果一个点的坐标满足圆的方程 那么该点在圆上 如果点到圆心的距离等于半径 那么点在圆上 2 点不在圆上 若点的坐标满足f x y 0 则该点在圆外 若满足f x y 0 则该点在圆内 点到圆心的距离大于半径则点在圆外 点到圆心的距离小于半径则点在圆内 注意 若p点是圆c外一定点 则该点与圆上的点的最大距离 dmax pc r 最小距离 dmin pc r 3 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有三种 相交 相离 相切 其判断方法有两种 代数法 通过解直线方程与圆的方程组成的方程组 根据解的个数来判断 几何法 由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断 1 当直线与圆相离时 圆上的点到直线的最大距离为d r 最小距离为d r 其中d为圆心到直线的距离 2 当直线与圆相交时 圆的半径长 弦心距 弦长的一半构成直角三角形 3 当直线与圆相切时 经常涉及圆的切线 若切线所过点 x0 y0 在圆x2 y2 r2上 则切线方程为x0 x y0y r2 若点 x0 y0 在圆 x a 2 y b 2 r2上 则切线方程为 x0 a x a y0 b y b r2 若切线所过点 x0 y0 在圆外 则切线有两条 此时解题时若用到直线的斜率 则要注意斜率不存在的情况也可能符合题意 4 过直线l ax by c 0 a b不同时为0 与圆c x2 y2 dx ey f 0 d2 e2 4f 0 的交点的圆系方程是x2 y2 dx ey f ax by c 0 是待定的系数 4 圆与圆的位置关系两个不相等的圆的位置关系有五种 外离 外切 相交 内切 内含 其判断方法有两种 代数法 通过解两圆的方程组成的方程组 根据解的个数来判断 几何法 由两圆的圆心距d与半径长r r的大小关系来判断 1 求相交两圆的弦长时 可先求出两圆公共弦所在直线的方程 再利用相交两圆的几何性质和勾股定理来求弦长 2 过圆c1 x2 y2 d1x e1y f1 0与圆c2 x2 y2 d2x e2y f2 0的交点的直线方程为 d1 d2 x e1 e2 y f1 f2 0 5 空间直角坐标系 1 建立的空间直角坐标系要遵循右手法则 空间上的任意一点都与有序实数组 x y z 一一对应 2 空间中p1 x1 y1 z1 p2 x2 y2 z2 之间的距离 返回 3 可利用 关于谁对称 谁保持不变 其余坐标相反 的方法来求空间直角坐标系下的对称点 题型探究重点突破 题型一求圆的方程求圆的方程主要是联想圆系方程 圆的标准方程和一般方程 利用待定系数法解题 采用待定系数法求圆的方程的一般步骤为 1 选择圆的方程的某一形式 2 由题意得a b r 或d e f 的方程 组 3 解出a b r 或d e f 4 代入圆的方程 例1有一圆与直线l 4x 3y 6 0相切于点a 3 6 且经过点b 5 2 求此圆的方程 解析答案 解方法一设圆的方程为 x a 2 y b 2 r2 则圆心为c a b 由 ca cb ca l 解析答案 方法二设圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 圆心为c 由ca l a 3 6 b 5 2 在圆上 所求圆的方程为 x2 y2 10 x 9y 39 0 方法三设圆心为c 则ca l 又设ac与圆的另一交点为p 解析答案 即3x 4y 33 0 直线bp的方程为x 2y 1 0 p 7 3 解析答案 跟踪训练1若圆c经过坐标原点和点 4 0 且与直线y 1相切 则圆c的方程是 解析因为圆的弦的垂直平分线必过圆心 且圆经过点 0 0 和 4 0 所以设圆心为 2 m 又因为圆与直线y 1相切 题型二直线与圆 圆与圆的位置关系 1 直线与圆的位置关系是高考考查的重点 切线问题更是重中之重 判断直线与圆的位置关系以几何法为主 解题时应充分利用圆的几何性质以简化解题过程 2 解决圆与圆的位置关系的关键是抓住它的几何特征 利用两圆圆心距与两圆半径的和 差的绝对值的大小来确定两圆的位置关系 以及充分利用它的几何图形的形象直观性来分析问题 解析答案 解由于直线x 4与圆c1不相交 所以直线l的斜率存在 设直线l的方程为y k x 4 圆c1的圆心到直线l的距离为d 从而k 24k 7 0 所以直线l的方程为y 0或7x 24y 28 0 解析答案 2 设p为平面上的点 满足 存在过点p的无穷多对互相垂直的直线l1和l2 它们分别与圆c1和圆c2相交 且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等 试求所有满足条件的点p的坐标 解设点p a b 满足条件 不妨设直线l1的方程为y b k x a k 0 因为圆c1和圆c2的半径相等 且直线l1被圆c1截得的弦长与直线l2被圆c2截得的弦长相等 所以圆c1的圆心到直线l1的距离和圆c2的圆心到直线l2的距离相等 即 整理得 1 3k ak b 5k 4 a bk 解析答案 从而1 3k ak b 5k 4 a bk或1 3k