【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）9.3 等比数列第1课时 湘教版必修4.doc

9.3等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式学习目标重点难点1知道等比数列的概念；2知道等比中项的概念；3记住等比数列的通项公式，能够用等比数列的通项公式解决计算问题；4会判断和证明一个数列是不是等比数列.重点：等比数列的概念以及通项公式的应用；难点：等比数列的证明；疑点：等比数列与等差数列的区别与联系.1等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个_，这样的数列叫作_，这个常数叫作等比数列的_，公比通常用q表示预习交流1等比数列中的项能否为零？公比q能否为零？预习交流2常数列一定是等比数列吗？一定是等差数列吗？2等比中项如果a，c同号，且b，那么，b是ac的等比中项预习交流3等比中项与等差中项有哪些不同之处？预习交流4怎样判断或证明一个数列是不是等比数列？3等比数列的通项公式等比数列的通项公式是_预习交流5根据等比数列的通项公式，你能否得出等比数列中任意两项之间的关系？在预习中还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点答案：1常数等比数列公比预习交流1：提示：由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此公比q也不为0，但可为正数，也可为负数预习交流2：提示：常数列不一定是等比数列，只有各项不为零的常数列才是等比数列，且公比为1，但所有的常数列都是等差数列，且公差为0.预习交流3：提示：任何两个数都有等差中项，但只有同号的两个数才有等比中项；两个数的等差中项有且只有一个，但两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数预习交流4：提示：主要有两种方法：定义法：若q(q是常数，nn*)，则an是等比数列；等比中项法：若aanan20(nn*)，则an是等比数列3ana1qn1预习交流5：提示：在等比数列an中，由ana1qn1，ama1qm1两式相除得qnm，即anamqnm，该式是通项公式的变形，反映了数列中任意两个项之间的关系，其中m可以大于n，也可以小于n，还可以等于n.一、等比数列的判断与证明已知数列an的前n项和sn，求数列an的通项公式，并判断an是否为等比数列？若是，请证明；若不是，请说明理由思路分析：利用an与sn的关系公式由sn求出an，然后根据等比数列的定义判断an是否为等比数列给出以下命题：1,2,4,8,16是等比数列；数列1，是公比为2的等比数列；若，则a，b，c成等比数列；若n(nn*)，则数列an成等比数列其中正确命题的个数是()a0 b1c2 d3数列an满足a11，anan11(n2)(1)若bnan2，求证：bn为等比数列；(2)求an的通项公式思路分析：先对给出的等式anan11进行转化变形，与bnan2相结合，得出bn与bn1的关系，从而判断数列bn是否为等比数列；由bn为等比数列先求出bn，再根据bnan2求出an.已知数列an满足sn4an1(nn*)，求证：数列an是等比数列，并求出其通项公式1判断或证明一个数列是等比数列的方法主要有：(1)定义法：若当n2，nn*，有q(q0，q为常数)或当n1，nn*，有q(q0，q为常数)，则数列an为等比数列；(2)等比中项法：若aanan2(nn*)，则数列an为等比数列；(3)通项特征法：通项anf(n)cqn，其函数特征为常数与指数函数的乘积2等比数列与等差数列相比，有相同的地方，但也有很多不同的方面，例如：在等比数列中，要求它的每一项都不能为零，因此公比也不能等于零，在一些判断问题中，要从这个特殊性入手进行判断二、等比数列通项公式及其应用(1)已知等比数列an中，a23，a5，则数列an的通项公式是_(2)已知一等比数列的前三项依次为x,2x2,3x3，那么13是此数列的第()项a2 b4 c6 