2012春季大学物理实验讲义.doc

I 目目 录录 物理实验基础知识 1 1 1 物理实验 1 1 2 测量 2 1 3 测量误差 4 1 4 测量结果的不确定度 13 1 5 测量结果不确定度估算及表示 15 1 6 有效数字 18 1 7 列表和作图 21 1 8 逐差法 24 1 9 最小二乘法 26 实验报告要求 29 实验 1 浮力与体积密度的测定 31 实验 2 薄透镜焦距的测定 34 实验 3 电子示波器的使用 40 实验 4 金属材料弹性研究 53 实验 5 RLC 电路特性的研究 1 58 实验 6 光的偏振现象研究 1 67 实验 7 电路元件伏安特性研究 70 实验 8 用牛顿环法测透镜曲率半径 73 实验 9 验证转动定律 80 实验 10 声波合成研究 85 实验 11 磁场描绘 90 实验 12 分光仪的调整及棱镜折射率的测定 99 1 第一章第一章 物理实验基础知识物理实验基础知识 1 11 1 物理实验物理实验 一 科学实验一 科学实验 科学实验是人们根据一定的研究目的 运用一定的科学仪器 创设有利条件 人为 地控制研究对象及其运动过程 以便暴露它们在自然发生的条件下无法暴露的特性 通 过观察 测量等手段研究其本质规律的科学实践活动 二 二 科学实验系统结构科学实验系统结构 一般来讲 实验系统结构如图 1 1 所示 实 验 者 实 验 仪 器 实 验 对 象 操纵变革控制 自然现象实验现象 图图 1 11 1 实验系统结构图实验系统结构图 三 三 科学实验的基本特性科学实验的基本特性 1 对研究对象和实验过程的人为可控制性 2 实验结果的可重复性 四 四 物理实验在物理学发展中的作用物理实验在物理学发展中的作用 1 发现新事物和探索新规律 2 验证理论 3 测定物理常数 4 开拓应用研究 五 五 物理教学实验物理教学实验 1 基本特点 1 一般是典型的科学发展中的重要实验 2 有比较完备的实验器材与参考资料 2 基本功能 1 培养学生的科学实验能力 2 提供理论联系实际的学习环境 3 培养实事求是的科学素质 2 3 基本实验类型 1 测定性实验 2 验证性实验 3 探究性实验 4 物理教学实验程序 1 预习 2 实验操作 3 书写实验报告 1 21 2 测量测量 一 直接测量与间接测量 按测量过程分类 一 直接测量与间接测量 按测量过程分类 测量 用一定的工具或仪器 通过一定的方法 直接或间接地与被测对象进行比较 求出比值的过程 测量所得的值 数据 应包括数值 大小 和单位 两者缺一不可 直接测量 把待测的物理量直接地与标准单位的同类物理量进行比较 例如 用米 尺测长度 用天平称衡质量 用秒表测时间 用电表测电压 电流 用温度计测温度等 L m t v I T 相应的物理量称为直接测得量 间接测量 是计算由一个或几个直接测量量组成的函数的数值 例如 当用单摆测 定重力加速度 g 时 用米尺测量单摆的摆长度 l 用停表测定单摆的摆动周期 T 然后通 过函数式 的计算得到 这里 g 是间接测量量 l T 是直接测量量 大量的 22 T l4g 物理量是通过间接测量得到的 二 等精度测量与不等精度测量二 等精度测量与不等精度测量 按测量条件分类按测量条件分类 对某一物理量进行多次测量 而且每次测量的条件相同 如同一观察者 同一组仪器 同一测量方法和同样的环境条件下测试等等 测得的数据为X1 X2 Xn 称为等精度测 量 在所有的测量条件中 只要有一个发生变化 这时所进行的测量就是不等精度测量 严格地说 在实验过程中保持测量条件完全相同的多次测量是极其困难的 但当某 一条件的变化对结果的影响不大 甚至可以忽略时 仍可将此种测量视为等精度测量 一般情况下除了特别指明外 都作为等精度测量来讨论 物理实验中大多采用等精度测 量 三 测量仪器的量程 精密度和准确度三 测量仪器的量程 精密度和准确度 测量是通过一定的仪器或量具来完成的 每一种类的仪器都有一定的使用条件 范 围和方法 因此 熟悉仪器的性能 掌握仪器的使用方法和准确的读数是完成实验的必 3 要条件 为此 在测量前必须对仪器有足够的了解 1 量程 仪器的测量范围称为仪器的量程 如 天平的最大称量为 1000g 则其量程 为 1000g 电位差计的测量范围是 0 170mV 则其量程为 170mV 等等 不容许在超量程 下使用仪器 否则会损坏仪器 2 精密度 仪器的精密度是指仪器所能分辨物理量的最小值 如测量长度时米尺 最小分度值为 1mm 游标卡尺 分度值为 1 50mm 螺旋千分尺 分度值 0 01mm 的精密 度是不同的 仪器的精密度与仪器的最小分度值一致 此值愈小 仪器的精密度愈高 3 准确度 用仪器的准确度级别来标志 例如 某电压表的表面上标有 0 5 字样的 就是该电压表的准确度级别是 0 5 级 一般仪器 测量用具 分度值取为准确度数值的 1 2 2 倍 有的仪器则完全相等 如游标卡尺 分度值为 0 02mm 时 其准确度数值也 为 0 02mm 四 测量值的确定四 测量值的确定 1 直接测量值的确定 算术平均值 如果对一物理量进行多次测量 例如对物理量X等精度测量 得到一系列 X1 X2 Xn数值 在测量没有错误及符合统计规律的情况下 可以用算术平均值表X 示测量的最佳值 即 1 1 n i i x n X 1 1 可以证明 当测量次数无限多时 