【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）4.3 向量与实数相乘第二课时精品导学案 湘教版必修2.doc

第二课时数乘向量的应用以及单位向量学习目标重点难点1能记住向量与实数乘法的运算律，能根据运算律进行向量的线性运算；2能够利用向量的线性运算解决一些简单的平面几何问题；3知道什么是单位向量；4记住两向量共线的条件，能解决向量共线、点共线问题.重点：向量的线性运算及其应用，向量共线的条件及应用；难点：向量线性运算的应用以及三点共线问题；疑点：向量共线的条件.1向量数乘的运算律(1)设a是任意向量，x，y是任意两个实数，则(xy)axaya，x(ya)(xy)a.(2)设a，b是任意两个向量，是任意实数，则(ab)ab.预习交流1下列两式：()a(a)(a)；(ab)ab成立吗？提示：成立，可由向量数乘的运算律推得2向量共线的条件预习交流2若向量a是一个非零向量，那么向量b与a共线的条件是什么？提示：当ba时，由数乘向量的几何意义知b与a共线，b与a共线，必存在唯一的实数，使得ba.3单位向量长度为1的向量称为单位向量我们知道，向量有两个要素：大小和方向向量a的大小由|a|表示，而它的方向就由该方向上的单位向量a代表在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量的数乘运算计算下列各式：(1)4(ab)3(ab)；(2)3(a2bc)(2ab3c)；(3)(ab)(2a4b)(2a13b)思路分析：利用向量的线性运算律计算解：(1)4(ab)3(ab)4a3a4b3ba7b.(2)3(a2bc)(2ab3c)3a6b3c2ab3ca7b6c.(3)(ab)(2a4b)(2a13b)abababab0a0b000.计算：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解：(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量的数乘运算类似于实数运算，先算小括号里面的，再算中括号里面的，将相同的向量看作同类项进行合并二、向量共线条件的应用已知向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，2e18e2，3(e1e2)，求证：a，b，d三点共线(2)欲使ke1e2和e1ke2共线，试确定实数k的值思路分析：(1)要证a，b，d三点共线，可证，共线(或与共线等)；(2)当ke1e2与e1ke2共线时，由向量共线的条件知必有ke1e2(e1ke2)，从而求得k的值(1)证明：e1e2，2e18e23e13e25(e1e2)5，.又abbdb，a，b，d三点共线(2)解：ke1e2与e1ke2共线，存在使ke1e2(e1ke2)，则(k)e1(k1)e2.由于e1与e2不共线，只能有则k1.已知向量a2e13e2，b2e13e2，其中e1，e2不共线，向量c2e19e2，问是否存在这样的实数，使dab与c共线？解：dab(2e13e2)(2e13e2)(22)e1(33)e2，要使d与c共线，则应存在实数k，使dkc，即(22)e1(33)e22ke19ke2，2.故存在这样的实数，只要2，就能使d与c共线1若ba(r)，则b与a共线由此可以判断向量共线问题若b与a(a0)共线，则必存在唯一实数，使ba.据此可以求两个共线向量中的系数问题2用向量证明三点共线时，关键是能否找到一个实数，使得ab(a，b为这三点构成的其中任意两个向量)证明步骤是先证明两个向量共线，然后再由两个向量有公共点，证得三点共线三、向量线性运算的应用如图所示，oadb是以向量=a，=b为边的平行四边形又bm=bc，cn=cd，试用a，b表示，.思路分析：利用向量加法的平行四边形法则、三角形法则以及减法的三角形法则对向量进行分解，同时结合向量的数乘运算将未知向量用a，b表示解：=()=(ab)，=+=b+ab=a+b，=.=+=+=(+)=(a+b)=a+b.=(a+b)ab=ab.1已知在abc中，d是bc边的中点，用向量，表示向量为_答案：解析：，2.2如图所示，点e在abc的边bc上，且ce3eb，设a，b，用a，b表示.解：ce3eb，.又，a(ba)ab.在平面几何图形中进行向量运算时，一般要把所求向量放在三角形或平行四边形中，利用向量加减的三角形法则或平行四边形法则把所求向量表示出来，同时，注意平面几何中一些定理的应用1下列计算正确的数目是()(3)2a6a2(ab)(2ba)3a(a2b)(2ba)0a0 b1 c2 d3答案：c解析：正确，错误，应有(a2b)(2ba)0.2化简为()aab bab cab dab答案：c解析：原式abaabab.3下面向量a，b共线的有()a2e1，b2e2；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.(e1，e2不共线)a b c d答案：a解析：中a与e1共线，b与e2共线，而e1，e2不共线，所以a与b不共线；中b2a，故a与b共线；中ba，故a与b共线；中a与b不共线，因为若a与b共线，则必存在实数，使e1e2(2e12e2)，于是无解故a与b不可能共线4已知平行四边形abcd中，a，b，其对角线交点为o，则等于()aab bab c(ab) dab答案：c解析：2，所以(ab)，故选c5已知向量a与b不共