【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.2.3 对数函数的图象和性质第1课时导学案 湘教版必修1.doc

2.2.3对数函数的图象和性质第1课时反函数及对数函数的概念学习目标重点难点1知道什么是反函数；2会求一些简单函数的反函数；3能记住对数函数的定义，会判断一个函数是否是对数函数；4知道互为反函数的两个函数图象间的关系.重点：对数函数的定义，会求一些简单函数的反函数；难点：互为反函数的两个函数图象的特点.1对数函数的概念一般说来，把由对数运算确定的函数ylogax(x0，a0，a1)叫作(以a为底的)对数函数预习交流1怎样判断一个函数是否是对数函数？提示：根据对数函数的定义，只有严格符合ylogax(a0，a1，x0)形式的函数才是对数函数例如ylog5x(x0)是对数函数，而ylog3(2x)(x0)以及ylog2(x1)、y2log2x等都不是对数函数2指数函数与对数函数的关系函数yax(a0，a1)与ylogax(a0，a1)互为反函数，这时，指数函数yax的定义域r是对数函数ylogax的值域，而指数函数yax的值域(0，)，是对数函数ylogax的定义域3反函数(1)反函数的求法要求函数yf(x)的反函数，可以先把x和y换位，写成xf(y)，再把y解出来，表示成yg(x)的形式如果这种形式是唯一的确定的，就得到f(x)的反函数g(x)(2)互为反函数的两个函数的图象在同一坐标系内关于直线yx对称预习交流2函数yx2是否具有反函数？提示：在函数yx2中，将x与y换位得到xy2，解得y，这种形式不是唯一的，故原函数没有反函数预习交流3互为反函数的两个函数的单调性有何关系？提示：两者中一个递增另一个也递增，一个递减另一个也递减一、对数函数的概念已知函数f(x)是对数函数，则对f(x)定义域内的任意自变量a，b，给出下列结论：f(ab)f(a)f(b)；f(ab)f(a)f(b)；f(ab)f(a)f(b)；f(a2)2f(a)；f(0)1；f(1)0.其中正确结论的序号是_思路分析：根据f(x)是对数函数，设出其解析式，然后结合对数的运算法则逐一进行判断答案：解析：f(x)是对数函数，可设f(x)logdx(d0且d1)因此f(ab)logdablogdalogdbf(a)f(b)，f(a2)logda22logda2f(a)f(1)logd10.故结论正确，其余均错1下列函数中是对数函数的是_ylogx2，ylog8x，yln x，ylg(x2)，ylog2x1.答案：2若f(x)是对数函数，且f(3)1，则f_.答案：2解析：设f(x)logax，由f(3)1得loga31，a.于是f2.1对数函数的定义同指数函数的定义一样，是形式化的定义，必须严格符合对数函数定义形式的函数才是对数函数2研究对数函数的解析式时，要注意结合对数的运算法则进行推理与判断二、求函数的反函数求下列函数的反函数：(1)ylog4x；(2)yx；(3)y25x；(4)ylog2(x2)思路分析：按照求反函数的一般步骤：对换x与y，解出y，得到反函数解：(1)将x与y换位得xlog4y，解得y4x，故反函数为g(x)4x；(2)将x与y换位得xy，解得，故反函数为；(3)将x与y换位得x25y，解得yx，故反函数为g(x)x；(4)将x与y换位得xlog2(y2)，解得y2x2，故反函数为g(x)2x2.求下列函数的反函数：(1)y；(2)y32x6；(3)ylog3x2.解：(1)将x与y换位得x，解得y，故反函数是g(x)；(2)将x与y换位得x32y6，解得ylog3x3，故反函数是g(x)log3x3；(3)将x与y换位得xlog3y2，解得y3x2，故反函数是g(x)3x2.1求一个函数的反函数时，一般可按照如下步骤进行：(1)将解析式中的x与y对换；(2)将对换后的式子中的y解出来；(3)得到反函数yg(x)2并不是每一个函数都有反函数，若在解y的时候，y的结果不唯一，那么它就不具有反函数3原函数是一个与指数函数或对数函数有关的函数时，需要充分利用指数式与对数式之间的关系求y.三、利用原函数与反函数图象的对称性解题若点a(1,2)既在函数f(x)的图象上，又在f(x)的反函数的图象上，求a，b的值思路分析：由题目可获取以下主要信息：(1)点a(1,2)在函数f(x)的图象上；(2)点a(1,2)在函数f(x)的反函数图象上解答本题先由a(1,2)在函数f(x)的反函数图象上得出a(2,1)在f(x)的图象上，然后建立关于a，b的方程组求解解：依题意可得f(1)2，f(2)1，解得1若函数f(x)的图象上有一点(0,1)，则其反函数上一定存在点()a(0,1) b(1,0)c(0,0) d不能确定答案：b2已知函数yaxb(a0)的图象过点(1,4)，其反函数的图象过点(2,0)，则a_.答案：3解析：由函数yaxb的图象过点(1,4)，得ab4.反函数的图象过点(2,0)，则原函数的图象必过点(0,2)，得a0b2.联立，可得a3，b1.利用原函数与其反函数图象间的对称性解题，可以避免求出原函数的反函数，化繁为简，达到事半功倍的效果1若f(x)是对数函数，且f(16)4，则f(x)的解析式是()af(x)log2x bf(x)log4xcf(x)log16x df(x)答案：a解析：设f(x)logax，则loga164，故a2，选a2函数yx2，xr的反函数为()ax2y bxy2cy2x(xr) dyx2(xr)答案：d解析：将x与y换位，得xy2，解得yx2，所以反函数为yx2(xr)3若f(x)是对数函数，则f(x)对其定义域中的自变量m，n，一定满足()af(mn)f(m)f(n) bf(m)f0cf(n2)f(n)2 df(n)f(n)0答案：b解析：不妨设f(x)logax，则f(m)flogamlogalogamlogam0，选b4函数yaxm过定点(0,2)(a0，且a1)，那么其反函数必过定点()a(1,0) b(2,0)