算术平均值将无限接近真值 对于有限次测量 平均值会随着测量次数的不同而有所改变 也会因不同范围的测 量数据而稍有差别 2 间接测量值的确定 对于间接测量值 w f x y 它由直接测量值 x y 所确定 当多次测量时 有两种可能的情况 1 对于各直接测量值 xi yi 相互独立地进行测量 且测量条件变化幅度很 小 首先分别求出各自的算术平均值 然后将其带入函数关系式 w f x y y x 中求得 w 的测量值 1 2 yxfw 2 同一条件下 对各量测量一遍 得一组 xi yi 相应的有 wi xi yi 而每次间接测量之间又是相互独立的 用测量算术平均值作为测量值 w 4 1 3 k i ii k i i kyxfkww 11 通常 当测量条件没有大幅度变化时 两种计算方法所得到的结果是极其相近的 所以 除了测量条件变化幅度过大时必须采用式 1 3 外 一般都可以采用较简单的式 1 2 来计算 1 31 3 测量误差测量误差 物理实验一般都离不开物理测量 由于测量仪器 环境条件 实验方法 测量手段与 计算方法等 的限制和测量者的观察能力的局限 实验测量得到的物理量的数值与它的真 实值并不一致 这种情况在数值上的表现即为误差 随着科学技术水平的提高和人们的 经验 技巧 专门知识的丰富 误差可以控制得愈来愈小 但不能使误差降低为零 因 此 实验结果都具有误差 误差始终存在于一切一切科学实验过程之中 一 误差的定义一 误差的定义 1 绝对误差 若实际测得值X与该物理量的客观真值A之间的差值为 A 称 A为测量值的绝对 误差 如果X是指针式仪器的示值 则 A称为示值误差 如X为某一元器件的标准值 则 A称为标称误差等 真值有 3 种类型 1 理论值或定义值 如三角形的内角和等于 180 2 计量学约定真值 国际计量大会决议的 7 种标淮 3 标准器相对真值 高一级标准器的误差与低一级标准器或普通计量仪器的误差相 比 为其 l 5 或者说 1 3 1 20 时 则可以认为前者是后者的相对真值 如 0 5 级 电压表测得某电阻的电压值为 1 03V 而用 1 0 级电压表测得的电压值为 1 05V 则可 认为 1 0 级电压表测得的电压值的误差为 0 02V 2 相对误差 绝对误差表示往往不能反映测量的精确程度 例如 测量两个不同物体的长度 用 最小分度值为 l mm 的米尺测量一个物体长度为L1 51 4mm 绝对误差 0 02mm 用最 小分度为 0 01mm 的螺旋测微计测量另一物体的长度为L2 0 235mm 绝对误差 0 005mm 初看起来 绝对误差 0 2mm 远大于 0 005mm 但我们不能说后者的测量精度 比前者高 而恰恰相反 这是因为L1的测量误差对 51 4mm 而言仅为 0 4 而L2相应的 5 测量误差对 0 235mm 却为 2 因此 为了弥补绝对误差的不足 我们引进相对误差 Er 根据所取的相对参考值的不同 可分为 1 实际相对误差 误差 真值 的百分数 即 100 A Er 2 标称相对误差 误差 测量值 的百分数 即 100 X Er 3 额定相对误差 或称可用误差 误差 满刻度值 的百分数 即 100 max X Er 由于一般有 X X A 故前两种误差基本上没有区别 但与额定相对误差则可能 相差较大 因为 X X max 则有 A X Xmax 一般电工仪表常以额定误差的大小来分级 如量程为 150mV 的 0 5 级电压表 表示测 量 150mV 电压以内的任何一个电压时最大的误差为 0 75mV 用这个电压表测量 100mV 的 电压时 其相对误差 Er 0 75mV 100mV 0 5 150mV 100mV 0 75 这在使用 电工仪表时必须要注意 电子仪器和元器件一般用标称相对误差来表示 如 100 5 等等 对于电子仪器 因受外部条件影响较大 要求在使用时必须注意详细阅读说明书 二 误差的分类及处理方法二 误差的分类及处理方法 误差按性质和来源分为系统误差和偶然误差 随机误差 一 系统误差 在同一实验条件下多次测量同一物理量时 误差的绝对值和符号保持恒定 或在条 件改变时按某一确定的规律变化的误差 1 系统误差的来源 1 理论误差 由于测量原理所依据的理论具有一定的近似性 从而在测量结果中引入误差 单摆 实验是一个很好的例子 由于引入了 sin 得到了单摆周期的简化公式为 1 4 glT 2 0 它的精确级数解为 1 5 2 sin 64 9 2 sin 4 1 1 42 0 TT 计算可得到 当摆幅角为 5 时 由式 1 4 引入的误差约为 0 05 摆幅角愈小 6 由理论引入的误差愈小 对于这种理论误差 我们可以根据测量结果总精确度的要求来 进行修正 2 人为误差 由于观察者的生理和心理因素引起测量结果的误差 如有的人在启动停表时总是提 前 而有的人则总是滞后 一般在正常情况下 人们看到一个信号而开启停表的误差为 0 05 0 1s 又如用米尺测量长度 对于 1mm 以下的估读数的误差与操作者的视力习惯 有关等 3 环境误差 由于环境 如温度 大气 电磁场等 的影响而产生的误差 如在流体静力称衡法实 验当中 在称量时 水的温度由 16 5 变到 18 5 水的温度的改变导致被测物体密度 的误差 4 仪器误差 仪器的误差也称工具误差 这是由于测量所用的工具 仪器 量具等 