【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）8.2 余弦定理第2课时 湘教版必修4.doc

第2课时余弦定理的应用学习目标重点难点1会利用余弦定理判断三角形形状；2能够利用余弦定理解决三角形中的一些范围问题；3能综合运用正弦定理和余弦定理解决综合问题.重点：余弦定理的应用难点：正弦定理和余弦定理的综合应用；疑点：三角形中锐角与钝角的判定.1利用余弦定理判断三角形形状预习交流1余弦定理在判断三角形形状中有哪些应用？2三角形中的范围问题预习交流2若a，b，c是一个三角形的三边长，那么当这个三角形是锐角三角形时，a，b，c应满足什么条件？当三角形是钝角三角形时呢？3三角形中的综合问题预习交流3在abc中，的值，三角形面积sbcsin a，以及余弦定理a2b2c22bccos a三者之间有何联系？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：预习交流1：提示：(1)已知三角形三条边的长度或关系时，可求出某个内角(或全部内角)，从而判定该三角形是直角三角形还是锐角、钝角三角形；(2)给出三角形的边、角关系式时，可利用余弦定理或其变形，要么将边化为角，要么将角化为边，通过整理后得出边或角的关系，确定其形状；(3)与正弦定理联合使用，推导边或角的关系，确定其形状预习交流2：提示：若三角形是锐角三角形，则其三个内角都是锐角，由余弦定理知a，b，c应满足b2c2a2，,a2b2c2，,a2c2b2，同时还要注意“三角形中任两边之和大于第三边”的应用；若三角形是钝角三角形，则其内角有且仅有一个是钝角，这个角是最大边所对的角，因此要先判定边的大小，确定出最大边，再利用余弦定理建立边之间的关系，得出a，b，c满足的条件预习交流3：提示：由于bccos a，所以三者都与两边之积bc以及角a的正弦值、余弦值有关，所以三者之间可以互求一、利用余弦定理判断三角形形状在abc中，若b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，试判断三角形的形状思路分析：一种思路是化角为边，从三边的关系入手进行判断；另一种方法是化边为角，从内角的关系入手进行判断(2012上海高考，文17)在abc中，若sin2asin2bsin2c，则abc的形状是()a钝角三角形 b直角三角形c锐角三角形 d不能确定1判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是否是等腰三角形、直角三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等2利用余弦定理判断三角形形状的方法之一是化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：cos c，cos a，cos b3利用余弦定理判断三角形形状的方法之二是化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有：cos a，cos b，cos c.二、利用余弦定理解决三角形中的范围问题设2a1，a,2a1为某个钝角三角形的三边长，则实数a的取值范围为_思路分析：应从两个方面建立实数a的不等式，一是2a1，a,2a1作为三角形的三边长，应满足两边之和大于第三边；二是三角形是钝角三角形，最大角必须是钝角，可由余弦定理建立不等式已知锐角三角形的三边长分别为2,3，x，则实数x的取值范围为_1三角形是钝角三角形，则其最大内角必为钝角，由余弦定理建立三边之间的关系，从而可求出参数的取值范围；三角形是锐角三角形，则其三个内角必须都是锐角，因此三内角余弦值均大于零，由此建立不等式，可求参数取值范围2求解三角形中的范围问题时，要注意“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”等隐含条件的应用三、正弦定理和余弦定理的综合应用设abc的内角a，b，c所对的边分别为a，b，c.已知a1，b2，cos c.(1)求abc的周长；(2)求cos(ac)的值思路分析：先由余弦定理求出c边，即可求出三角形周长再根据正弦定理，求出sin a和cos a的值，然后利用两角差的余弦公式求出cos(ac)的值在abc中，a，b，c的对边分别是a，b，c，已知3acos accos bbcos c(1)求cos a的值；(2)若a1，cos bcos c，求边c的值解决三角形中的有关问题时，主要通过正弦定理和余弦定理进行边角互化，但也要注意一些隐含条件的利用，例如在三角形中：两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、大边对大角、最大内角的取值范围为、最小内角的取值范围为等等1已知abc的三个内角满足sin asin ccos b，则abc的形状为()a等边三角形b直角三角形c等腰直角三角形d等腰三角形或直角三角形2abc的内角a，b，c的对边分别为a，b，c，若b2ac且c2a，则cos b等于()a b c d3在abc中，sin2asin2bsin2csin bsin c，则a的取值范围是()ac4在abc中，已知ab7，bc5，ac6，则等于()a19 b14 c18 d195在abc中，a，b，c分别为角a，b，c所对的边，且a4，bc5，c，则abc的面积为_提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：(解法一)因为b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，所以b2(1cos2c)c2(1cos2b)2bccos bcos c，由余弦定理可得b2c2b22c222bc，整理得b2c2，所以b2c2a2，因此abc是直角三角形(解法二)因为b2sin2cc2sin2b2bccos bcos c，所以sin2bsin2csin2csin2b2sin bsin ccos bcos c，所以2sin2bsin2c2sin bsin ccos bcos c，由于sin bsin c0，所以sin bsin ccos bcos c，即cos(bc)0，于是bc，即a，故abc是直角三角形迁移与应用：a解析：由sin2asin2bsin2c，得a2b2c2，所以cos c0，所以c为钝角，即abc为钝角三角形活动与探究2：2a8解析：由于2a1，a,2a1是三角形三边长，所以必有解得a2.又因为三角形是钝角三角形，所以最大角一定是钝角，而最大角是2a1边所对的角，由余弦定理可得0，解得a8，又a2，所以实数a的取值范围是2a8.迁移与应用：(，)解析：依题意可得因此5c213，c.活动与探究3：解：(1)c2a2b22abcos c1444，c2，abc的周长为abc1225.(2)cos c，sin c，sin a.ac，ac，故a为锐角，cos a，cos(ac)cos acos csin asin c.迁移与应用：解：(1)根据正弦定理，由3acos accos bbcos c可得3sin acos asin ccos bsin bcos csin(bc)，即3sin acos asin a，由于sin a0，所以cos a.(2)由cos bcos c知，cos(ac)cos c，展开易得：cos csin csin c，由正弦定理：c.当堂检测1b解析：由sin asin ccos b可得ac，即a2b2c2，所以abc是直角三角形2b解析：b2ac，c2a，b22a2.cos b.