【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练）2.4.2 计算函数零点的二分法导学案 湘教版必修1.doc

2.4.2计算函数零点的二分法学习目标重点难点1知道什么是二分法；2能够利用二分法求函数零点(方程的根)的近似值.重点：用二分法求函数零点(方程的根)的近似值；难点：二分法的步骤.用二分法求函数零点的一般步骤已知函数yf(x)定义在区间d上，求它在d上的一个零点x0的近似值x，使它与零点的误差不超过正数，即使得|xx0|.用二分法求函数零点的一般步骤如下：(1)在d内取一个闭区间a0，b0d，使f(a0)与f(b0)异号，即f(a0)f(b0)0，零点位于区间a0，b0中(2)取区间a0，b0的中点，则此中点对应的坐标为x0.计算f(x0)和f(a0)并判断：如果f(x0)0，则x0就是f(x)的零点，计算终止；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间a0，x0中，令a1a0，b1x0；如果f(a0)f(x0)0，则零点位于区间x0，b0中，令a1x0，b1b0.(3)对区间a1，b1，按(2)中的方法，可以得到区间a2，b2，且它的长度是区间a1，b1长度的一半如此反复地二分下去，可以得到一系列有限区间a0，b0，a1，b1，a2，b2，a3，b3，其中每个区间的长度都是它前一个区间长度的一半继续实施上述步骤，直到区间an，bn，函数的零点总位于区间an，bn上，当|anbn|2时，区间an，bn的中点xn(anbn)就是函数yf(x)的近似零点，计算终止这时函数yf(x)的近似零点满足给定的精确度预习交流1二分法的实质是什么？提示：二分法的实质就是通过不断选取区间的中点，将区间一分为二，逐次逼近，从而获得零点近似值预习交流2所有的函数零点都可以用二分法求解吗？提示：不一定必须满足在区间a，b上连续不断，且f(a)f(b)0这样条件的函数才能用二分法求得零点的近似值预习交流3用二分法求函数零点的近似值时，结果唯一吗？提示：求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同精确度要求越高，零点近似值所在的区间长度越小，计算过程越长二分法求函数零点的近似值一般需借助计算器计算一、对二分法的理解已知函数f(x)ln x2x6.(1)在区间(2,3)内有零点，此时f(2)f(3)_0；(2)在区间(2.5,3)内_零点，此时f(2.5)f(3)_0；(3)在区间(2.5,2.75)内_零点，此时f(2.5)f(2.75)_0；(4)还会在区间_内有零点，此时f(2.5)f(_)0.思路分析：按照二分法的原理及步骤，逐一计算判断答案：(1)0(2)有0(3)有0(4)(2.5,2.625)2.625解析：(1)f(2)ln 246ln 220，f(3)ln 366ln 30.于是f(2)f(3)0；(2)由于f(2.5)ln 2.556ln 2.510，而f(3)0，因此f(2.5)f(3)0，所以在区间(2.5,3)内有零点；(3)由于f(2.75)ln 2.755.56ln 2.750.50，所以f(2.5)f(2.75)0.故在区间(2.5,2.75)内有零点(4)取区间(2.5,2.75)的中点2.625，由于f(2.625)ln 2.6250.750，所以f(2.5)f(2.625)0，因此还会在区间(2.5，2.625)内有零点已知函数yf(x)在区间3.1,3.2上有零点，现用二分法求该零点的近似值，要求误差不超过0.002，即0.002，则取中点次数最小值为_答案：5解析：b0a00.1，b1a10.05，b2a20.025，b3a30.012 5，b4a40.006 25，b5a50.003 1250.0022，因此最少取5次中点1准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，逐步逼近零点的方法，找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号，才能应用“二分法”求函数零点二、利用二分法求函数零点的近似值求函数f(x)x32x23x6的一个正数零点(误差不超过0.02，即0.02)思路分析：由于要求的是函数的一个正数零点，因此可考虑首先确定一个包含正数的区间，如f(0)60，f(1)60，f(2)40，故可以取区间1,2为计算的初始区间(当然0,2也可以)用二分法求零点解：由于f(1)60，f(2)40，可取区间1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点中点函数值|anbn|1,21.52.62511.5,21.750.234 40.51.5,1.751.6251.302 70.251.625,1.751.687 50.561 80.1251.687 5,1.751.718 750.170 70.062 51.718 75,1.750.031 25由于1.751.718 750.031 252，计算停止，取1.734 3751.734为函数零点的近似值用二分法求函数f(x)x33的一个正零点(误差不超过0.005)解：由于f(1)20，f(2)50，因此可取1,2作为计算的初始区间，用二分法逐次计算，如下表区间中点中点函数值|anbn|1,21.50.37511,1.51.251.0470.51.25,1.51.3750.400 40.251.375,1.51.437 50.029 50.1251.437 5,1.51.468 750.168 40.062 51.437 5,1.468 751.453 1250.068 380.031 251.437 5,1.453 1251.445 312 50.019 150.015 6251.437 5,1.445 312 50.007 812 5由于1.445 312 51.437 50.007 812 50.0120.0052，计算停止取1.441为函数零点的近似值1用二分法求函数零点的近似值，首先要选好选准计算的初始区间，这个区间既要符合条件，又要尽量使其长度小，其次要依据给定的精确度及时检验计算中得到的区间是否满足这一精确度，以决定是停止计算还是继续计算2求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的1下面关于二分法的叙述，正确的是()a用二分法可求所有函数零点的近似值b用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位c二分法无规律可循，无法在计算机上完成d只有在求函数零点时才用二分法答案：b2下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案：b解析：b项中在x0这个零点左、右两侧函数值不改变符号，不能用二分法求零点3在区间(0,1)上有零点的一个函数为()af(x)x3bf(x)x32x2cf(x)dyx21答案：b解析：在b项中，f(0)20，f(1)10，f(0)f(1)0，所以函数f(x)x32x2在(0,1)上有零点4用二分法求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x02.5，那么下一个有根的区间是_答案：(2,2.