本身不完善而 产生的误差 它包括 a 仪器的示值误差 b 仪器的零值误差 c 仪器机构误差和测量附件误差等 5 装置误差 由于测量设备 仪器和电路的安装 布置 调整不当而产生的误差 例如 在电磁 学一类实验中 经常需要考虑磁电的屏蔽和良好的接地问题 以减小测量的系统误差 2 如何发现系统误差 1 理论分析法 1 分析实验理论公式所要求的条件在测量过程中是否得到满足 如在单摆实验中 只有摆角 趋于零时才能套用公式 实验是达不到这个要求的 必然产glT 2 0 生系统误差 2 分析仪器要求的使用条件是否得到满足 2 对比测量法 1 实验方法与测量方法的对比 用不同的实验方法测量同一个被测量 如果测量的结果在偶然误差允许的范围内不 重合 则说明其中至少有一种方法存在系统误差 如用单摆与自由落体两种方法测某地 的重力加速度 实验结果分别是 g 9 81 0 01 ms 2和 g 9 76 0 01 ms 2 显然 其 中至少有一种方法存在系统误差 因为两种方法测出的重力加速度值之差无法用偶然误 7 差解释 必然是系统误差所致 同一种实验方法 有时改变测量方法也可发现系统误差 比如在拉伸法测金属丝实 验中 用增加砝码与减少砝码过程中读数的方法来发现摩擦等因素带来的系统误差 2 仪器的对比 一个量用不同的仪器同时或分别地进行测量可发现仪器的系统误差 如果用两只电 流表接入同一串联电路 若读数不一致 说明至少有一只存在系统误差 如果有一只是 标准表 就可发现并消除另一只表的系统误差 3 改变实验参数进行对比 如改变电路中的电流数值 而测量结果有单调变化或规律性的变化 说明存在某种 系统误 4 换人测量 发现人员误差 3 数据分析法 当偶然误差很小时 将测量的偏差 1 6 NNN ii 按测量的先后次序排列 观测的变化 如果呈现规律性变化 如线性增大或 i N i N 减小 稳定的周期性变化 则必有系统误差存在 3 恒定系统误差的消除 系统误差的特点是它的确定性 因此不能用重复多次测量的方法去消除或减小 没 有像偶然误差那样统一的处理方法 下面介绍几种消除系统误差的常用方法 1 消除产生系统误差的根源 如采用符合实际的理论公式 保证仪器使用所必需的 条件等 2 有些系统误差当测量条件变化时 其大小和符号始终保持不变 称恒定系统误差 又称定值系统误差 即对一测量值的影响均为一定的常量 如千分尺 电表等的调零 误差 采取找出修正值对测量值进行修正 如找出 零差 对测量值进行修正 用标准 仪器对测量中使用的仪器进行校正 找出修正值后进行修正 即 真值 测量值 修正值 只要找到修正值进行修正就可消除这类系统误差 8 图图 1 21 2 交换法消除误差原理图交换法消除误差原理图 3 对其他形式的恒定系统误差采取适当的测量方法去抵消 常用的方法有 异号法 改变测量中某些条件进行测量 例如改变测量方向等使两种条件下的测量 结果的误差符号相反 取平均值作为测量值来消除不均匀性带来的系统误差 例如 在 研究金属材料弹性实验中 加砝码和减砝码各记一次数 取平均值可消除光杠杆上升或 下降时因摩擦 金属丝伸縮滞后等因素产生的系统误差 交换法 本质上也是异号法 但在形式上是将测量中的某些条件 例如被测物体的 位置相互交换 是产生系统误差的原因对测量的结果起相反的作用 从而抵消系统误差 用电桥法测量未知的电阻值时 将待测物放在不同的桥臂上 如图 1 2 a 所示 置换后 如图 1 2 b 所示 3 2 1 R R R Rx 3 1 2 R R R Rx 则 3333 2 RRRRRR xx 替代法 保持测量条件不变 用一个已知量替换被测量 再作测量以达到消除系统 误差的目的 用天平测量一物体的质量 可以不直接从左盘的砝码读出物体的质量 而 是把右盘的物体取下用砝码代替物体再保持天平平衡 然后 读出右盘砝码的质量来消 除等臂引起的系统误差 零示法 为了消除指示仪表不准而造成的系统误差 测量中当被测量的量与标准量 相互平衡使指示仪表示零 这时被测量的值就等于标准量 这就是零示法 例如 电桥 电路 电位差计等都是用这种方法来消除指示仪表不准引起的系统误差的 4 可变系统误差 变值系统误差或对称变化系统误差 的消除 在测量条件或某几个因素变化时 误差的大小和符号按确定的函数规律而变化 变 值系统误差的种类很多 有的还比较复杂 我们只略谈一下常用的 1 线性变化的系统误差 在整个测量过程中 随时间线性变化 递增或递减 的系 统误差 如图 1 3 可将观测程序可将观测程序对某时刻对称 9 地再做一次 例如 一只灵敏电流计零点随时间有线性漂移 在测量读数前记下一次零 点值 测量读数后再记 次零点值 取两次零点值的平均值来修正测量 这种消除系统 误差的方法称为对称观测法 图图 1 31 3 由于很多随时间变化的误差在短时间内均可认为是线性变化 因此对称观测法是一 种能够消除随时间变化的系统误差的好方法 2 周期性变化的系统误差 随着测量值或时间的变化而呈正弦曲线变化的系统误差 即为周期性系统误差 如 分光计的偏心差可表示成 esin 当 0 180 360 时 O 而当 90 270 时 e 周期性系统误差一般可以表示为 esin 2 t T 式中 T 为误差变化周期 t 为决定周期误差的自变量 如时间 角度等 当 t t0时 0 esin 2 t0 T 当 t t0十 T 2 时 1 