【优化探究】高考数学 67 数学归纳法提素能高效训练 新人教A版 理 (1).doc

【优化探究】2015高考数学 6-7 数学归纳法提素能高效训练 新人教a版 理 a组基础演练能力提升一、选择题1凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)边形的对角线的条数f(n1)为()af(n)n1bf(n)ncf(n)n1 df(n)n2解析：边数增加1，顶点也相应增加1个，它与它不相邻的n2个顶点连接成对角线，原来的一条边也成为对角线，因此，对角线增加n1条答案：c2利用数学归纳法证明不等式1f(n)(n2，nn*)的过程，由nk到nk1时，左边增加了()a1项 bk项c2k1项 d2k项解析：1，共增加了2k项答案：d3用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”的第二步是()a假设n2k1时正确，再推n2k3时正确(其中kn*)b假设n2k1时正确，再推n2k1时正确(其中kn*)c假设nk时正确，再推nk1时正确(其中kn*)d假设nk(k1)时正确，再推nk2时正确(其中kn*)解析：n为正奇数，n2k1(kn*)答案：b4在数列an中，a1，且snn(2n1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为()a. b.c. d.解析：由a1，snn(2n1)an求得a2，a3，a4.猜想an.答案：c5已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证()ank1时等式成立 bnk2时等式成立cn2k2时等式成立 dn2(k2)时等式成立解析：n为偶数，故假设nk成立后，再证nk2等式成立答案：b6在用数学归纳法证明f(n)1(nn*，n3)的过程中：假设当nk(kn*，k3)时，不等式f(k)1成立，则需证当nk1时，f(k1)1也成立若f(k1)f(k)g(k)，则g(k)()a. b.c. d.解析：f(k1)，f(k)，f(k1)f(k)，g(k).故选b.答案：b二、填空题7对大于或等于2的自然数m的n次方幂有如下分解方式：2213,32135,421357；2335,337911,4313151719.根据上述分解规律，若n213519，m3(mn*)的分解中最小的数是21，则mn的值为_解析：依题意得n2100，n10.易知m321m2，整理得(m5)(m4)0，又mn*，所以m5，所以mn15.答案：158设数列an的前n项和为sn，且对任意的自然数n都有：(sn1)2ansn.通过计算s1，s2，s3，猜想sn_.解析：由(s11)2s得：s1；由(s21)2(s2s1)s2得：s2；由(s31)2(s3s2)s3得：s3.猜想：sn.答案：9(2014年三亚模拟)用数学归纳法证明123n2，则当nk1时左端应在nk的基础上加上的项为_解析：当nk时，左端为123k(k1)(k2)k2，则当nk1时，左端为123k2(k21)(k22)(k1)2，故增加(k21)(k22)(k1)2.答案：(k21)(k22)(k1)2三、解答题10设f(n)1(nn*)求证：f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)证明：(1)当n2时，左边f(1)1，右边21，左边右边，等式成立(2)假设nk时，结论成立，即f(1)f(2)f(k1)kf(k)1，那么，当nk1时，f(1)f(2)f(k1)f(k)kf(k)1f(k)(k1)f(k)k(k1)k(k1)f(k1)(k1)(k1)f(k1)1，当nk1时结论仍然成立f(1)f(2)f(n1)nf(n)1(n2，nn*)11是否存在正整数m使得f(n)(2n7)3n9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由解析：由f(n)(2n7)3n9得，f(1)36，f(2)336，f(3)1036，f(4)3436，由此猜想：m36.下面用数学归纳法证明：当n1时，显然成立；假设nk时，f(k)能被36整除，即f(k)(2k7)3k9能被36整除；当nk1时，2 (k1)73k19(2k7)3k1272723k193(2k7)3k918(3k11)，由于3k11是2的倍数，故18(3k11)能被36整除，所以当nk1时，f(k1)也能被36整除由可知对一切正整数n都有f(n)(2n7)3n9能被36整除，m的最大值为36.12(能力提升)(2014年徐州模拟)已知数列an中，a1a(a2)，对一切nn*，an0，an1.求证：an2且an10，an1，an220，an2.若存在ak2，则ak12，可推出ak22，a12，与a1a2矛盾，故an2.an1an0，an12)当n1时，a1a2，故命题an2成立；假设当nk时命题成立，即ak2，那么，ak1220.所以ak12，即nk1时命题也成立综上所述，命题an2对一切正整数成立an1an0，an1对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论解析：当n1时，即，所以a.当n1时，已证；假设当nk时，不等式成立，即.则当nk1时，有.因为.所以0，所以当nk1时，不等式也成立由知，对一切正整数n，都有，所以a的最大值等于25.2.如图，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)，pn(xn，yn)(0y1y2yn)是曲线c：y23x(y0)上的n个点，点ai(ai,0)(i1,2,3，n)在x轴的正半轴上，且ai1aipi是正三角形(a0是坐标原点)(1)写出a1，a2，a3；(2)求出点an(an,0)(nn*)的横坐标an关于n的表达式并证明解析：(1)a12，a26，a312.(2)依题意，得xn，yn，由此及y3xn得2(anan1)，即(anan1)22(an1an)由(1)可猜想：ann(n1)(nn*)下面用数学归纳法予以证明：当n1时，命题显然成立假设当nk(kn*)时命题成立，即有akk(k1)，则当nk1时，由归纳假设及(a