山东省冠县武训高级中学高二数学 7.6曲线和方程同步辅导教材.doc

76曲线和方程 一、本讲进度76曲线和方程 课本第67页至72页二、本讲主要内容1、 理解概念“曲线的方程”和“方程的曲线”。2、 掌握求轨迹方程的步骤和方法。3、 会求两条曲线交点；理解两曲线交点的代数意义。三、学习指导1、理解曲线和方程的对应关系，可从函数图象描点法的角度进行。不是任意的曲线和方程都可以建立对应关系。平面上曲线c和二元方程f(x，y)=0若互相对应，则必须满足课本第68页两个条件，条件（1）称为纯粹性，它强调的是曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外；条件（2）称为完备性，它强调的是符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏。从集合角度理解，若记集合a=p|p为平面曲线c上任一点，集合b=(x，y)|f(x，y)=0，在坐标系这个工具之下，纯粹性、完备性分别指的是：ab，且ba，从而a=b。从定义的性质看，若曲线c与二元方程f(x，y)=0建立了对应关系，则纯粹性强调的是从形到数：（1）点pc，p(x0，y0) f(x0，y0)=0；（2）完备性强调的是从数到形：f(x0，y0)=0点(x0，y0)在曲线c上。2、正因为曲线和方程之间存在对应关系，所以在坐标系这个工具之下，总可以求出某条曲线c对应的方程。这正是解析几何的基本问题之一。从运动的角度看，既然平面内的点与作为它的坐标的有序数对之间建立了一一对应关系，那么它在某种条件下运动形成轨迹c时，其对应的坐标也应当满足某个制约关系式：f(x，y)=0，所以曲线c对应的方程又称为轨迹方程。求轨迹方程的方法一般有：直译法、转移法（代入法）、参数法、几何法。在学习一些基本轨迹之后，还会涉及到定义法、待定系数法。求轨迹方程中的注意点：（1）在设出动点坐标后，应视其为已知量，从而用它去表示其它量，寻找等量关系；（2）求轨迹方程的关键寻找适当的等量关系，这个等量关系可能不直接与动点有关；（3）对原始轨迹方程的化简要同解。一般情况下，纯粹性是满足的，关键是检验完备性。3、直线y=kx+b与二次曲线相交时弦长公式： 或其中，a是直线方程代入二次曲线方程消元后关于x的一元二次方程的二次项系数，x为其判别式。a是直线方程代入二次曲线方程消元后关于y的一元二次方程的二次项系数，y为其判别式。四、典型例题例1、曲线c的方程为(3x-4y-12)lg(x+2y+1)=0，试判断点a(0，-3)，b(0，4)，c(4，0)，d(1，)是否在曲线c上。解题思路分析：将点a、b、c、d的坐标代入方程，检验是否满足方程，若满足，则对应的点在曲线c上；若不满足，则对应点不在曲线c上。也可将曲线c的方程先化简为：（1）x+2y=0，或（2）。代入点a(0，-3)，不满足x+2y+10，点a不在曲线c上；代入点b(0，4)，不满足x+2y=0，或3x-4y-12=0，点b不在曲线c上；代入点c(4，0)，满足（2），点c在曲线c上；同理，点d在曲线c上。例2、已知两点m(1，)，n(-4，)，给出下列方程：4x+2y-1=0，x2+y2=3，=1，-y2=1在曲线存在点p，满足|mp|=|np|的所有曲线方程是a、 b、 c、 d、解题思路分析：先找到满足|mp|=|np|的点p轨迹，即为线段mn中垂线，其方程为2x+y+3=0。其次，因所求点p既在直线2x+y+3=0上，又中的某支曲线上，故点p存在性转化为直线2x+y+3=0与的方程联立后，方程组是否有解。