高三数学总复习 8.5空间几何体的表面积和体积教案 新人教A版(1).doc

2014届高三数学总复习 8.5空间几何体的表面积和体积教案 新人教a版考情分析考点新知了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式，会求一些简单几何体的表面积和体积，体会积分思想在计算表面积、体积中的运用 了解柱、锥、台、球的表面积和体积计算公式(不要求记忆公式). 会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积.1. (必修2p69习题10改编)用长、宽分别是3与的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则圆柱的底面面积为_答案：或解析：有两种情况：以3为圆柱的高时，圆柱底面积为，以为圆柱的高时，圆柱底面积为.2. (原创)若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是_. 答案：解析：几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高也为2，体积v42.3. (2013南京二模)已知圆锥的侧面展开图是一个半径为3 cm，圆心角为的扇形，则此圆锥的高为_cm.答案：2解析：设圆锥的底面半径为r，则2r3，所以r1，此圆锥的高为2.4. (必修2p55练习4改编)已知正方形abcd的边长为2，e、f分别为bc、dc的中点，沿ae、ef、af折成一个四面体，使b、c、d三点重合，则这个四面体的体积为_答案：解析：折成的四面体为三棱锥aecf，secf11，高为ab2，所以这个四面体的体积为vsecfab2.5. (必修2p69复习题5改编)若长方体三个面的面积分别为，则此长方体的外接球的表面积是_答案：6解析：设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a、b、c，则解得长方体外接球半径为r，外接球的表面积为s46.1. 侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，直棱柱的侧面积公式是s直棱柱侧ch，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱柱体的体积公式是v柱体sh2. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的正投影是底面的中心，该棱锥为正棱锥正棱锥的侧面积公式是s正棱锥侧ch；锥体的体积为v锥体sh3. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底之间的部分叫做正棱台，其侧面积公式是s正棱台侧(cc)h；台体的体积公式是v台体h(ss)4. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇环；圆柱的侧面积公式是s圆柱侧cl2r，圆锥的侧面积公式为s圆锥侧clrl，圆台的侧面积公式为s圆台侧(cc)l(rr)l5. 球体的体积公式是v球r3，其中r为球的半径备课札记题型1与几何体的表面积有关的问题例1如图所示，正方体abcda1b1c1d1的棱长为6，则以正方体abcda1b1c1d1的中心为顶点，以平面ab1d1截正方体外接球所得的圆为底面的圆锥的全面积为_答案：(1824)解析：设o为正方体外接球的球心，则o也是正方体的中心，o到平面ab1d1的距离是体对角线长的，即为.又球的半径是正方体对角线长的一半，即为3，由勾股定理可知，截面圆的半径为2，圆锥底面面积为s1(2)224，圆锥的母线即为球的半径3，圆锥的侧面积为s22318.因此圆锥的全面积为ss2s11824(1824).如图，在球面上有四个点p、a、b、c，如果pa、pb、pc两两互相垂直，且papbpca，求这个球的表面积解：如题图，设过a、b、c三点的球的截面圆半径为r，圆心为o，球心到该圆面的距离为d，在三棱锥pabc中，pa、pb、pc两两垂直，papbpca，abacbca，且点p在abc内的射影是abc的中心o，由正弦定理，得 2r，ra.又根据球的截面圆性质，有oo平面abc，而po平面abc，p、o、o三点共线，球的半径r.又poa，oorad，r2，解得ra.s球4r23a2.题型2与几何体体积有关的问题例2如图所示，在rtabc中，ac6，bc3，abc90，cd为acb的平分线，点e在线段ac上，ce4.如图所示，将bcd沿cd折起，使得平面bcd平面acd，连结ab，设点f是ab的中点(1) 求证：de平面bcd；(2) 若ef平面bdg，其中g为直线ac与平面bdg的交点，求三棱锥b-deg的体积图图(1) 证明：在题图中， ac6，bc3，abc90， acb60. cd为acb的平分线， bcdacd30. cd2. ce4，dce30， de2.则cd2de2ec2. cde90.dedc.在题图中， 平面bcd平面acd，平面bcd平面acdcd，de平面acd， de平面bcd.(2) 解：在题图中， ef平面bdg，ef平面abc，平面abc平面bdgbg， efbg. 点e在线段ac上，ce4，点f是ab的中点， aeegcg2.作bhcd交于h. 平面bcd平面acd， bh平面acd.由条件得bh.sdegsacdaccdsin30.三棱锥b-deg的体积vsdegbh.在abc中，bac90，b60，ab1，d为线段bc的中点，e、f为线段ac的三等分点(如图)将abd沿着ad折起到abd的位置，连结bc(如图)(1) 若平面abd平面adc，求三棱锥b-adc的体积；(2) 记线段bc的中点为h，平面bed与平面hfd的交线为l，求证：hfl；(3) 求证：adbe.图图(1) 解：在直角abc中，d为bc的中点，所以adbdcd.又b60，所以abd是等边三角形取ad中点o，连结bo，所以boad.因为平面abd平面adc，平面abd平面adcad，bo平面abd，所以bo平面adc.在abc中，bac90，b60，ab1，d为bc的中点，所以ac，bo.所以sadc1.所以三棱锥badc的体积为vsadcbo.(2) 证明：因为h为bc的中点，f为ce的中点，所以hfbe.又hf平面bed，be平面bed，所以hf平面bed.因为hf平面hfd，平面bed平面hfdl，所以hfl.(3) 证明：连结eo，由(1)知，boad.因为ae，ao，dac30，所以eo.所以ao2eo2ae2.所以adeo.又bo平面beo，eo平面beo，boeoo，所以ad平面beo.又be平面beo，所以adbe.