esin 2 t0十 T 2 T esin 2 t0 T 于是 取算术平均值则有 0十 1 2 0 可见 对于周期性系统误差 只要选读一个数 0 然后每隔半个周期进行一次测量 只要测量次数是偶数 取平均值即可消除 3 复杂规律变化的系统误差 在整个测量过程中 这一类误差是按一定的但是比较复杂的规律变化的系统误差 这些复杂规律 可能是某些初等函数形式 如对数 幂指数 指数函数等形式 也可能 是经验曲线的形式 对于按复杂规律变化的误差 一般可以将它展开成代数多项式或三 角多项式来分析它与某因素的关系 此外 系统误差校对其掌握和可处理的程度又可分为已定系统误差和未定系统误差 在原则上一般都是可以发现 分离和消除的 而未定系统误差是指实验过程中不能确切 地掌握其大小和方向 或没有必要去掌握它的规律 而只需要估计它的极限范围的系统 误差 我们在实验中遇到的大部分测量仪器误差属于这一类 它们虽然有系统误差特征 但在大多数情况下 其本身的规律比较复杂 修正比较麻烦 另一方面 测量一般也只 要求掌握系统误差的大小范围和方向 也不必要花大力气去处理它 如量程为 V0的 0 5 级电压表 表明在被测量的范围内 测量值 V 的最大误差为 V0 0 5 二 偶然误差 又称随机误差 10 在实际相同的条件下 多次测量同一物理量时 误差的绝对值和符号的变化 时大 时小 时正时负 以随机的方式变化的误差 1 偶然误差来源 是由大量微小的涨落性的个别扰动累积而成的 1 判断的起伏 如用仪器时对最小分度以下作估读 仪器调整和操作上的不一致 而观测者由于感 官分辨能力的局限性时时改变 2 测量工作状态的偶然变化 如空气流动 温度起伏 湿度 压强的变化 电源电 压的波动等 3 实验和测量过程中各种外界因素的干扰 如振动 电磁场 热 光 声等 4 被测物体本身的不确定性 如钢丝的直径 由于加工方面的技术困难 一般不可 能很均匀 而在不同位置 不同方向去测量其值是不完全相同的 因而钢丝的直径是不 确定的 只能去测它的平均直径 2 偶然误差的规律 对一般物理实验和大多数测量来说 认为产生偶然误差的原因是相对独立的 微小 的多种因素影响的综合效果 而不是某一因素起主要作用 由概率统计论证明 此时偶 然误差将服从正态分布 高斯分布 实际的观测结果也证实了这一点 正态分布的特征 1 有界件 偶然误差的绝对值不会超过一定界限 2 单峰性 绝对值小的误差出现的几率比绝对值大的误差出现的几率大 3 对称性 绝对值相等的正负误差出现的概率相等 4 抵偿性 正负误差的代数和为零 这一统计规律在数学上可用概率密度函数 高斯误差分布函数 来描述 1 7 22 2 2 1 ef 式中 f 为概率密度函数 即误差值 在其附近单位区间内出现的概率 x x0 为测量值的误差 是高斯分布函数的惟一参量 表示在一定条件下随机误差的离散程 度 11 图图 1 41 4 正态分布正态分布 图图 1 51 5 高斯分布曲线如图 1 4 所示 横坐标表示误差值 纵坐标表示概率密度的大小 坐 标原点相当于 0 对应着真值 x0的位量 曲线下的总面积表示各种可能误差值出现 的总概率为 1 8 1 dfP 是高斯分布曲线成拐点的横坐标 它的大小确定曲线的形状 如图 1 5 所示 大 表明随机误差离散程度大 测量的精密度低 曲线形状低而宽 反之 曲线形状高 而窄 因而参量 用来量度测量的精密度 的数学表达式是 1 9 n xx n n i i n i 1 2 0 1 2 式中 测量次数趋于无限大 称为标准误差 均方根误差 由概率密度分布函数的定义 1 7 式 计算一下某次测量偶然误差出现在 区间的概率 683 0 dfP 1 10 12 同样可以计算 某次测量偶然误差出现在 2 2 和 3 3 区间的概率 分别为 1 11 955 0 2 2 dfP 1 12 997 0 3 3 dfP 以上 3 式所表示的积分面积如图 1 6 所示 图图 1 61 6 通过以上的分析可以得出标准误差 所表示的概率意义 对物理量 x 任做一次测量 时 测量误差落在 到 之间的可能性为 68 3 落在 2 到 2 之间的可能性为 95 5 而落在 3 到 3 之间的可能性为 99 7 由于标准误差 具有这样明确的 概率含义 因此 国内外已普遍采用标准误差作为评价测量优劣的指标 实际测量的次数 n 是不可能达到无穷大的 而且真值 x0也是未知的 因此 计算标 准误差 的公式 1 9 只具有理论上的意义而没有实际应用价值 那么 在对物理量 x 进行的有限次测量而真值又不知道的情况下 确定 可根据偶然误差的可抵偿性 即在 相同的测量条件下对同一物理量进行多次重复测量 每一次测量的误差时大时小 时正 时负 但误差的代数和趋于零 用测量列 x1 x2 xn表示对物理量 x 进行 n 次测量 的值 那么 0 022 011 xx xx xx nn 将以上各式相加得 13 0 11 nxx n i i n i i 由于0 1 lim n i i n 因此有 0 1 xx n x n i 可见 测量次数越多 算术平均值越接近真值 x0 可以用算术平均值作真值 x0 xx 的最佳估计值 在实际测量过程中用残差来计算每次测量的偏差 1 13 xxv ii 可以证明 当测量次数为有限次时 可以用标准偏差 Sx作为标准误差 的估计值 Sx的计算公式如下 1 14 