四川理工学院高等数学教学大纲DOC.doc

高等数学课程教学大纲 本科：176学时(含数学实验18时)(教分11分) 第一部分 教学基本要求 高等数学课程是高等工业学校各专业学生一门必修的重要基本理论课。它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1函数、极限、连续；2一元函数微积分学；3空间解析几何部分知识；4多元函数微积分学；5无穷级数；6常微分方程 等方面的基本概念，基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象概括问题的能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能力和综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。 一、函数、极限、连续（14学时） 1理解函数的概念；2熟悉函数的单调性、周期性和奇偶性；3熟悉反函数和复合函数的概念；4熟悉基本初等函数的性质及其图形；5建立简单实际问题的函数关系式；6理解极限的概念；7掌握极限四则运算法则；8了解两个极限存在准则，会用两个重要极限求极限。9了解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较；10掌握函数连续的概念，会判断间断点的类型；11熟悉初等函数的连续性及闭区间上连续函数的性质（介值定理和最大值最小值定理）。 二、一元函数微分学（36学时） 1理解函数和微分的概念。理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系，能用导数描述一些物理量。2熟悉导数和微分的运算法则和导数的基本公式。了解高阶导数的概念。能熟练地求初等函数的一、二阶导数。3掌握隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数的求法。4理解罗尔定理和拉格朗日定理，了解柯西定理和泰勒定理。5理解函数的极值概念。掌握求函数的极值、判断函数的增减性与函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点，能描绘函数的图形。会解较简单的最大值和最小值的应用问题。6掌握罗必塔法则。 三、一元函数积分学（30学时） 1 理解不定积分和定积分的概念及性质。2 熟悉不定积分的基本公式。熟练掌握不定积分、定积分的换元法和分部积分法。3会求几种特殊函数的积分。4理解变上限的定积分作为其上限的函数及其求导定理。熟悉牛顿莱布尼兹公式。5了解广义积分的概念。6掌握用定积分来表达一些几何量与物理量的方法。 四、空间解析几何（8学时） 1了解空间直角坐标系，熟悉向量的坐标表示及运算。2掌握平面方程和直线方程及其求法，会用平面直线的相互关系解决有关问题。3理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形。4了解空间曲线的参数方程和一般方程。5了解两曲面的交线在坐标面上的投影。 五、多元函数微分学（16学时） 1理解多元函数的概念。2知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。3理解偏导数、全微分等概念。4掌握复合函数的求导法。会求二阶偏导数。5会求隐函数的偏导数及参数方程确定的函数的求导方法。6了解方向导数与梯度的概念和计算方法。7理解多元函数极值的概念，会求函数的极值。会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。了解条件极值的概念，会用拉格朗日乘数法求条件极值。8了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线，并会求它们的方程。 六、多元函数积分学（26学时） 1理解二重积分、三重积分的概念，知道重积分的性质。2掌握二重积分的计算方法（直角坐标、极坐标），了解三重积分的计算方法（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）。3理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及其关系。4会计算两类曲线积分，掌握格林公式，会使用平面曲线积分与路径无关的条件。5了解两类曲面积分的概念及高斯公式，会计算两类曲面积分。6会用各种积分求一些几何量和物理量。 七、无穷级数（14学时） 1理解无穷级数的概念和性质。2掌握级数的审敛法。3了解级数的绝对收敛与条件收敛的概念和关系。4了解函数项级数的收敛域及和函数的概念，。5掌握较简单幂级数的收敛域的求法。6了解幂级数在其收敛区间里的一些基本性质。7掌握泰勒级数的概念，会将一些简单函数直接或间接展开成幂级数。 八、常微分方程（14学时） 1熟悉微分方程的概念。2掌握一阶微分方程的解法。3会用降阶法求三类高阶方程的解。4理解高阶线性微分方程解的结构。5熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。6掌握二阶常系数非齐次线性微分方程的解法。7会用微分方程解一些简单的几何和物理问题。 九、数学实验（18学时） 1掌握三种软件的基本知识。2学会使用三种软件解决一些实际问题。 第二部分 高等数学教学大纲 函数、极限、连续(14学时) 函数：函数的定义，隐函数与参数方程确定的函数，函数的有界性、单调性、奇偶性与周期性，反函数，基本初等函数、复合函数、初等函数。极限：数列极限的定义，函数极限的定义，函数的左右极限，无穷小与无穷大的定义。极限的四则运算，两个重要极限，无穷小的比较，等价无穷小。函数的连续性：函数连续的定义，间断点，连续函数的和、差、积、商，反函数和复合函数的连续性，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。 