【优化指导】高考数学总复习 12.1数学归纳法及其应用课时演练 人教版.doc

【优化指导】2013高考数学总复习 12.1数学归纳法及其应用课时演练 人教版1已知f(n)1222(n1)2n22212(nn*)，则f(1)等于()a1b4c5d6解析：f(1)1222126.答案：d2已知123332433n3n13n(nab)c对一切nn*都成立，则a、b、c的值为()aa，bc babcca0，bc d不存在这样的a、b、c解析：等式对一切nn*均成立，n1,2,3时等式成立，即：，整理得，解得a，bc.答案：a3用数学归纳法证明等式(n1)(n2)(nn)2n13(2n1)，从k到k1左端需增乘的代数式为()a2k1 b2(2k1)c. d.解析：当n1时，显然成立当nk时，左边(k1)(k2)(kk)，当nk1时，左边(k11)(k12)(k1k)(k1k1)(k2)(k3)(kk)(k1k)(k1k1)(k1)(k2)(kk)(k1)(k2)(kk)2(2k1)答案：b4对于不等式n1(nn*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kn*)时，不等式成立，即k1.则当nk1时，(k1)1，当nk1时，不等式成立则上述证法()a过程全部正确bn1验得不正确c归纳假设不正确d从nk到nk1的推理不正确解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设某同学的证题过程没有用上归纳假设故选d.答案：d5用数学归纳法证明不等式1(nn*)成立，其初始值至少应取()a7 b8 c9 d10解析：由于12，122，其初始值至少应为8，故选b.答案：b6用数学归纳法证明34n152n1(nn*)能被8整除时，若nk时，命题成立，欲证当nk1时命题成立，对于34(k1)152(k1)1可变形为()a5634k125(34k152k1)b3434k15252kc34k152k1d25(34k152k1)解析：当nk1时，34(k1)152(k1)134k13452k1528134k12552k15634k125(34k152k1)答案：a7(1x)nccxcx2cxn(xn*)，上式两边对x求导后令x1，可得结论：c2crcncn2n1，利用上述解题思路，可得到许多结论试问：c2c3c(r1)c(n1)c_.解析：(1x)nccxcx2cxn(xn*)，两边同乘x得x(1x)ncxcx2cx3cxn1(xn*)，求导得(1x)nnx(1x)n1c2cx3cx2(n1)cxn(xn*)，令x1得c2c3c(r1)c(n1)c2nn2n1(n2)2n1.答案：(n2)2n18设n2，nn，(2x)n(3x)na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为tn，则t20，t3，t40，t5，tn，其中tn_.解析：由所给数列可知，n为偶数时，tn0，n为奇数时，tn，tn.答案：9如果一个凸多面体是n棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有_条这些直线中共有f(n)对异面直线，则f(4)_，f(n)_.(答案用数字或含n的解析式表示)解析：所有顶点确定的直线的条数为c.f(4)12；f(n)n(n2)(n2)n(n2).答案：1210已知f(n)1，求证：f(2n)(nn*)证明：(1)n1时，f(21)1，即原不等式成立(2)假设当nk(k1，kn*)时命题成立，即1，则nk1时，f(2k1)1f(2k)2k.即nk1时，命题也成立综上可知，原命题对所有正整数n都成立11已知abc的三边长都是有理数(1)求证：cos a是有理数；(2)求证：对任意正整数n，cos na是有理数证明：(1)由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知cos a是有理数(2)用数学归纳法证明cos na和sin asin na都是有理数当n1时，由(1)知cos a是有理数，从而有sin asin a1cos2 a也是有理数假设当nk(k1)时，cos ka和sin asin ka都是有理数当nk1时，由cos(k1)acos acos kasin asin ka，sin asin(k1)asin a(sin acos kacos asin ka)(sin asin a)cos ka(sin asin ka)cos a，及和归纳假设，知cos(k1)a与sin asin(k1)a都是有理数即当nk1时，结论成立综合、可知，对任意正整数n，cos na是有理数12数列an(nn*)中，a1a，an1是函数fn(x)x3(3ann2)x23n2anx的极小值点(1)当a0时，求通项an.(2)是否存在a，使数列an是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由解：易知fn(x)x2(3ann2)x3n2an(x3an)(xn2)令fn(x)0，得x13an，x2n2.若3ann2，则当x0，fn(x)单调递增；当3anxn2时，fn(x)n2时，fn(x)0，fn(x)单调递增故fn(x)在xn2取得极小值若3ann2，仿可得，fn(x)在x3an取得极小值若3ann2，则fn(x)0，fn(x)无极值(1)当a0时，a10，则3a112.由知，a2121.因3a2332，则由知，a43a334.又因为3a43642，则由知，a53a4324.由此猜测：当n3时，an43n3.下面先用数学归纳法证明：当n3时，3ann2.事实上，当n3时，由前面的讨论知结论成立假设当nk(k3)时，3akk2成立，则由知，ak13akk2，从而3ak1(k1)23k2(k1)22k(k2)2k10，所以3ak1(k1)2.故当n3时，3ann2成立于