1 2 1 n xx S n i i x 有时也简称 Sx为标准差 它具有与标准误差 相同的概率含义 式 1 14 称为贝 赛尔公式 在实际测量中经常用到它 一般情况下 对 x 进行不同组的有限次测量 各 组结果的算术平均值是不会相同的 可以证明 平均值的标准偏差为 Sx的 1 即 n 1 15 1 2 nn xx n S S i x x 三 粗大误差 它是由实验者的失误造成的 如在记录和计算数据时写错数据 或者实验操作不当 仪器损坏等 这是一种人为因素的错误 实验者必须要避免它 我们所说的误差不应包 括这类误差 综上所述 随机误差和系统误差在产生原因 性质 特点和处理方法上是不同的 但是它们又有密切的联系 在实际测量时二者可能同时出现 一般仪器误差既包含系统 误差也包含随机误差 当实验条件变化时 随机误差和系统误差又可能互相转化 这要 求我们根据具体情况分析误差的性质 再作相应的处理 14 1 41 4 测量结果的不确定度测量结果的不确定度 在测量过程中 测量误差是普遍存在的 各种误差因素必然导致测量结果偏离真值 即具有误差 且每次结果的误差又具有一定的不确定性 为了对测量结果的这种不确定 程度进行定量的估计 需要引入一个新的概念 不确定度 1993 年 国际计量局 BIPM 等七个国际组织正式发布了 测量不确定度表示指南 简称 GUM 指南中 规范了各领域中测量不确定度计算和表达的方法 我国自 1999 年 5 月 1 日起实施 GUM 科学 准确 规范的表示测量结果 测量不确定度是与测量结果相联系的参数 表征合理的赋予被测量值的分散性 它 反映测得值附近的一个范围 真值以一定的概率落在其中 不确定度越小 标志着误差 的可能值越小 测量的可信赖程度越高 不确定度越大 标志着误差的可能值越大 测 量的可信赖程度越低 所以说 测量不确定度是测量质量的一个极其重要的指标 由于误差来源不同 一个直接测量的不确定度会有很多分量 按获得的方法可把这 些分量分为A类不确定度和B类不确定度 一 一 A A类标准不确定度 类标准不确定度 A u 凡是可以通过统计方法来计算不确定度的称为A类不确定度 用标准差表示的A类 不确定度称为A类标准不确定度 用 表示 A u P 68 3 1 16 1 2 1 n xx Su n i i xA 二 二 B B类标准不确定度类标准不确定度 B u 凡是不能用统计方法计算 而只能用其他方法估算的不确定度称为 B 类不确定度 用标准差表示的B类不确定度称为B类标准不确定度 用表示 B u B类不确定度一般有多个分量 它们一般均与一定的系统误差相连 B1 u B2 u 系 这些分量不能用统计方法得出 因此只能根据具体情况进行估算 对 B 类不确定度 的评定 有的依据仪器说明书或鉴定书 有的依据仪器的准确度等级 有的则粗略的依 据仪器的分度值或经验 从这些信息可以获得该项系统误差的极限值 对此误差一般 按误差理论的均匀分布处理 其标准差为 则 B 类标准不确定度取为 3 B u P 68 3 1 17 B u 3 15 但实际上该项误差的分布可能不是严格的均匀分布 那时上式中的换算系数将和 不同 在此是近似的处理 3 例如 使用一准确度等级为 0 5 级 量程 0 100mA 的电流计测一电路的电流强度 I 则由电流计的基本误差引入的 I 的标准不确定度就是 B 类不确定度 0 5 100mA 则 0 5 100 mA 0 29mA B Iu 3 三 合成不确定度 三 合成不确定度 C C 类不确定度 类不确定度 C u 若测量结果所含A类标准不确定度和B类标准不确定度分量之间是相互独立的 则 合成标准不确定度为 1 18 2 2 2 1 2 BBAc uuuu 1 51 5 测量结果不确定度估算及表示测量结果不确定度估算及表示 一 用不确定度表示测量结果的准确程度一 用不确定度表示测量结果的准确程度 在得到了测量值和计算出合成不确定度后 通常要写成下列形式 单位 P 0 683 C uNN 1 19 ar 1 20 100 N u E c 上式称为测量结果表达式 其中 N 为真值 为测得值 P 是置信概率 其物理意 N 义是 真值在 范围内的置信概率是 68 3 还可以取 2 3 N C u N C u C u 等 就是取不同概率大小的总不确定度 这时结果表达式可以写成 C u C 2 uNN 等 它们的物理意义就成为 真值在 2 2 或 C 3 uNN N C u N C u N 3 3 范围内的置信概率为 95 4 或 99 7 实际测量中 要准确得到概 C u N C u 率是比较困难的 实际概率是以上理论概率的近似 在实验结果表示中 一般采用上式 二 直接测量结果的不确定度估算二 直接测量结果的不确定度估算 1 单次测量 实际测量中 遇到不能进行 或不需要 多次测量的量 把测量值 x1作为该物理量 的值 取仪器误差限 仪作为测量的不确定度 即 16 x x1 仪 单位 P 100 1 21 或 x x1 uc x1 仪 单位 P 68 3 3 相对不确定度 1 22 100 1 x u E c 仪器误差一般根据生产厂家仪器说明书规定的示值误差或准确等级来确定 例如 50 分度的游标卡尺 测量范围在 0 300mm 内 示值误差为 0 02mm 量程 150mA 0 5 级的电流表的允许误差限为 0 