高考数学 考点17 推理与证明.doc

考点17 推理与证明 1.（2010山东高考文科）观察，由归纳推理可得：若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（ ）（a） (b) (c) (d)【命题立意】本题考查归纳推理的有关知识，考查了考生的观察问题，分析问题解决问题的能力.【思路点拨】观察所给的结论，通过归纳类比联想，得出结论.【规范解答】选d通过观察所给的结论可知，若是偶函数，则导函数是奇函数，故选d2.（2010陕西高考理科）观察下列等式：,，根据上述规律，第五个等式为 _.【命题立意】本题考查归纳推理，属送分题【思路点拨】找出等式两边底数的规律是解题的关键【规范解答】由所给等式可得：等式两边的幂式指数规律明显，底数关系如下：即左边底数的和等于右边的底数。故第五个等式为：【答案】 3.（2010福建高考文科）观察下列等式： cos2a=2-1; cos4a=8- 8+ 1; cos6a=32- 48+ 18- 1; cos8a=128- 256+ 160- 32+ 1; cos10a= m- 1280+ 1120+ n+ p- 1.可以推测，m n + p = .【命题立意】本题主要考查利用合情推理的方法对系数进行猜测求解【思路点拨】根据归纳推理可得 【规范解答】观察得：式子中所有项的系数和为1，又， 【答案】9624.（2010浙江高考理科14）设，将的最小值记为，则其中=_ .【命题立意】本题考查合情推理与演绎推理的相关知识，熟练掌握相关的推理规则是关键【思路点拨】观察的奇数项与偶数项的特点【规范解答】观察表达式的特点可以看出，当为偶数时，；，当为奇数时，【答案】5.（2010北京高考文科20）已知集合对于，定义a与b的差为a与b之间的距离为（）当n=5时，设，求，；（）证明：，且;() 证明：三个数中至少有一个是偶数【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力。本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求。要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养【思路点拨】（i）（）直接按定义证明即可；() “至少”问题可采用反证法证明【规范解答】（）（1,0,1,0,1）3()设因为，所以从而由题意知当时，当时，所以()证明：设记由（）可知所以中1的个数为k,中1的个数为设是使成立的的个数。则由此可知，三个数不可能都是奇数，即三个数中至少有一个是偶数 6.（2010北京高考理科20）已知集合对于，定义a与b的差为 a与b之间的距离为；（）证明：，且;（）证明：三个数中至少有一个是偶数() 设p，p中有m(m2)个元素，记p中所有两元素间距离的平均值为(p). 证明：（p）.【命题立意】本题属于创新题，考查了学生运用新知识的能力，考查了反证法、不等式证明等知识本题情景是全新的，对学生的“学习能力”提出了较高要求要求教师真正的重视学生的探究性学习，更加注重学生“学习能力”、“创新能力”的培养【思路点拨】（i）直接按定义证明即可；（）“至少”问题可采用反证法证明；()把表示出来，再利用均值不等式证明【规范解答】（i）设， 因为，所以, 从而 又由题意知，.当时，; 当时，所以(ii)设， ，. 记，由（i）可知 ， 所以中1的个数为，中1的个数为 设是使成立的的个数，则 由此可知，三个数不可能都是奇数， 即,三个数中至少有一个是偶数（iii）,其中表示中所有两个元素间距离的总和，设中所有元素的第个位置的数字中共有个1，个0则由于所以从而【方法技巧】（1）证明“至少有一个”的时，一般采用反证法；（2）证明不等式时要多观察形式，适当变形转化为基本不等式7.（2010江苏高考23）已知abc的三边长都是有理数。（1） 求证：cosa是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosna是有理数。【命题立意】本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析问题、解决问题的能力。【思路点拨】（1）利用余弦定理表示cosa，由三边是有理数，求得结论；（2）可利用数学归纳法证明.【规范解答】方法一：（1）设三边长分别为，是有理数，是有理数，分母为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，必为有理数，cosa是有理数。（2）当时，显然cosa是有理数；当时，因为cosa是有理数， 也是有理数；假设当时，结论成立，即coska、均是有理数。当时，解得：cosa，均是有理数，是有理数，是有理数。即当时，结论成立。综上所述，对于任意正整数n，cosna是有理数。方法二：（1）由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知是有理数。（2）用数学归纳法证明cosna