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“韩信点兵”问题的初等解法研究王晓东 河北省卢龙县燕河营镇中学 066407韩信,是我国汉代刘邦手下的一员能征善战,智勇双全的大将。历史上流传着一个关于他运用奇特方法点兵的传说。有一天,韩信来到操练场,检阅士兵操练。他问部将,今天有多少士兵操练,部将回答:“大约两千三百人。”韩信走上点兵台,他先命全体士兵排成7路纵队,问最后一排剩几人,部将说,剩2人;他又命全体士兵排成5路纵队,问最后一排剩几人,部将说,剩3人;最后,他又让全体士兵排成3路纵队,问最后一排剩几人,部将说,剩2人。韩信告诉部将,今天参加操练的士兵有2333人。 从现代数学的观点来看,解决韩信点兵问题,可以这样思考:设操练士兵的总数为M,则M=3x+2=5y+3=7z+2其中,x,y,z分别表示排成3路纵队,5路纵队,7路纵队的纵队数目。求出了x,y,z以后,M也求求出来了。而求x,y,z可以看成求方程组3x+2=5y+3 3x+2=7z+2的正整数解。在上面的方程组中,未知数的个数多于方程的个数,则把这种方程(组)叫做不定方程(组)。不定方程(组)的解是不确定的,一般不定方程总有无穷多个组解,但若加上整数(或正整数)解的特定限制,则不定方程(组)的解有三种可能:有无限组解,有限组解,或无解。我国古代人民对于不定方程(组)这类问题解法的探讨有着悠久的历史,在中国古代的孙子算经中曾作为一个典型问题进行论述。其中的一个经典例题是:今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物有几何?答曰:二十三。术曰:三三数之剩二,则置一百四十;五五数之剩三,则置六十三;七七数之剩二,则置三十;并之得二百三十三,以二百一十减之,即得。凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五。一百(零)六以上,以一百(零)五减之,即得。在中国民间还广为流传着一个口诀:三人同行七十稀,五树梅花二十一。七子团圆正半月,除百零五便得知。就是对这个问题解法的情境化的解释与说明。歌谣中隐含着70、21、15、105这4个数字,只要记住了这4个数,物不知其数问题就可以迎刃而解了。尤其可贵的是这种解法具有普遍意义。这个口诀意思是:凡是每3个一数最后剩1个,就取70;凡是每5个一数最后剩1个,就取21;凡是每7个一数最后剩1个,就取15。在物不知其数问题中,每3个一数最后剩2个,应该取2个70;每5个一数最后剩3个,应该取3个21;每7个一数最后剩2个,应该取2个15,相加所得到的和,如果大于105,再减去105,仍大于105就再减去105,所得到数字就是问题的所有答案中最小的结果。这种解法对许多人来说都会感到迷惑不解,不能理解这种解法的来龙去脉,记住了结论,题目出现变形或者进行扩展,就会束手无策。下面我们探索用引入新的未知数换元的思想解决这种问题。设物体的总数为M,则M=3x+2=5y+3=7z+2其中,x,y,z分别表示M除以3,除以5,除以7的商。求出了x,y,z以后,M也求出来了。而求x,y,z可以看成求方程组3x+2=5y+3 3x+2=7z+2 的正整数解。化简方程组得 3x-5y=1 3x-7z=0 由的,7z-5y=1 y=即y= 根据等式,因为y,z都是正整数, 所以一定也是一个整数,所以设z=5t+3(t是非负整数)。(注意:这里引入未知量的关键是设z=et+f的形式,z应该是分母5的倍数并加一个常数项f,常数项确定的原则是:常数项f与z的系数相乘加上分子中的常数项-1的和是分母5的倍数,即2f-1是分母5的倍数。例如,所以应设x=4t+3)所以把z=5t+3(t是非负整数)代入得,=7t+4 把y=7t+4(t是非负整数)代入得, 把 (t是非负整数)代入得, 所以不定方程的通解为: 观察通解公式,t的系数出现分数,为保证x,y,z都是整数,再次引入变量m,使t=3m(m是非负整数),则通解公式变形为, 物体的总数 M=3x+2=3(35m+7)+2=105m+21+2=105m+23当引入的变量m分别取不同的值m012345M23128233338443548现在我们用这种方法来解决本文开头提出的“韩信点兵”问题,细心的读者会发现,“韩信点兵”问题与孙子算经中“物不知其数”是同一个问题,实际上,韩信运用了“物不知其数”的原理计算出操练士兵的人数。通过上题的计算已知M=105m+23,又知道操练的士兵有2300多人,所以当m=22时,M=2333,即参加操练的士兵有2333人。下面我们用这种方法来解决类似的两个问题。例1 现有1角,5角,1元硬币各10枚,从中取出15枚,共7元。1角,5角,1元硬币各取了多少枚?设取出1角硬币x枚,5角硬币y枚,1元硬币z枚。本题的实质是求下面这个不定方程的正整数解x+y+z=15 0.1x+0.5y+z=7 且0x15,0y15,0z15。10得 x+5y+10z=70 得 4y+9z=55 由得,使(t是非负整数) 把代入得, 把、代入得, 则不定方程的通解为: 有因为0x15,0y15,0z15,当t=0, 所以x=5, y=7, z=3。即需要取出1角硬币5枚,5角硬币7枚,1元硬币3枚,由于条件的限制,这个不定方程只有一组符合条件的解。例2 一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,盒子里共有多少粒棋子? 设盒子里棋子总数为M,则M=2a+1=3b+1=4c+1=6d+1=11e 其中,a,b,c、d、e分别表示每次取出2粒,3粒,4粒、6粒或11粒的次数。根据等式可得 ,观察这四个等式,5个未知量的关系简单,很难用加、减消元法消去其中的三个未知数。观察这四个等式的特点,e应该是2、3、4、6的最小公倍数12的倍数加一个常数k,即e=12t+k,并且要求11k-1是2、3、4、6的倍数,经过试算k=11,所以令e=12t+11,分别代入上面四个等式得, a=66t+60 b=44t+40c=33t+30d=22t+20e=12t+11将通解代入,等式恒成立。则M=2a
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