75mA 磁电式电表误差 量程 级别 在物理实验中还可以简化约定一些仪器的误差限 即取其最小刻度的 1 2 或 1 3 如米尺 仪 0 5mm 千分尺 仪 0 005mm 等 2 多次等精度直接测量的处理 用算术平均值作为真值的最佳估算值 见式 1 1 不确定度为 22 BA uuu 结果表示为 uxx 1 23 100 x u E c 例例 用螺旋测微计测一铁球的直径 d 测量记录 螺旋测微计 No 5310 零点读数为 0 004mm 13 217 13 208 13 218 13 209 d mm13 215 13 207 13 213 13 215 mm 0 0015 ds mm 0 0042s mm 2127 13d mm 13 2167mm 0 004 2127 13 d 不确定度的来源 1 多次测量 mm 0015 0 duA 2 螺旋测微计误差 mm 0023 03mm 004 0 3 duB 合成标准不确定度 0027mm 0 mm0023 0 0015 0 d u 22 c 测量结果 d 13 2167 0 0027 mm E 0 02 三 间接测量的不确定度的计算及结果表示三 间接测量的不确定度的计算及结果表示 17 1 间接测量量的最佳值 设 N 为某一间接测量量 x y z 为 k 个直接测量量 其函数形式可表示为 1 24 f x y z N 2 间接测量量的不确定度 假定直接测量量之间彼此独立 对式 1 24 全微分后有 1 25 dz z f dy y f dx x f dN 如果先对式 1 24 取对数后再进行全微分 则有 1 26 dz z f dy y f dx x f N dNlnlnln 上面微分式中 可视为自变量的微小变化量 增量 dN是由于自变量微 dx dy dz 小的变化引起函数的微小变化量 函数增量 不确定度都是微小的量 与测量值相比 与微分式中的增量相当 只要把微分式中 的增量符号dN dx dy dz 换成不确定度的符号再采用 方和根 合 u uu u zyx 成方式后就可以得到不确定的传播公式了 如果各直接测量量的不确定度相互独立 则 用方和根合成后得到的不确定度的传播公式如下 1 27 2 2 2 2 2 2 zyxN u z f u y f u x f u 1 28 2 2 2 2 2 2 lnlnln zyx N u z f u y f u x f N u 式 1 27 用于和差形式的函数比较方便 式 1 28 用于积商形式的函数比较方 便 常用函数采用方和根合成的传播公式如下表 函 数 表达式 传播公式函数表达式传播公式 yxN 22 yxN uuu nmk zyxN 2 2 2 2 2 2 zyxN u z n u y m u x k u 18 yxN 22 yxN uuu k xN x u kN xN 1 kxN xu Nukuu xNxN xNsin xN x u ucos xyN 22 y u x u Nu yxN xNln xuu xN x yN 22 y u x u Nu yxN 例例 用单摆测量重力加速度的实验公式为 2 2 4 T l g 并测得 100 00cm 2 007s 求测lcm010 1 uu l Ts0020 2 uu T 量结果 解解 2 2 2 2 2 s cm 1 980 0072 00100142344 T l g 22 lnln4lnlnTl g 2 2 2 2 lnln BTAl u T g u l g g u E 002 0 0072 00202 00100 0102 2222 T u l u Tl 2 s 2cm gEu 22 s m 02 0 80 9 s cm 2980 ugg 置信概率 P 68 3 19 1 61 6 有效数字有效数字 一 有效数字基本概念一 有效数字基本概念 1 定义 测量结果中的可靠 准确 数字和一位可疑 欠准 数字统称为有效数字 一般来讲 从仪器上准确读出的数字是可靠数字 误差所在位的估读数字是可疑数 字 例如用一最小分度为毫米的尺 测量一物体的长度为 25 46cm 其中 2 5 和 4 是准 确读出的 而末位 6 是估读得来的 也可能是 5 7 误差也在这一位 因此是不可靠 的 叫做可疑数字 在测量的值中 还是保留它 因它还是近似地反映了这一位大小的 信息 2 注意要点 1 有效数字的位数与小数点的位置无关 决定于仪器的测量准确度 例如 25 46cm 0 254 6m 0 000 254 6km 尽管小数点的位置不同 但它们都是 4 位有效数字 但用不同精度的仪器去测量会有不同的有效数字 上述物体如果用 50 分度游标卡尺 测量为 25 464cm 用螺旋测微计测量则为 25 4640cm 有效数字位数越多 测量准确度 就越高 有效位数不能随意增减 2 0 在数字中间或后面为有效数字 在数字前面不算 如 0 204 为 3 位有效数字 0 204 0 为 4 位有效数字 3 书写有效数字要用科学记数法 对较大或较小的数值 常用 10的形式书写 如物体宽度为 0 000 150m 可表示 为 1 50 10m 二 不确定度的有效数字位数的取法二 不确定度的有效数字位数的取法 1 一般情况下 测量结果不确定度的有效数字只取一位 在一些精确测量和重要测 量结果中 不确定的有效数字可取 1 2 