题型3简单几何体的综合应用例3(2013徐州调研)在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起(如图)，做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？解：设箱底边长为x，则箱高为h(0xa)，箱子的容积为v(x)x2sin60hax2x3(0x0；当x时，v(x)0，所以函数v(x)在xa处取得极大值，这个极大值就是函数v(x)的最大值：vaa3.答：当箱子底边长为a时，箱子容积最大，最大值为a3.四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a.(1) 求该四面体的体积的最大值；(2) 当四面体的体积最大时，求其表面积解： (1) 如图，在四面体abcd中，设abbccdacbda，adx，取ad的中点为p，bc的中点为e，连结bp、ep、cp.得到ad平面bpc， vabcdvabpcvdbpcsbpcapsbpcpdsbpcada xa3(当且仅当xa时取等号) 该四面体的体积的最大值为a3.(2) 由(1)知，abc和bcd都是边长为a的正三角形，abd和acd是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a， s表2a22aa2aa2a2.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)如图，底面边长为a，高为h的正三棱柱abc-a1b1c1，其中d是ab的中点，e是bc的三等分点求几何体bdea1b1c1的体积学生错解：解 bd，be，dbe60， sdbebdbesindbea2，sa1b1c1a1b1b1c1sin60a2.由棱台体积公式得vbdea1b1c1h(sbdesa1b1c1)ha2h.审题引导： (1) 弄清组合体的结构，这里几何体dbea1b1c1不是棱台，也可补上一个三棱锥使之成为一个三棱台；(2) 运用体积公式进行计算规范解答： 解：如图，取bc中点f，连结df、c1d、c1e、c1f，得正三棱台dbfa1b1c1及三棱锥c1def.sa1b1c1a2，sdbfsabca2，(4分)vdbfa1b1c1h(sdbfsa1b1c1)h(a2a2)a2h.(8分) vc1defha2a2h，(10分) vbdea1b1c1vdbfa1b1c1vc1defa2ha2ha2h.(14分)错因分析：没有弄清所给几何体的结构，几何体dbea1b1c1不是棱台1. (2013南京调研)如图，已知正三棱柱abca1b1c1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点a出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点a1的最短路线的长为_cm.答案：13解析：根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为13(cm)2. 一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为18 cm的扇形，则圆锥母线与底面所成角的余弦值为_答案：解析：设母线长为l，底面半径为r，则依题意易知l18 cm，由l2r，代入数据即可得182r，解得r12 cm，因此所求角的余弦值即为.3. (2013济南模拟改)如图所示，在正三棱锥s-abc中，m、n分别是sc、bc的中点，且mnam，若侧棱sa2，则正三棱锥sabc外接球的表面积是_答案：36解析：在正三棱锥s-abc中，易证sbac，又mnbs， mnac. mnam， mn平面acm. mnsc， csbcmn90，即侧面为直角三角形，底面边长为2.此棱锥的高为2，设外接球半径为r，则(2r)2r2， r3， 外接球的表面积是36.4. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸若盆中积水深九寸，则平地降雨量是_寸(注： 平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积； 一尺等于十寸)答案：3解析：本题考查圆台的体积公式做出圆台的轴截面如图，由题意知，bf14(单位寸，下同)，oc6，of18，og9，即g是of中点，所以ge为梯形的中位线，所以ge10，即积水的上底面半径为10.所以盆中积水的体积为(10036)588.盆口的面积为142196，所以3，即平地降雨量是3寸5. 如图，四棱锥p-abcd中，pa底面abcd，abad，点e在线段ad上，且ceab.(1) 求证：ce平面pad；(2) 若paab1，ad3，cd，cda45，求四棱锥p-abcd的体积(1) 证明：因为pa平面abcd，ce平面abcd，所以pace.因为abad，ceab，所以cead.又paada，所以ce平面pad.(2) 解：由(1)可知cead.在rtecd中，decdcos451，cecdsin451.因为abce1，abce，所以四边形abce为矩形所以sabcdsabcesecdabaecede1211.又pa平面abcd，pa1，所以vp-abcdsabcdpa1.1. (2013福州模拟)如图所示，已知三棱柱abca1b1c1的所有棱长均为1，且aa1底面abc，则三棱锥b1abc1的体积为_答案：解析：三棱锥b1abc1的体积等于三棱锥ab1bc1的体积，三棱锥ab1bc1的高为，底面积为，故其体积为.2. 一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，那么这个三棱柱的体积是_答案：48解析：因为球的体积为，柱体的高为2r4，又正三棱柱的底面三角形内切圆半径与球半径相等，r2，所以底面边长a4，所以v柱(4)2448.3. (2013杭州模拟)如图，在四边形abcd中，dab90，adc135，ab5，cd2，ad2，求四边形abcd绕ad旋转一周所成几何体的表面积及体积解：由已知得ce2，de2，cb5，s表面s圆台侧s圆台下底s圆锥侧(25)52522(604)，vv圆台v圆锥(2252)4222.4. 如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作4个全等的矩形骨架，总计耗用9.6米铁丝，再用s平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面)当圆柱底面半径r取何值时，s取得最大值？并求出该最大值(结果精确到0.01平方米)解：由题意可知矩形的高即圆柱的母线长为1.22r， 塑料片面积sr22r(1.22r)r22.4r4r2