【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）10.3 基本不等式及其应用第2课时 湘教版必修4.doc

第2课时基本不等式的应用学习目标重点难点1能够利用基本不等式求函数的最值和代数式的最值；2能够利用基本不等式解决实际问题中的最值问题；3能够利用基本不等式解决恒成立问题.重点：利用基本不等式求函数或代数式的最值；难点：不等式恒成立问题；疑点：基本不等式成立条件的构建.1利用基本不等式求函数或代数式的最值预习交流1利用基本不等式求最值的关键是什么？2利用基本不等式解决实际应用问题预习交流2应用基本不等式求解实际应用问题的一般步骤是什么？3利用基本不等式解决恒成立问题预习交流3“不等式恒成立求参数取值范围”问题的常见解法是什么？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：基本不等式通常用来求最值问题：一般用ab2(a0，b0)解“定积求和，和最小”问题，用ab2求“定和求积，积最大”问题一定要注意适用的范围和条件：“一正，二定，三相等”特别是利用拆项、添项、配凑、分离变量、减少变元等方法，构造定值条件的方法，和对等号能否成立的验证预习交流2：提示：(1)理解题意，设出变量；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；(3)在定义域内求出函数的最大值或最小值；(4)还原为实际问题，写出正确答案预习交流3：提示：常见解法有以下两种：(1)直接将参数从不等式中分离出来变成kf(x)(或kf(x)，从而转化成f(x)求最值(2)如果参数不能分离，而x可以分离，如g(x)f(k)(或g(x)f(k)，则f(k)恒大于g(x)的最大值或恒小于g(x)的最小值，然后解关于参数k的不等式其中关键是f(x)或g(x)的最值的求解，这时经常采用基本不等式求最值一、利用基本不等式求函数的最值求解下列问题：(1)求f(x)x的最小值；(2)求f(x)x(14x)的最大值思路分析：将x变形为x，然后利用基本不等式ab2变形求解；将x(14x)变形为f(x)4x(14x)，然后根据ab2求得4x(14x)的最大值，从而得到原函数的最大值设x0，则函数yx1的最小值等于_1在利用均值不等式求函数或代数式的最值时，有时不一定恰好能用上均值不等式，因此还必须对所给的函数或代数式进行变形整理，通过凑项的办法(一般是凑和或者积为定值)构造出均值不等式的形式再进行求解2凑项的技巧通常有：添项、拆项、统一变量、“1”的代替、恒等式的巧用等，通过这些凑项方法，获得定值，从而可利用基本不等式求出最值二、利用基本不等式求代数式的最值已知正数a，b满足3.(1)求ab的取值范围；(2)求ab的取值范围思路分析：一种思路是根据3，用a表示b，然后代入要求最值的式子中，消去b，再通过变形，利用基本不等式求得最值；另一种思路是先将3变形为ab3ab，再运用基本不等式，将ab与ab进行转化，根据需要求得ab或ab的取值范围1设x0，y0且x2y1，则的最小值为_2设x，yr且1，则xy的最小值为_1均值不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值2含有多个变量的条件最值问题，一般方法是采取减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；如果条件等式中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用均值不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题三、基本不等式在实际问题中的应用某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x_吨思路分析：总运费与购买的次数有关，每次购买x吨，所以购买次数为，从而可建立总费用与x的函数关系，利用基本不等式求出函数的最小值，同时可求出取得最小值时x的值建造一个容积为18 m3，深为2 m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_元1解实际应用题要注意以下几点：设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数；根据实际问题抽象出函数解析式后，只需再利用基本不等式求得函数的最值；在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量取值范围)内求2有些实际问题中，要求最值的量需要用几个变量表示，同时，这几个变量满足某个关系式，这时，问题变成了一个条件最值，可用前面的求条件最值的方法求最值四、不等式恒成立问题设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于()a0 b4 c4 d2思路分析：将参数k与变量a，b进行分离，即把参数k放到不等式的一边，不等式的另一边是关于变量a，b的代数式，然后只需求出关于变量a，b的代数式的最值，即可得到参数k的取值范围，从而得出k的最小值当x1时不等式xa恒成立，则实数a的取值范围是_1不等式恒成立问题往往与函数或代数式的最值有关，通过函数或代数式的最值，即可得到恒成立时参数的取值范围一般地有以下几种情况：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)max；(3)af(x)恒成立af(x)min；(4)af(x)恒成立af(x)min.2如果欲求范围的参数与其他变量混合在一起，可以首先进行参数分离，即把欲求取值范围的参数分离到不等式的一边，然后只需考察不等式另一边的函数或代数式的最值或取值范围即可1(2012浙江高考，文9)若正数x，y满足x3y5xy，则3x4y的最小值是()a b c5 d62设x，yr，且x4y40，则lg xlg y的最大值是()a40 b10 c4 d23某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_千米处()a3 b8 c5 d64若x0，则y的最大值为_5若x，yr，且满足(x2y22)(x2y21)180，(1)求x2y2的取值范围；(2)求证：xy2.提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(1)由于f(x)xx，又x，所以由基本不等式可得22，当且仅当x，即x时，函数取得最小值2.(2)由于0x，所以f(x)x(14x)4x(14x)2，当且仅当4x14x，即x时函数取得最大值.迁移与应用：解析：yx1x1x2，当且仅当x，即x时等号成立，所以函数的最小值等于.活动与探究2：解：(解法一)由3得ab3ab，所以b，并且由于a0，b0，可得a.(1)abaaa2，当且仅当a，即a时等号成立，所以ab的取值范围是.(2)abaaa2，当且仅当a，即a时取等号，所以ab的取值范围是.(解法二)由3得ab3ab.由于ab2，所以ab32，即4(ab)3(ab)2，所以ab，即ab的取值范围是.由于ab2，所以3ab2，即9(ab)24ab，所以ab，即ab的取值范围是.迁移与应用：132解析：因为x0，y0且x2y1，所以33232，当且仅当，即xy时，取得最小值32.216解析：因为x，yr且1，所以xy(xy)1010216，当且仅当，即y3x时，xy的最小值为16.活动与探究3：20解析：该公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买次，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，故一年的总运费与总存储费用之和为万元而44x2160，当且仅当4x，即x20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小迁移与应用：5 400解析：设水池底的长为x m，宽为y m，则有2xy18，解得xy9.这时水池的造价为p200xy1502(2x2y)，即p1 800600(xy)，于是p1 80060021 80060025 400，当且仅当xy3时等号成立，故池的最低造价为5 400元活动与探究4：c解析：因为a0，b0，所以不等式可化为k，而2224，所以4，即的最大值为4，因此要使k恒成立，应有k4，即实数k的最小值是4.迁移与应用：a1解析：令f(x)x，由于x1，则f(x)x11211，即函数f(x)的最小值是1，因此要使不等式xa恒成立，应有a1.当堂检测1c解析：x3y5xy，1.3x4y(3x4y)1(3x4y)25，当且仅当，即x1，y时等号成立2d解析：因为x，yr，且x4y40，所以402，即xy100，所以lg xlg ylg xylg 1002，故lg xlg y的最大值是2.3c解析：依题意设y1，y2k2x，而当x1