山东省冠县武训高级中学高二数学 6.2 算术平均数与几何平均数同步辅导教材.doc

6.2 算术平均数与几何平均数 一、本讲进度 6.2 算术平均数与几何平均数二、本讲主要内容基本不等式：a，b0时，的运用。三、学习指导1、本节给出的两个基本不等式为：a，br时，a2+b22ab（当且仅当a=b时“=”号成立）；a，b0时，a+b2（当且仅当a=b时“=”号成立）。这两个公式的结构完全一致，但适用范围不同。若在非负实数范围之内 ，两个公式均成立，此时应根据题目的条件和结论选用合适的公式及公式的变形：ab，ab。对不等式ab，还有更一般的表达式：|ab|。由高一学习可知，称为a，b的等差中项，称为a，b的等比中项，故算术平均数与几何平均数的定理又可叙述为：“两个正数的等比中项不大于它们的等差中项”。同学们可在二元基本不等式的基础上类比推出三元基本不等式：当a，b，c0时，a+b+c，当且仅当a=b=c时，等号成立，乃至n元基本不等式；当ai0（i=1，2，n）时，a1+a2+an。二元基本不等式的其它表达形式也应记住：当a0，b0时，2，a+2等。当字母范围为负实数时，有时可利用转化思想转化为正实数情形，如a1，0b1，求证：logab+logba-2。解题思路分析：由对数函数可知：，logba0，因此由的结构特点联想到用基本不等式去缩小，但条件显然不满足，应利用相反数的概念去转化。 logab0 2=2 logab+-2即 logab+logba-2当且仅当，loga2b=1，logab=-1时，等号成立，此时ab=1。例2、已知x，y，z均为正数，且xyz(x+y+z)=1，求证：(x+y)(y+z)2。解题思路分析：这是一个含条件的不等式的证明，欲证不等式的右边为常数2，联想到二元基本不等式及条件等式中的“1”。下面关键是凑出因式xyz和x+y+z。对因式(x+y)(y+z)展开重组即可。(x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=(xy+y2+yz)+xz=y(x+y+z)+xz。将y(x+y+z)，xz分别看成是两个因式，得用二元基本不等式： y(x+y+z)+xz=2=2=2当且仅当时等号成立讲评：通过本题的证明，同学们应该知道基本不等式中的a，b不仅指数、字母、单项式，还指多项式，这是数学中的整体思想的一个体现。例3、（1）已知x1，求3x+1的最小值； （2）已知x，y为正实数，且=1，求的最大值； （3）已知x，y为正实数，3x+2y=10，求函数w的最值； （4）已知x0，求函数f(x)=4x+的最小值； （5）已知ab0，求函数y=a+的最小值； （6）求函数y=x(10-x)(14-3x)（0x0，w2=3x+2y+2=10+(3x+2y)=20 w （4）函数式为和的形式，故考虑凑积为常数。分母为x的二次，为使积的结果在分式位置上出现x2，应对4x均匀裂项，裂成两项即可。 f(x)=2x+2x+ （5）本题思路同（1）： y=(a-b)+b+ （6）配x项前面系数为4，使得与后两项和式中的x相消 y=(4x)(10-x)(14-3x) = （7）因式为积的形式，设法凑和为常数，注意到=1为常数，应对解析式平方。 y0，y2= y例4、已知a，b为正实数，2b+ab+a=30，求函数y=的最小值。解题思路分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本题来说，因已知条件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式的途径进行。、法一：，由a0得，0b15令t=b=1，1t1时，m=。解题思路分析：分母与分子是一次与二次的关系，通过换元法可转化为基本不等式型。令 ，则t， 2，当且仅当t=1时等号成立 当c1时，1，t=1在函数定义域（，+）内，ymin=2 当c1时，1，1,+)，等号条件不能成立，转而用函数单调性求解。易证函数在，）上递增 t=，x=0时，ymin=评论：求函数（a0，b0，xc，+），c0）的最小值时，有下列结论（1） 若c，当且仅当x=时，； （2）若c，当且仅当x=c时，。例6、某工厂拟建一座平面图形为矩形且面积为200m2的三级污水处理池（平面图如图），如果池外圈周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建筑单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元，池壁的厚度忽略不计，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低造价。解题思路分析：这是一道应用题，一般说来，涉及到“用料最省”、“造价最低”等实际问题时，考虑建立目标函数，求目标函数的最大值或最小值。