ak b 5k 4 a bk 即 a b 2 k b a 3或 a b 8 k a b 5 因为k的取值范围有无穷多个 经检验点p1和p2满足题目条件 解析答案 解析答案 所以直线l的方程为3x 4y 6 0 题型三与圆有关的最值问题在解决有关直线与圆的最值和范围问题时 最常用的方法是函数法 把要求的最值或范围表示为某个变量的关系式 用函数或方程的知识 尤其是配方的方法求出最值或范围 除此之外 数形结合的思想方法也是一种重要方法 直接根据图形和题设条件 应用图形的直观位置关系得出要求的范围 解析答案 例3在 abo中 ob 3 oa 4 ab 5 p是 abo的内切圆上一点 求以 pa pb po 为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值 解如图所示 建立平面直角坐标系 使a b o三点的坐标分别为a 4 0 b 0 3 o 0 0 设内切圆的半径为r 点p的坐标为 x y 则2r ab oa ob r 1 故内切圆的方程为 x 1 2 y 1 2 1 整理得x2 y2 2x 2y 1 由已知得 pa 2 pb 2 po 2 x 4 2 y2 x2 y 3 2 x2 y2 3x2 3y2 8x 6y 25 由 可知x2 y2 2y 2x 1 将 代入 得 pa 2 pb 2 po 2 3 2x 1 8x 25 2x 22 解析答案 0 x 2 pa 2 pb 2 po 2的最大值为22 最小值为18 跟踪训练3已知实数x y满足方程 x 3 2 y 3 2 6 求x y的最大值和最小值 解析答案 解设x y t 由题意 知直线x y t与圆 x 3 2 y 3 2 6有公共点 题型四分类讨论思想分类讨论思想是中学数学的基本思想之一 是历年高考的重点 其实质就是将整体问题化为部分问题来解决 化成部分问题后 从而增加了题设的条件 在用二元二次方程表示圆时要分类讨论 在求直线的斜率问题时 用斜率表示直线方程时都要分类讨论 例4已知直线l经过点p 4 3 且被圆 x 1 2 y 2 2 25截得的弦长为8 求直线l的方程 解析答案 解圆 x 1 2 y 2 2 25的圆心为 1 2 半径r 5 当直线l的斜率不存在时 则l的方程为x 4 由题意可知直线x 4符合题意 当直线l的斜率存在时 设其方程为y 3 k x 4 即kx y 4k 3 0 综上所述 满足题设的l方程为x 4或4x 3y 25 0 解析答案 跟踪训练4如图 已知以点a 1 2 为圆心的圆与直线l1 x 2y 7 0相切 过点b 2 0 的动直线l与圆a相交于m n两点 q是mn的中点 直线l与l1相交于点p 1 求圆a的方程 解设圆a的半径为r 由于圆a与直线l1 x 2y 7 0相切 圆a的方程为 x 1 2 y 2 2 20 解析答案 解 当直线l与x轴垂直时 易知x 2符合题意 当直线l与x轴不垂直时 设直线l的方程为y k x 2 即kx y 2k 0 连接aq 则aq mn 直线方程为3x 4y 6 0 综上 直线l的方程为x 2或3x 4y 6 0 题型五数形结合思想数形结合思想 在解析几何中 数形结合思想是必不可少的 而在本章中 数形结合思想最主要体现在几何条件的转化上 尤其是针对 方法梳理 中提到的第二类问题 往往题目会给出动点满足的几何条件 这就不能仅仅依靠代数来 翻译 了 必须结合图形 仔细观察分析 有时可能需要比较 绕 的转化才能将一个看似奇怪 或者不好利用 的几何条件列出一个相对简洁的式子 但这样可以在很大程度上减少计算量 大大降低出错的机率 例5已知三条直线l1 x 2y 0 l2 y 1 0 l3 2x y 1 0两两相交 先画出图形 再求过这三个交点的圆的方程 解析答案 解画图如右 由直线方程易知l2平行于x轴 l1与l3互相垂直 三个交点a b c构成直角三角形 经过a b c三点的圆就是以ab为直径的圆 解析答案 点a的坐标为 2 1 点b的坐标为 1 1 又 ab 1 2 3 解析答案 1 求动点m的轨迹方程 并说明轨迹c是什么图形 化简 得 x 2 2 y2 4 轨迹c是以 2 0 为圆心 2为半径的圆 解析答案 解设过点b的直线为y k x 2 2 求动点m与定点b连线的斜率的最小值 3 设直线l y x m交轨迹c于p q两点 是否存在以线段pq为直径的圆经过点a 若存在 求出实数m的值 若不存在 请说明理由 解析答案 解假设存在 设p x1 y1 q x2 y2 解析答案 得2x2 2 m 2 x m2 0 设以pq为直径经过点a的圆的圆心为o 整理得 x1 x2 2 2 y1 y2 2 x1 x2 2 y1 y2 2 4x1x2 4y1y2 将 代入 得m2 3m 1 0 课堂小结 初中我们从平面几何的角度研究过圆的问题 本章则主要是利用圆的方程从代数角度研究了圆的性质 如果我们能够将两者有机地结合起来解决圆的问题 将在处理圆的有关问题时收到意想不到的效果 圆是非常特殊的几何图形 它既是中心对称图形又是轴对称图形 它的许多几何性质在解决圆的问题时往往起到事半功倍的作用 所以在实际解题中常用几何法 充分结合圆的平面几何性质