高考数学一轮复习 第十五章 平面解析几何初步 15.2 圆的标准方程和一般方程课件.ppt

高考数学 江苏省专用 15 2圆的标准方程和一般方程 1 2015江苏 10 5分 0 534 在平面直角坐标系xoy中 以点 1 0 为圆心且与直线mx y 2m 1 0 m r 相切的所有圆中 半径最大的圆的标准方程为 a组自主命题 江苏卷题组 五年高考 答案 x 1 2 y2 2 解析由mx y 2m 1 0可得m x 2 y 1 由m r知该直线过定点 2 1 从而点 1 0 与直线mx y 2m 1 0的距离的最大值为 故所求圆的标准方程为 x 1 2 y2 2 2 2016江苏 18 16分 如图 在平面直角坐标系xoy中 已知以m为圆心的圆m x2 y2 12x 14y 60 0及其上一点a 2 4 1 设圆n与x轴相切 与圆m外切 且圆心n在直线x 6上 求圆n的标准方程 2 设平行于oa的直线l与圆m相交于b c两点 且bc oa 求直线l的方程 3 设点t t 0 满足 存在圆m上的两点p和q 使得 求实数t的取值范围 解析圆m的标准方程为 x 6 2 y 7 2 25 所以圆心m 6 7 半径为5 1 由圆心n在直线x 6上 可设n 6 y0 因为圆n与x轴相切 与圆m外切 所以0 y0 7 于是圆n的半径为y0 从而7 y0 5 y0 解得y0 1 因此 圆n的标准方程为 x 6 2 y 1 2 1 2 因为直线l oa 所以直线l的斜率为 2 设直线l的方程为y 2x m 即2x y m 0 则圆心m到直线l的距离d 因为bc oa 2 而mc2 d2 所以25 5 解得m 5或m 15 故直线l的方程为2x y 5 0或2x y 15 0 3 设p x1 y1 q x2 y2 因为a 2 4 t t 0 所以 因为点q在圆m上 所以 x2 6 2 y2 7 2 25 将 代入 得 x1 t 4 2 y1 3 2 25 于是点p x1 y1 既在圆m上 又在圆 x t 4 2 y 3 2 25上 从而圆 x 6 2 y 7 2 25与圆 x t 4 2 y 3 2 25有公共点 所以5 5 5 5 解得2 2 t 2 2 因此 实数t的取值范围是 2 2 2 2 思路分析 1 先根据直线与x轴相切确定圆心位置 再根据两圆外切建立等量关系求半径 2 根据垂径定理确定等量关系 求直线方程 3 利用向量加法几何意义建立等量关系 根据圆中弦长范围建立不等式 求解即得参数取值范围 考点一圆的标准方程1 2015课标 14 5分 0 534 一个圆经过椭圆 1的三个顶点 且圆心在x轴的正半轴上 则该圆的标准方程为 b组统一命题 省 区 市 卷题组 答案 y2 解析由已知得该圆经过椭圆的三个顶点a 4 0 b 0 2 c 0 2 易知线段ab的垂直平分线的方程为2x y 3 0 令y 0 得x 所以圆心坐标为 则半径r 4 故该圆的标准方程为 y2 评析本题考查圆和椭圆的方程 求出圆心坐标是解题关键 2 2016北京 5 5分 圆 x 1 2 y2 2的圆心到直线y x 3的距离为 答案 解析由题知圆心坐标为 1 0 将直线y x 3化成一般形式为x y 3 0 故圆心到直线的距离d 3 2016天津 12 5分 已知圆c的圆心在x轴的正半轴上 点m 0 在圆c上 且圆心到直线2x y 0的距离为 则圆c的方程为 答案 x 2 2 y2 9 解析设圆c的方程为 x a 2 y2 r2 a 0 由题意可得解得所以圆c的方程为 x 2 2 y2 9 考点二圆的一般方程1 2016浙江 10 6分 已知a r 方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则圆心坐标是 半径是 答案 2 4 5 解析方程a2x2 a 2 y2 4x 8y 5a 0表示圆 则a2 a 2 故a 1或2 当a 2时 方程为4x2 4y2 4x 8y 10 0 即x2 y2 x 2y 0 亦即 y 1 2 不成立 故舍去 当a 1时 方程为x2 y2 4x 8y 5 0 即 x 2 2 y 4 2 25 故圆心为 2 4 半径为5 评析本题重点考查圆的一般方程 圆的一般方程除了要求x2 y2的系数相等以外 还要注意求出的圆的半径的平方必须为正 对于x2 y2 dx ey f 0 要求d2 e2 4f 0 2 2015重庆改编 8 5分 已知直线l x ay 1 0 a r 是圆c x2 y2 4x 2y 1 0的对称轴 过点a 4 a 作圆c的一条切线 切点为b 则 ab 答案6 解析圆c的标准方程为 x 2 2 y 1 2 22 圆心为c 2 1 半径r 2 由直线l是圆c的对称轴 知直线l过点c 所以2 a 1 1 0 a 1 所以a 4 1 于是 ac 2 40 所以 ab 6 一 填空题 每题5分 共25分 1 2017江苏淮阴中学第一学期期中 12 已知函数y sin的部分图象如图所示 