一元函数的微分学（36学时） 导数与微分：导数的定义，导数的几何意义，平面曲线的切线与法线，函数的可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的导数，复合函数的导数，反函数的导数，初等函数的求导问题，高阶导数，隐含数的导数，由参数方程所给定的函数的导数，微分的定义，微分的几何意义，微分的运算法则，微分形式的不变性。中值定理与导数的应用：罗尔定理，拉格朗日定理，柯西定理，泰勒定理，罗必塔法则，函数增减性的判定法，函数的极值及其求法，最大值、最小值问题，函数图形的凹凸性和拐点，水平与垂直渐近线，微分作图 一元函数积分学（30学时） 不定积分：原函数与不定积分的定义，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法，几种特殊函数的积分，积分表的使用。定积分及其应用：定积分的定义，定积分存在定理的叙述，定积分的性质，微积分基本定理，定积分的换元法与分部积分法，两种广义积分，微元法，定积分的几何应用，定积分在物理学中的应用举例。 向量代数与空间解析几何（8学时） 空间直角坐标系，向量的坐标表示及运算，平面及直线方程及其求法。曲面与空间曲线：二次曲面及其方程，空间曲线参数方程及其一般方程，两曲面交线在坐标平面上的投影。 多元函数微分学（16学时） 多元函数：多元函数的概念及其性质，二元函数的极限与连续性，有界闭域上连续函数性质。 偏导数与全微分：偏导数的概念，高阶偏导数，全微分的概念，多元复合函数的求导法则，全导数、隐含数及参数方程确定函数的求导方法，方向导数与梯度。 偏导数的应用：曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线的方程的求法，多元函数的极值及其应用。 多元函数积分学（26学时） 二重积分：二重积分的概念与性质，二重积分的计算法，二重积分的应用。三重积分：三重积分的概念与计算，三重积分的应用。曲线积分与曲面积分：两种类型的曲线积分的概念及其性质，计算方法，格林公式，曲线积分与路径无关的条件，两类曲面积分的概念及其性质，计算方法，高斯公式。 无穷级数（14学时） 常数项级数：级数的概念与性质，级数敛散性的判别法。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔定理，幂级数的收敛半径与收敛域，幂级数的性质，泰勒级数，函数展开成幂级数，幂级数的应用。 常微分方程（14学时） 微分方程的一般概念：微分方程的概念。一阶微分方程：变量可分离的方程，线性方程，齐次方程，全微分方程。可降阶的高阶微分方程。高阶线性微分方程：高阶线性微分方程的解的结构，二阶常系数齐次线性微分方程，二阶常系数非齐次线性方程。 数学实验（20学时） 数学软件：三种软件的学习和操作使用。 第三部分 教学实施细则 一、 对前续课程的要求具备中学数学与物理的基础，特别是初等代数、几何的基本概念和基本性质。二、课程作业、考核与记分 本课程作业量较大且占据课堂教学的全过程，教师应根据当堂教学的内容和要求学生掌握的深广度布置一定类型和一定数量的作业，平均每次课作业量为3-6题。1、学生的要求是：按时独立完成作业，不抄袭，书写要求规范、整齐、清晰，按时上交作业。2、对教师的要求是：认真备课、讲课、按规定时间答疑、批改作业。每次批改不得少于1/3，并及时发还给学生。批改时要指出错误之处，并要求学生改正。每次批改后，可结合教学讲解作业中的典型错误。作业应记成绩，期末按30%的比例记入总成绩。3、束后按教考分离的原则进行统考，试卷成绩按70%的比例记入总成绩。 三、课程内容的重点、深度和广度 函数、极限、连续 重点：函数的概念，极限的概念，无穷小，极限的四则运算，函数的连续性。对于中学学过的有关函数内容，只须加以复习提高，不必再作详细讲解，但对函数符号f(x)的意义和用法,应有足够的说明和训练，还应适当介绍分段函数，举例说明建立函数式的方法。关于极限的定义按教材上的定义讲授，对用“N”，“”语言证明题不作要求，极限性质不全证明，未定式求极限的训练主要放在罗必塔法则中进行。基本初等函数的连续性可以不全证，振荡间断点可以不讲，对于连续函数在闭区间上的性质，只要求几何说明。 导数与微分 重点：导数的概念，导数的几何意义，初等函数导数的求法，微分的概念。 正确理解导数作为变化率的概念，微分是函数增量的线性主部的概念，以及函数局部线性化的思想。熟练掌握初等函数的求导法，明确初等函数的导数仍是初等函数这一事实。理解方向导数及梯度的意义及其求法。 中值定理和导数的应用 重点：拉格朗日定理，罗必塔法则，函数增减性的判定法，函数的极限及其求法，最大值、最小值问题。拉格朗日定理采用分析证明或几何说明可以灵活掌握，极值点的判定除用一阶导数与二阶导数外。对于罗必塔法则可以不证，重在应用。 不定积分 重点：原函数与不定积分的概念，不定积分的性质，基本积分公式，换元积分法，分部积分法。有理函数的积分可以略讲，教会学生使用积分表。定积分及其应用 重点：定积分的概念，定积分的中值定理，定积分作为变上限的函数及其求导定理，牛顿莱布尼兹公式。要求学生学会正确使用定积分的换元积分法。在定积分的应用中，应把重点放在培养学生运用微元分析法建立积分表达式的能力上，定积分的应用重点放在几何上的应用，适当举一些在物理学上应用的例子。 空间解析几何 要求学生了解一般标准方程对应的图形，及一些特殊的图形对应的方程。 多元函数微分学 重点：多元函数的概念，偏导数与全微分的概念，多元复合函数的求导法则。 重积分 重点：二重积分的概念，二重积分计算法，对坐标的曲线积分的概念及其计算法。重积分化为累次积分的方法，以及二重积分的变量从直角坐标变换为极坐标的变换公式，都只作几何说明，不作分析证明，重积分的应用着重于运用微元分析法，具体例子可以根据需要选择。格林公式、曲线积分与路径无关的条件（叙述不证），重在应用。 常微分方程 重点：微分方程的概念、解、通解、特解、变量可分离的微分方程、一阶线形微分方程、二阶线形常系数齐次微分方程。变量置换法解一阶方程，可用齐次方程为例，着重说明通过变量置换求解方程的思想。 线性微分方程的解的结构包括齐次与非齐次两种情况，对于非齐次方程要讲明自由项为两项之和时，