位 这应视具体情况而定 2 测量结果表达式中 测量结果的有效数字的末位数与不确定度的尾数对齐 例例 1 1 g 981 2 1 8 cm s L 24 5 0 3 cm 3 相对不确定度的有效数字 一般只取 1 2 位 如 E 100 1 2 E 100 0 2 0 3 24 5 1 8 981 2 三 有效数字的运算三 有效数字的运算 20 根据不确定度确定测量及运算结果的有效数字是处理有效数字问题的基本原则 但 是在不计算不确定度的情况下 通常可按以下规则粗略得到运算结果的有效数字 1 有效数字取舍 修约 原则 小于 5 则舍 大于 5 则入 等于 5 把前位凑偶数 例例 2 2 将下面的数据修约成 4 位有效数字 3 141 59 3 1425 623 5 5 624 2 717 29 2 7173 612 50 3 612 4 510 50 4 5106 282 501 6 283 因 0 000 501 0 000 5 2 加减运算 加减运算后的有效数字 取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位 例例 3 3 3 24872 24817 4 1 20 3 8 1323 8 13884 5 8 6 19 也可以对上面的数据进行修正 在进行运算 3 242 41 20 3 8 1358 58 6 19 3 乘除运算 进行乘除运算时 其运算后结果的有效数字一般以参与运算各数中的有效数字位数 最少的为准 例例 4 4 4 22 4 178 10 1 10 00 4 乘方与开方 乘方与开方 特别是平方与开平方 相似于有效数字位数相同的数相乘除 故结果的 有效数字与其底或被开方数的有效数字位数相同 如 100 100 10 10 0 100 等 5 函数运算 在计算器 计算机普及应用的情况下按以下规则很容易决定各种函数运算结果的有效 数字 根据有效数字的定义 不确定度出现在有效数字的末位 因此可将计算的函数值与 自变量的末位增加一个单位后的函数值相比较去确定 例如 x 求 sinx 33 33 由计算器可以求出 sin 0 55266447771 33 33 再计算 sin 0 5529068816834 33 由此可知应取 sin 0 552733 33 21 这种方法也可应用于其它比较复杂的运算式 6 自然数与常量 由于自然数不是由测量得到的 不存在误差 故有效数字是无穷多位 如圆的直径 是半径的 2 倍 D 2R 中的 2 有效数字就是无穷多位而不是一位 在运算过程中的一些常量 如 e 等 它们取的位数可与参加运算的量中有效数 字最少的位数相同或多一位 可见 测量值的有效数字及其运算是每一个实验都要遇到的问题 因此实验者就必 须养成按有效数字及其有效数字规则进行读数 记录 处理和结果表示的习惯 四 测量仪器读数的有效数字四 测量仪器读数的有效数字 读数的一般规则是 读至产生误差的那一位 未给出误差或不明确的就读至仪器最 小分度的下一位 指有估读的仪器 1 分度式仪器 读数要读到最小分度的 1 10 有些指针式仪表 分度较窄 指针较 宽 大于分度的 1 5 可读到最小分度的 1 2 1 3 例如用毫米分度的米尺测量长度 由于该仪器的误差不明确 读数时应读至米尺的 最小分度 mm 的下一位 即 1 10mm 位 比如在 24mm 与 25mm 之间就应当读为 24 点几毫 米 如果正好在 24mm 刻度上 就应当读为 24 Omm 2 数字仪器的有效位数为仪表显示值 均为有效数字 总之 读数前应先搞清该仪器的误差所在位 然后按规则读数就能正确确定测量仪 器上的有效数字了 1 71 7 列表和作图列表和作图 一 列表法一 列表法 把实验中测量的数据按一定的形式和顺序一一对应地列出来 这是在每个实验中都 要用到的基本方法 它便于在实验操作中进行检查 减小和避免错误 及时发现和分析 解决问题 提高处理数据的效率 为使实验数据表格设计合理 对列表提出如下要求 1 表格的上方写明表的名称和序号 标明物理量的单位和量值的数量级 在表头栏中 2 列入表中的测量数据 称原始数据 要按有效数字规则记录 3 表格外要标上测量日期 实验条件 必要的说明 有关参数 如表 1 所示 表表 1 1 用螺旋测微计测量圆柱体体积的数据用螺旋测微计测量圆柱体体积的数据 22 项项目目 直直径径 d mm 高高度度 h mm 测测量量次次数数 123456平平均均标标准准偏偏差差 等等级级量量程程分分度度值值年年月月日日零零值值 mm 二 作图法二 作图法 把实验数据间的关系用几何图形表示出来 形象 直观地反映数据之间的变化规律 和函数关系 作图法是实验技能训练中的一项基本功 1 作图的程序 规则 1 选择坐标纸 a 根据函数性质选取是直角坐标纸 还是对数坐标纸 b 选择大小 依据测量数据 有效位数的多少及测量结果的需要而定 2 选取坐标轴 一般横轴代表自变量 纵轴代表因变量 标明各轴的物理量符号与单位 3 根据实验数据的分布范围确定坐标轴的起始点 原点 与终值 起始点不一定从零 开始 4 进行坐标的标度 标出整数和所用的单位 选值使坐标轴的最小格与实验数据有效数字中最末位可靠 数字 测量仪器的最小分度值 相对应 保证在作图过程中不能降低实验的准确度 标度 时还要注意比例是否恰当 使实验曲线充满整个图纸 