则过a b c三点的圆的方程为 三年模拟 a组2015 2017年高考模拟 基础题组 时间 35分钟分值 55分 答案 x 5 2 y 1 2 5 解析易得a 3 0 b 7 0 c 6 1 则ab垂直平分线的方程为x 5 可得直线ac的方程为y x 3 所以ac的垂直平分线方程为3x y 14 0 所以圆心为 5 1 半径为 所以所求圆的方程为 x 5 2 y 1 2 5 2 2017江苏苏州自主学习测试 圆心在抛物线y x2上 并且和该抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为 答案 x 1 2 1 解析由题意得圆心到抛物线的准线及y轴的距离相等 都等于圆的半径 设圆心坐标为 a b 则b a2 2b 1 所以a 1 则圆的半径r a 1 因此所求圆的标准方程为 x 1 2 1 3 2016江苏苏锡常镇四市二模 11 在平面直角坐标系xoy中 已知过原点o的动直线l与圆c x2 y2 6x 5 0相交于不同的两点a b 若点a恰为线段ob的中点 则圆心c到直线l的距离为 答案 解析解法一 可设a x1 y1 b 2x1 2y1 代入圆的方程解得从而直线l的方程为y x 又由已知得圆心坐标为 3 0 利用点到直线的距离公式可得圆心c到直线l的距离d 解法二 可设2 ao ob 2m 连接oa ob 在 ocb oca中 利用余弦定理可得解得m 再由弦长与弦心距关系可得圆心c到直线l的距离d 4 2016江苏南通调研 12 在平面直角坐标系xoy中 过点p 2 0 的直线与圆x2 y2 1相切于点t 与圆 x a 2 3相交于点r s 且 pt rs 则正数a的值为 答案4 解析设过点p 2 0 且与圆x2 y2 1相切的直线方程为y k x 2 利用切线性质可得切线方程为y x 2 画图可得满足题设的切线斜率为正 即满足题设的切线方程为y x 2 即x y 2 0 易求得 pt 则 rs 从而圆心 a 到直线x y 2 0的距离为 所以 故 a 1 3 解得a 4或a 2 又a 0 所以a 4 5 2016江苏南京 盐城一模 12 过点p 4 0 的直线l与圆c x 1 2 y2 5相交于a b两点 若点a恰好是线段pb的中点 则直线l的方程为 答案x 3y 4 0 解析若直线l与x轴重合 则a 1 0 b 1 0 但a不是线段pb的中点 故直线l与x轴不重合 故设l x my 4 由已知得圆心c到直线l的距离d 取线段ab的中点q 则 aq pq 3 aq 3 在rt cpq中 由 pq 2 cq 2 pc 2得 d2 由 解得m 3 则直线l的方程为x 3y 4 0 二 解答题 共30分 6 2017江苏海安高级中学阶段检测 17 已知圆o x2 y2 4与x轴负半轴的交点为a 点p在直线l x y a 0上 过点p作圆o的切线 切点为t 1 若a 8 切点t 1 求直线ap的方程 2 若pa 2pt 求实数a的取值范围 解析 1 由题意 直线pt切圆o于点t 则ot pt 因为切点t的坐标为 1 所以kot kpt 故直线pt的方程为y 1 x 即x y 4 0 由解得即p 2 2 所以直线ap的斜率k 故直线ap的方程为y x 2 即直线ap的方程为x 1 y 2 0 2 设p x y 由pa 2pt 可得 x 2 2 y2 4 x2 y2 4 即3x2 3y2 4x 20 0 满足pa 2pt的点p的轨迹是一个圆 y2 该圆的圆心到直线l的距离d 即 解得 a 7 2016江苏姜堰期中 17 已知 abc的顶点坐标分别是a 1 0 b 2 c 1 2 o为坐标原点 1 求 abc外接圆的方程 2 设p为 abc外接圆上任意一点 求 op 的最大值和最小值 解析 1 设 abc外接圆的方程为x2 y2 dx ey f 0 代入a b c的坐标 得解得所以 abc外接圆的方程为x2 y2 2x 3 0 2 设圆上任意一点p x0 y0 则 2x0 3 0 所以 op 2 2x0 3 又 abc外接圆的标准方程为 x 1 2 y2 4 所以x0 1 3 所以 op 2的最小值为1 最大值为9 所以 op 的最小值为1 最大值为3 8 2015江苏淮安调研 17 在平面直角坐标系xoy中 圆c过点 0 1 3 0 3 0 1 求圆c的方程 2 是否存在实数a 使得圆c与直线x y a 0交于a b两点 且oa ob 若存在 求出a的值 若不存在 请说明理由 解析 1 设圆c的方程为x2 y2 dx ey f 0 把 0 1 3 0 3 0 分别代入圆的方程 得解得d 6 e 8 f 7 圆c的方程为x2 y2 6x 8y 7 0 2 由得2x2 2a 14 x a2 8a 7 0 圆c与直线x y a 0交于a b两点 2a 14 2 8 a2 8a 7 0 解得 5 a 7 设a x1 y1 b x2 y2 则x1 x2 7 a x1x2 