直线2x+y+3=0与表示的直线平行，故曲线上不存在点p；由得：5x2+12x+6=0，1=144-120=240 曲线上存在点p；由得：9x2+24x+16=0，2=0，曲线上存在点p；由得：7x2+24x+20=0，30，曲线上存在点p。综上所述，选d。注：本题将求点p存在的问题转化为两支曲线是否有公共点的问题，是一种典型的求点的方法。由条件|mp|=|np|得到点p轨迹，是轨迹思想的重要运用，同学们应学会将点放在曲线上（即元素属于某个集合）这种重要的思考方法。例3、已知abc的边bc=2，b=2a，求顶点c的轨迹方程。解题思路分析：第一步，建立适当的坐标系，如图，以ab所在直线为x轴，ab中垂线为y轴建立平面直角坐标系；第二步，设点，包括动点c(x，y)及已知的基本点a(-1，0)，b(1，0);第三步，找几何等式由b=2a得：tanb=tan2a，即tanb=；第四步，第几何等式坐标化由正切联系斜率，再联系斜率的坐标公式 tana=，tanb=-kbc= 第五步，化简上述方程 y0（点c与ab共线） y2-(x+1)2=2(x+1)(x-1) 3x2-y2+2x-1=0第六步，检验完备性纯粹性。对完备性通常是删的工作。b=2a 点c在ab中垂线左侧 x0对纯粹性，通常是补的工作。在上述推导过程中，因涉及到bc的斜率，故x1。实际上，当x=1时，bcab a=450 |bc|=|ab|=2 y=2即此时点c(1，2)，检验可知，亦满足方程。刚才的推导是将点c置于ab上方，故方程增加y0的条件。综上所述，当点c在ab上方时，轨迹方程为3x2-y+2x-1=0（x0， y0）当点c在ab下方时，同理可求得点c的轨迹方程为3x2-y2+2x-1=0（x0，y0，y0）注：1、本题通过正切函数将角的等式转化为两条直线斜率之间的关系，等式关系明显，无需多转变，这种求轨迹方程的方法称为直译法。2、对于轨迹的纯粹性和完备性，纯粹性的要求是“补”，补上由形转化为数时，所遗漏的一些点；完备性的要求是“删”，除去方程变形中的增解或数未能准确翻译形的点（集）。例4、过点a（3，2）作一直线，与已知直线3x+2y+6=0相交于b，设p是上的分点，且，求点p轨迹。解题思路分析：可知，点p由点b所决定。因点b的轨迹已知（为直线3x+2y+6=0），若能用点p坐标表示点b坐标，则将点b坐标代入3x+2y+6=0，即得所求点p的轨迹方程。设p(x，y)，b(x0，y0)，由=知 即 3x0+2y0+6=0 3（3x-6）+2(3y-4)+6=0整理得9x+6y-20=0 所求轨迹为直线9x+6y-20=0注：1、本题所采用的方法通常称为转移（或代入法），其特征是动点p（x，y）由某个相交点p(x0，y0)（如本题点b）决定，p轨迹方程已知，f(x0,y0)=0，则只需找到(x，y)与(x0，y0)之间的关系，用x、y表示x0、y0，代入f(x0,y0)=0，所得到的f(x，y)=0即为所求点p轨迹方程。从解题思路上称为转移法，从运算的角度称为代入法。2、本题最后的要求是求轨迹，轨迹指的是具体图形，而轨迹方程则是指的方程，偏重于数。当然具体的轨迹如位置、型状等仍需通过轨迹方程才能确定。例5、射线oa、ob的方程分别为y=x，y=-x（x0），点c、d分别在oa、ob上滑动，则|cd|=4，求cd中点p的轨迹方程。解题思路分析：因点p由c、d确定，故将c、d坐标作为参数。设p（x，y），c（x1，x1），d（x2，-x2），则由|cd|=4得 (x1-x2)2+3(x1+x2)2=48 又 代入式得：化简得9x2+y2=36，即为点p轨迹方程。注：本题欲直接建立x，y的方程较困难，根据中点性质，将c、d坐标作为参数能够很方便地勾通条件与结论。