在建立关于造价的目标函数时，造价是由池外圈周壁，中间隔墙造价，池底造价三部分组成，造价均与墙壁长度有关，应设相关墙壁长度为未知数。若设污水池长为x米，则宽为（米）水池外圈周壁长：（米）中间隔墙长：（米）池底面积：200（米2）目标函数： 五、同步练习 （一）选择题 1、设a，br，且ab，a+b=2，则下列不等式成立的是（ ）a、 b、c、 d、3、若a，br，且ab+bc+ca=1，则下列不等式成立的是（ ）a、a2+b2+c22 b、(a+b+c)23c、 d、a+b+c4、x0，y0，则下列不等式中等号不成立的是（ ）a、2 b、4c、4 d、5、在下列函数中，最小值为2的是（ ）a、（x0） b、（1x10）c、y=3x+3-x（xr） d、（0x1，y1，lgx+lgy=4，则lgxlgy的最大值是（ ）a、2 b、 c、 d、48、设a0，b0，ab，则下列各式中最小的是（ ）a、 b、 c、 d、9、函数，x（0，的最小值是（ ）a、2 b、 c、 d、不存在10、已知x0，y0，x+y4，则下列不等式成立的是（ ）a、 b、1 c、2 d、1 （二）填空题11、若x0，当x=_时，的最大值是_。13、0x3，当x=_时，最小值是_。15、若x（0，当x=_时，有_值是_。 （三）解答题16、正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：(1-a)(1-b)(1-c)8abc。17、已知a0，b0，ab-(a+b)=1，求a+b的最小值。18、若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。19、已知abc，nn+，且恒成立，求n的最大值。20、某房屋开发公司用100万元购得一块土地，该地可以建造每层1000m2的楼房，楼房的总建筑面积（即各层面积之和）每平方米平均建筑费用与建筑高度有关，楼房每升高一层，整幢楼房每平方米建筑费用提高5%。已知建筑5层楼房时，每平方米建筑费用为400元，公司打算造一幢高于5层的楼房，为了使该楼房每平方和的平均综合费用最低（综合费用是建筑费用与购地费用之和），公司应把楼层建成几层？六、参考答案 （一）选择题1、b。 ab，a0，b0，ab1。2、b。 由ab0得，。3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)ab+bc+ca+2(ab+bc+ca)=3(ab+bc+ca)=3。4、a。 令t=，则t2，在2，+）上递增，即，不能取到最小值2。5、c。 ，当且仅当，x=0时等号成立。6、d。 0，0，当且仅当x=y=时取得最小值。7、d。 xy1，lgx0，lgy0，lgxlgy=，当且仅当lgx=lgy=2，x=y=100时等号成立。8、a。 比较分母a+b，大小即可。a+b,。9、c。 令t=sinx，t（0，在（0，上递减，即时，。10、b。 x0，y0时，。 （二）填空题11、 x0，y=4-2x-，当且仅当-2x=，x2=，x=（舍正）时，等号成立。12、 x0，当且仅当x=，x2=2，x=（舍负）时，等号成立。13、 0x0，y，当且仅当4x=1-4x，x=时等号成立。14、 4，5 x3，x-30，+3+3=5，当且仅当 (x-3)2=1，x=4，或x=2（舍）时等号成立。15、 （三）解答题16、证明： a+b+c=1 1-a=b+c，1-b=a+c，1-c=a=b a0，b0，c0 b+c20 a+c20 a+b20将上面三式相乘得：(b+c)(a+c)(a+b)8abc即 (1-a)(1-b)(1-c)8abc17、解： a0，b0 ab又 ab=a+b+1 a+b+1令 t=a+b t2-4t-40 t2(1+)，或t2(1-)（舍） ，当且仅当a=b=1+时等号成立。评注：本题亦可用消元思想求解。由 ab-(a+b)=1得：+b a+b=1+b=(b-1)+ a0，b0 b1 (b-1)+ a+b，当且仅当b=1+，a=1+时等号成立。18、解：设直角三角形两直角边长分别为a，b，则条件为，目标函数为s=，求s的最大值。令 ab=t则 a+b，a2+b22ab=2t， a+b+ s，当且仅当a=b=时，取得最大值。19、解： a-c0 a令 则 nyn(y)min a-c=(a-b)+(b-c) 4 ymin=4 n4又 nn+ nmax=420、解；设该楼建成n层，则整幢楼每平方米的建筑费用为400+400(x-5)5%（元）又每平方米购地费用为（元）故每平方米的平均综合费用，当且仅当，x2=50，x7时，y最小 大楼应建成7层综合费用最低。七、附录例2的解： (x+y)(y+z)=xy+xz+y2+yz=y(x+y)+z+xz x0，y0，z0 y(x+y=z)0，xz0 y(x+y+z)+xz当且仅当时等