d8思路分析：(1)设出首项和公比a1，q，建立a1，q的方程组，求得a1，q的值即可得到数列的通项公式；(2)根据数列的前3项成等比数列，求得x的值，从而可得到数列的通项公式，然后根据通项公式判断13是数列的哪一项1已知数列an为等比数列，且a32，a2a4，则an的通项公式是_2等比数列an中，若a5a42a3，则其公比等于_1等比数列的基本量是a1和q，很多等比数列问题都可以归结为其基本量的运算问题，解决这类问题时，最核心的思想方法是解方程(组)的方法，即依据题目条件，根据等比数列的通项公式，建立关于a1和q的方程(组)，然后解方程(组)，求得a1和q的值，再解决其他问题2在等比数列的基本量运算问题中，建立方程(组)进行求解时，要注意运算的技巧性，特别注意整体思想在其中的应用三、等比中项及其应用已知等比数列an中，a2a3a464，a3a636，求a1和a5的等比中项思路分析：可以由已知条件求出a1和a5的值，也可以直接求出a1a5的值，然后根据等比中项的定义求出a1和a5的等比中项，但要注意的是a1和a5的等比中项不是a3，而是a3.在等差数列an中，a19，d1，若ak是a1和a2k的等比中项，则k()a2 b4 c6 d81任意两个实数都有等差中项，且等差中项是唯一的，但与等差中项不同，只有同号的两个数才能有等比中项；两个数的等比中项有两个，它们互为相反数2本题中要避免出现“a1和a5的等比中项是a3”的错误，a3一定是a1和a5的等比中项，但a1和a5的等比中项应该是a3.1数列a，a，a，a，(ar)是()a等差数列但不是等比数列b等比数列但不是等差数列c等差数列又是等比数列d以上说法均不对22和2的等比中项是()a1 b1c1 d23在等比数列an中，a2 0128a2 009，则公比q等于()a2 b2c2 d4在等比数列an中，an0且a21a1，a49a3，则a4a5的值为()a16 b27 c36 d815若等比数列an的各项均为正数，且前三项依次为1，a1,2a5.(1)求该数列的通项公式；(2)判断728是否是该数列中的项？提示：用最精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来并进行识记知识精华技能要领答案：活动与探究1：解：当n1时，a1s12，当n2时，ansnsn125n1，且a12也适合上式，所以an25n1(nn*)由于当n2时，5，所以数列an是等比数列迁移与应用：c解析：命题正确，数列1，是公比为的等比数列，故错误；若n，则数列an不成等比数列，故错误活动与探究2：解：(1)由anan11可得an2(an12)，而bnan2，所以bn1an12.因此bnbn1，故数列bn是公比为的等比数列(2)由(1)知，b1a121，所以bn1n1，即an2n1，于是an2n1，此即为an的通项公式迁移与应用：解：依题意得当n2时，sn14an11，所以ansnsn1(4an1)(4an11)，即3an4an1，所以，故数列an是公比为的等比数列又因为s14a11，即a14a11，所以a1，故数列an的通项公式是ann1.活动与探究3：(1)an6n1(2)b解析：(1)设公比为q，则有于是q3，解得q，a16，所以数列an的通项公式是an6n1.(2)因为前三项依次为x,2x2,3x3，所以x(3x3)(2x2)2，解得x1或x4，而x1x4，故q，于是134n1，解得n4.迁移与应用：1an3n1或an18n1解析：设an的公比为q，依题意有解得或于是数列an的通项公式是an3n1或an18n1.22或1解析：设公比为q，则有a3q2a3q2a3，所以q2q20，解得q2或1.活动与探究4：解：因为an是等比数列，所以a3是a2和a4的等比中项，即aa2a4，于是有a64，解得a34，从而a632.若设an的公比为q，则有解得所以a5a1q416.设a1和a5的等比中项是g，则g2a1a516，于是g4，故a1和a5的等比中项是4.迁移与应用：b解析：依题意得aa1a2k，即9(k1)299(2k1)，整理得k22k80，解得k4(k2舍去)当堂检测1d解析：当a0时该数列既是等差数列又是等比数列，当a0时，该数列是等差数列但不是等比数列2c解析：2和2的等比中项是1.3b解析：由a2 0128a2 009得a1q2 0118a1q2 008，所以q