y1y2 x1 a x2 a x1x2 a x1 x2 a2 oa ob x1x2 y1y2 0 即2x1x2 a x1 x2 a2 0 2 7 a a a2 0 整理 得a2 a 7 0 此方程无解 不存在实数a 使得圆c与直线x y a 0交于a b两点 且oa ob 评析本题第 1 问考查用待定系数法求过不在同一直线上三点的圆的方程 准确 快速地解三元一次方程组是解决问题的关键 第 2 问考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法 是中档题 解题时要注意根与系数关系的应用和方程思想的合理运用 一 填空题 每题5分 共10分 1 2017江苏六市高三3月联考 10 在平面直角坐标系xoy中 已知圆c1 x 4 2 y 8 2 1 圆c2 x 6 2 y 6 2 9 若圆心在x轴上的圆c同时平分圆c1和圆c2的圆周 则圆c的方程是 b组2015 2017年高考模拟 综合题组 时间 35分钟分值 45分 答案 x 4 2 y2 289 解析设c m 0 圆c的半径为r 则圆c的方程为 x m 2 y2 r2 则圆c与圆c1和圆c2的公共弦所在直线的方程分别为 8 2m x 16y m2 r2 81 12 2m x 12y m2 r2 81 圆c同时平分圆c1和圆c2的圆周 故c1 4 8 c2 6 6 分别在上述两条公共弦所在的直线上 所以解得m 4 r 17 从而所求的圆的方程为 x 4 2 y2 289 思路分析由题意得圆c与圆c1和圆c2的公共弦分别为圆c1 圆c2的直径 求出圆心坐标 可得结论 2 2016江苏姜堰中学适应性考试 12 已知圆o x2 y2 4 m 1 0 直线l x y b p在圆o上 q在直线l上 满足 0 则b的最大值为 答案2 2 解析如图 过p作x轴的垂线 垂足为a 过q作x轴的垂线 垂足为b 当点p在第二象限时 b才有可能最大 由题设可得 pam与 mbq全等 此时可设pa 2sin am 1 2cos 从而得q 1 2sin 1 2cos 又q在直线x y b上 故b 2sin 2cos 2 2sin 2 又 从而b 2 2 即b的最大值为2 2 二 解答题 共35分 3 2017江苏泰州中学第二次质量检测 18 已知平面直角坐标系xoy内两个定点a 1 0 b 4 0 满足 pb 2 pa 的点p x y 形成的曲线记为 1 求曲线 的方程 2 过点b的直线l与曲线 相交于c d两点 当 cod的面积最大时 求直线l的方程 3 设曲线 分别交x y轴的正半轴于m n两点 点q是曲线 位于第三象限内的任意一点 连接qn交x轴于点e 连接qm交y轴于点f 连接ef 求证四边形mnef的面积为定值 解析 1 由题设知2 化简得x2 y2 4 曲线 的方程为x2 y2 4 2 由题意知l的斜率一定存在 设l y k x 4 即kx y 4k 0 原点到直线l的距离d cd 2 s cod cd d 2 当且仅当d2 2时 取 d2 2 r2 4 当d2 2时 2 k2 k 直线l的方程为y x 4 3 证明 s四边形mnef s mne s mef me nf 设q x0 y0 e e 0 f 0 f 其中x0 0 y0 0 4 则直线qm y x 2 将点f 0 f 的坐标代入得f nf 2 直线qn y x 2 将点e e 0 的坐标代入得e me 2 s四边形mnef nf me 2 2 4 定值 思路分析 1 利用直接法求出曲线 的方程即可 2 利用几何法表示出 cod的面积 利用不等式知识求其最值 从而写出此时的直线方程 3 分别求出直线qn与qm的方程 进而求得 nf me 利用s四边形mnef me nf 可证得结论 4 2016江苏常州一中 江阴南菁中学联考 19 已知直线x 2y 2 0与圆c x2 y2 4y m 0相交 直线被圆截得的弦长为 1 求圆c的方程 2 过原点o作圆c的两条切线 与抛物线y x2相交于m n两点 异于原点 证明 直线mn与圆c相切 3 若抛物线y x2上三个不同的点p q r满足直线pq和pr都与圆c相切 判断直线qr与圆c的位置关系 并加以证明 解析 1 易知c 0 2 圆心c到直线x 2y 2 0的距离d 设圆c的半径为r 直线被圆截得的弦长为 r2 1 圆c的方程为x2 y 2 2 1 2 证明 设过原点的切线方程为y kx 即kx y 0 由已知得 1 解得k 过原点的切线方程为y x 不妨设直线y x与抛物线的交点为m 由解得m 3 同理可求n 3 直线mn的方程为y 3 圆心c 0 2 到直线mn的距离为1且r 1 直线mn与圆c相切 3 直线qr与圆c相切 证明如下 设p a a2 q b b2 r c c2 则直线pq pr qr的方程分别为pq a b x y ab 0 pr a c x y ac 0 qr b c x y bc 0 pq是圆c的切线 1 化简得