不要偏向 边或一角 比例一般 为 1 1 1 2 5 标点 把实验数据点用 等符号准确地标明在坐标纸上 同一坐标纸不同图线的数据点用不同符号以示区别 注意描点时符号的交叉点 点为 数据点 23 图图 1 71 7 按直线规律变化的作图法按直线规律变化的作图法 6 连线 指直线和曲线 根据数据点的分布 用直尺 曲线尺等工具连成直线或光滑的曲线 连线时使数据 点均匀分布在图纸两侧 具有取 平均值 的含义 个别离曲线很远的点 进行分析后 进行取舍或重新测量 7 图标 注明 在图纸的下边写出图名 在明显处标出实验班级 姓名 日期等 2 种类 1 直线 测量数据如表 2 所示 表表 2 2 测量电阻温度关系表测量电阻温度关系表 24 t R 123456 9 720 030 040 050 060 0 10 5110 7811 611 3511 6511 88 次次 量量 根据上述数据表作 R t 直线图 如图 1 7 所示 2 曲线改直 物理实验中有抛物线 单摆 T2 双曲线 指数曲线 但由于直线能够精确绘制 g 4 2 便于求解物理量 故经常将非直线改成直线图 例 y ax a b 为常数 两边取对 数得直线方程 y b x a 作 y x 直线图可方便求得 a b 值 3 作图法作用 1 能够直观反映各量的相互关系 在曲线上可以省去繁杂的计算求得相应的 x y 值 如极大 极小 转折点 用外延法 内插法直接读出没有测量的数据 实验点之间求值为 内插 在曲线延长线上求值为外推 有些特殊点难以测量 比如 x 0 或 y 0 等 用外推 法求值却很方便 2 通过图示的实验曲线关系 定量求出未知量及实验参数 常称为图解法 如伏安 法测电阻 根据测量数据绘 U I 图线是直线 线性关系 则可在曲线上求斜率为被测电 阻 R U2 U1 I2 I1 如果是非线性关系 也可由曲线的改直法作出直线进行计算 3 在不知函数关系时 根据测量数据作出图线 找出经验公式 如二极管的伏安特 性曲线 电阻的温度变化曲线 4 研究测量值的系统误差 剔除坏值 虽然作图法直观 反映测量量之间关系 求解一些参数简捷 但是精密度高的数据 不便于使用 受到坐标纸的限制 作图法因连线等问题 影响实验结果 结果较为粗略 难以恰当地估算 直线 a b 值的误差 因此 作图法处理数据一般不计算误差 1 81 8 逐差法逐差法 25 在实验中 常会遇到等间隔地测量线性连续变化的物理量 求其间隔平均值的问题 如研究金属金属材料实验中 金属丝因受到 F 的作用力而伸长 L 在金属丝下端加 1kg 2kg 7kg 的砝码 金属丝端点垂在标尺上的读数分别为设金属丝原长 721 l ll 为 金属丝在 1kg 砝码作用下平均伸长为 0 l 77 07671201 1 llllllll l 由上式可知 等中间值全部被抵消了 只有始末两次测量值起作用 与一 621 lll 次增加 7kg 砝码的单次测量完全相同 如果这始 末两值测不准 就会给结果造成很大 的误差 为了保持多次测量的优点 需要在数据处理方法上做一些变化 将间隔连续测量值 分成两组 一组为前半数据 另一组为后一半数据 取对应项的 3210 llll 7654 llll 差值为 再取平均值 即 04 ll 15 ll 26 ll 37 ll 1 29 7 37261504 4 llllllll l 这样 充分利用了测量数据 上式计算的是增加 4kg 砝码时 金属丝的平均伸长l 4 量 常称这种处理数据的方法为逐差法 实际上 求形式的逐项逐差 在砝码重量作l 1 为自变量等间隔变化时 失去作用 而求形式的逐项逐差才使数据充分发挥作用 l 4 一般情况下隔项逐差称为分组逐差法 广义上说 对于线性关系式 自变量为等间隔变化 求其baxy cxx ii 1 斜率和截距时 可以采用分组逐差法 ab 具体如下 测量得到多组对应数据和有 n xxx 21 n yyy 21 1 30 1 1 1222 11 cnxxbaxy cxxbaxy baxy nnn 设测量次数 n 为偶数 令 k n 2 把上式分成两组 且各组数目相同 1 组 26 1 1 1222 11 ckxxbaxy cxxbaxy baxy kkk 2 组为 12 1 1222 1222 1111 ckxxbaxy ckxxbaxy kcxxbaxy kkk kkk kkk 对应方程相减 cka xxayyy kk 22222 cka xxayyy kkkkk 22 1 31 KC yy xx yy x y a k i iik k i iik k i iik 1 1 1 除上述条件外 符合下列条件也可用逐差法 函数可以写成 x 的多项式形式 如 2 210 xaxaay 3 3 2 210 xaxaxaay 等 有些函数也可写成上述形式 如弹簧振子的周期公式 T 2 可写成 T2 m 测量 T2是 m 线性函数 m k k 2 4 逐差法特点 1 逐差法比作图法精确 且简单易懂 运算方便 是物理实验中常用的数据处理方 法 2 能充分利用测量数据 绕过一些未知求出所需的物理量 如上例杨氏模量实验 cka xxayyy kk 11111 27 由于钢丝不直 外加力 F 后 除了钢丝的伸长量 还有钢丝展直的伸展量 F a l l 而F a 使误差消除 测量值不受其影响 l l l 3