这种方法称为参数法。在其它问题中，参数的类型是相当广泛的，如斜率k、截距b等等。例6、两曲线c1：x2=-4(y-4)，c2：（a0）有四个不同交点，求实数a的取值范围。解题思路分析：根据曲线交点的方程组理论，方程组 x2=-4(y-4) 应有四个不同实数解。消 元得a2y2-36y+9(16-a2)=0(*)考察式，由二次函数的特性可知，对于y0 从而有两个不同的x与之对应，这就得到了关于y轴对称的两个不同的点。由此可知，欲使c1、c2有四个不同交点，只需求关于y的一元二次方程（*）在（-，4）上有两个不同实数解。令 f(y)=a2y2-36y+9(6-a2)由函数图象可知，a必须且只需满足 解之得a例7、求与曲线c：x2-y2=1只有一个公共点的直线方程。解题思路分析：用待定系数法求直线方程，即由条件“只有一个公共点”转化为关于直线方程中参数的方程。1、 当直线l斜率存在时，设l：y=kx+b由已知只有一组实数解消去y得(1-k2)x2-2bkx-(b2+1)=0 （*）则（*）方程只有一个实数解，或若（*）方程为二次方程，则有两个等根。 （1）当1-k2=0，k=1时，（*）方程化为2bx=b2+1或-2bx=b2+1，显然b0时，两方程均有唯一实数解 满足条件的直线l：y=x-b（b0） （2）当1-k20时，k1时，（*）方程为二次方程，由已知，其=4b2k2+4(1-k2)(b2+1-k2)=0 k= k1 b0 满足条件的直线l：y=x+b（b0） 当直线l斜率不存在时，设l：x=a，由已知方程组只有一组解 y2=a2-1，y= 当a2-1=0，a=1时，方程组有唯一解（1，0），或（-1，0） 直线l：x=1综上所述，直线l方程为xyb=0（b0），或yb=0（b0），或x1=0注：1、本题涉及到了二级讨论的分类讨论思想。首先对参数k，需对其存在性进行讨论，接着在这个讨论之下，再对二次项系数是否为零进行讨论，因为法的前提是方程必须为二次方程。2、本题用数解决形的问题的一个典型问题，值得注意的是，由于形和数有各自的语言特点，故在转化时应准确。如题中条件为“只有一个公共点”，转化为数的语言时，若方程是二次方程，则其方程应为两个等根，也就是说=0时，不能说二次方程的等根为一个根。通过进一步的学习可知，“只有一个公共点”包含直线和二次曲线的两种位置：相交、相切，从方程角度看，前者对应着一次方程有唯一解；后者对应着二次方程有等根。五、同步练习（一） 选择题 1、下列各组方程表示相同曲线的是y=x与y= b、(x-1)2+(y+2)2=0与(x-1)(y+2)=0c、 y2=x2与y=|x| d、y=与xy=12、 到两坐标轴距离之和为1的点的轨迹围成图形的面积是a、 1 b、 c、2 d、4 3、动点p（x，y）到定点（3，4）的距离比p到x轴距离多一个单位长，则动点p的轨迹方程是a、 x2-6x-10y+24=0 b、x2-6x-6y+24=0c、x2-6x-10t+24=0或x2-6x-6y+24=0d、 x2-8x-8y+24=04、 到两坐标轴距离之差的绝对值等于2的点的轨迹是a、 二条直线 b、四条直线 c、四条射线 d、八条射线 5、已知两定点a（-a，0），b（a，0）（a0），动直线l1、l2分别绕a点、b点转动，转动中，l1逆时针方向到l2的最小正角等于450，则l1和l2交点m的轨迹方程为a、 (x-a)2+y2=2a2 b、x2+(y-a)2=2a2 c、(x+a)2+y2=2a2 d、x2=(y+a)2=2a2 6、若命题“曲线s上的点坐标满足方程f(x，y)=0”是正确的，则下列诸命题中正确的一个是a、 方程f(x，y)=0的曲线是s