【优化指导】高中数学（基础预习+课堂探究+达标训练） 7.3.1　圆的标准方程导学案 湘教版必修3.doc

7.3.1圆的标准方程1圆的定义及标准方程圆的定义圆的标准方程圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合这个固定的点就是圆心这个固定的长度就是半径若圆心为(a，b)，半径为r，则圆的标准方程是(xa)2(yb)2r2.2几种特殊位置的圆的标准方程圆满足的条件圆的标准方程的形式圆心在原点，半径为r(r0)x2y2r2(r0)圆过原点，圆心为(a，b)(xa)2(yb)2a2b2(a2b20)圆心在x轴上，半径为r(r0)(xa)2y2r2(r0)圆心在y轴上，半径为r(r0)x2(yb)2r2(r0)圆心在y轴上且过原点x2(yb)2b2(b0)圆心在x轴上且过原点(xa)2y2a2(a0)圆与x轴相切(xa)2(yb)2b2(b0)圆与y轴相切(xa)2(yb)2a2(a0)圆与两坐标轴都相切(xa)2(yb)2a2(|a|b|0)(1)圆心在原点，半径为r的圆的方程是_；圆心在点(2,3)，半径为2的圆的方程是_提示：x2y2r2(x2)2(y3)24(2)已知圆的标准方程为(x3)2(y2)225，则圆心坐标为_，半径为_提示：(3，2)5(3)若圆的方程为(xm)2(yn)2a2(a0)，则此圆的半径一定是a吗？提示：不一定若a0，则a是半径；若a0，则圆的半径为|a|.一、求圆的标准方程【例1】已知一个圆经过两个点a(2，3)和b(2，5)，且圆心在直线l：x2y30上求此圆的方程解法一：设所求圆的方程为(xa)2(yb)2r2，由已知条件得即所求圆的方程为(x1)2(y2)210.解法二：由a(2，3)，b(2，5)，得ab的中点(0，4)，kab，弦ab的垂直平分线的方程为y42x，即2xy40.解方程组得圆心为(1，2)，半径r.故所求圆的方程为(x1)2(y2)210.这个类型的题目一般有两种解决思路：一是待定系数法，该思路直接，体现了方程的思想，是常用方法二是由平面几何性质(如圆的任一条弦的垂直平分线均过圆心等)求得圆心坐标和半径，然后写出圆的标准方程11圆心为(0，2)，半径为3的圆的标准方程为()a(x2)2y23bx2(y2)23c(x2)2y29 dx2(y2)29答案：d12已知圆c1的方程为(x3)2(y2)25，圆c2与圆c1是同心圆且过点a(5,0)，则圆c2的标准方程为_解析：由圆c1的方程知圆心c1(3,2)，因为圆c2与圆c1是同心圆，所以圆c2的圆心也为(3,2)可设圆c2的方程为(x3)2(y2)2r2.又由圆c2过点a(5,0)，所以(53)2(02)2r2，r268.故圆c2的方程为(x3)2(y2)268.答案：(x3)2(y2)26813求满足下列各条件的圆的标准方程(1)圆心为点c(3，2)，半径是3；(2)圆心为点c(8，3)，且经过点p(5,1)解：(1)(x3)2(y2)29.(2)设圆的半径为r，则r2|cp|2(85)2(31)225，所以圆的标准方程为(x8)2(y3)225.二、点与圆的位置关系【例2】若坐标原点在圆(xm)2(ym)24的内部，求实数m的取值范围从几何意义上考虑，圆内部的点到圆心的距离小于半径，反过来到圆心距离小于半径的点在圆内解：圆心c(m，m)，半径r2.原点在圆内部，|co|r，即|co|2r2，(0m)2(0m)24.解得m.将圆内的点的坐标代入圆的标准方程，把等号改为小于号即可，同理，在圆外的改为大于号，这些方法都体现了数形结合思想21已知圆的方程是(x2)2(y3)24，则点p(3,2)为()a圆心 b圆上的点c圆内的点 d圆外的点解析：因为(32)2(23)224，所以点p(3,2)在圆内答案：c22若(2,2)在圆(xa)2(ya)24的外部，则实数a的取值范围是_解析：(2,2)在圆(xa)2(ya)24的外部，(2a)2(2a)24.(2a)22.2a或2a，即a2或a2.答案：a2或a2三、圆的方程的拓展应用【例3】实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求的最大值和最小值解：设p(x，y)，则p点的轨迹就是已知圆c：(x3)2(y3)26.而的几何意义就是o与p两点的距离如图，连结oc并延长交圆于a，b两点，则|pc|3，显然p与b重合时|op|最大，最大值为|ob|3；当p与a重合时|op|最小，其最小值为|oa|3.综上所述，的最大值是3，最小值是3.对于这个类型的题目一般考虑所求式子的几何意义，然后利用数形结合的方法求出其最值31已知实数x，y满足(x1)2y2，求x2y2的最大值和最小值解：据题意知x2y2表示圆(x1)2y2上的点到坐标原点的距离的平方，显然当圆上的点与坐标原点