b、曲线s是方程f(x，y)=0的轨迹c、满足方程f(x，y)=0的点都在曲线上e、 方程f(x，y)=0的曲线不一定是s7、 已知坐标满足方程f(x，y)=0的点都在曲线c上，则a、 曲线c上的点的坐标都适合方程f(x，y)=0b、 凡坐标不适合f(x，y)=0的点都不在c上c、 不在c上的点的坐标必不适合f(x，y)=0d、 不在c上的点的坐标有些适合f(x，y)=0，有些不适合f(x，y)=0 8、若abc的两个顶点b、c，坐标分别是（-1，0），（2，0），顶点a在直线y=x上移动，则abc重心g的轨迹方程是a、y=x+ b、y=+1 c、y=-1 d、y=x-9、曲线c：（t为参数，b0），则c的普通方程是a、(x-1)2(y-1)=1 b、y=c、y= d、y=10、直线l：y=kx+2与曲线c：x2-y2=6（x0）交于不同两点，则k范围为a、（） b、（0，）c、（，0） d、（，-1）（二） 填空题11、点p在曲线c：y=x2-1上运动，定点a（2，0），延长pa到q，使|aq|=2|ap|，则q点轨迹方程是_。12、点m(cos，sin)，n(cos，sin)（0,）均在直线l：ax+by+c=0（ab0）上，用a、b代数式表示sin(+)=_。13、平行四边形abcd顶点a（3，-1），c（2，-3），顶点d在直线l：3x-y+1=0上运动，则边ab中点p的轨迹方程是_。14、直线l：ax+by+c=0过定点p（2，2），则l被曲线y2=2x所截线段中点m的轨迹方程是_。15、曲线c：（为参数，a、b是正常数，则c的普通方程是_。（三） 解答题16、抛物线p：y=ax2+bx+c（a0），过两点（1，2），（2，-1），（1） 用a表示b，c；（2） 对任意a0，抛物线p不过点（m，m2+1），求m。17、过曲线x2+y2=r2内一定点p（m，n）作弦ab，求ab中点m轨迹方程。18、曲线c：2x2-2xy+y2-6x-4y+27=0上最高点为p，最低点为q，求|pq|。19、是否存在实数a，使曲线y=x2与x2+(y-a)2=1有且只有三个交点？20、abc顶点a（0，3），bc边在x轴上滑动，|bc|=2，求 （1）abc外心m的轨迹方程； （2）过点p（0，2）且被轨迹截得弦长为的直线l方程。六、参考答案（一） 选择题1、d。2、c。 |x|+|y|=1，表示的曲线关于坐标轴及原点对称，故只需求出第一象限内图形，当x0，y0时，x+y=1，将其关于坐标轴及原点对称后得正方形abcd，边长为，s=2。3、a。 当y0时，(x-3)2+(y-4)2=(y+1)2，化简得x2-6x-10y+24=0当y0时，(x-3)2+(y-4)2=(1-y)2，(x-3)2=6y-15 6y-150）当x=a时，m（a，2a）亦满足方程。6、d。7、c。8、d。 设g（x，y），a（x0，y0）则 代入y0=x0得3x-1=3y y=x-9、b。 消去参数t即可，将t=代入y=1-t2， y10、d。 由已知方程组在x(0，+)上有两个不同的实数解消去y得(1-k2)x2-4kx-10=0 （二） 填空题11、x2-12x+2y+32=0。设q(x，y)，p(x0，y0) 代入y0=x02-1化简即可。12、。， 13、3x-y-15=0。设p(x，y)，平行四边形对角线交点为q，则q（，-2），b（2x-3，2y+1）又设点q（x0，y0）则 代入3x0-y0+1=0即可14、y2-x-2y+2=0。设线段ab，a(x1,y1)，b(x2，y2)中点m(x0，y0)则 相减得(y1-y2)(y1+y2)=2(x1-x2) 又 y