浙江省各市中考数学分类解析 专题9 三角形.doc

浙江11市2012年中考数学试题分类解析汇编专题9：三角形1、 选择题1.（2012浙江杭州3分）如图，在rtabo中，斜边ab=1若ocba，aoc=36，则【 】a点b到ao的距离为sin54 b点b到ao的距离为tan36c点a到oc的距离为sin36sin54d点a到oc的距离为cos36sin54【答案】c。【考点】平行线的性质，点到直线的距离，锐角三角形函数定义。【分析】由已知，根据锐角三角形函数定义对各选项作出判断：a、由于在rtabo中aob是直角，所以b到ao的距离是指bo的长。aboc，bao=aoc=36。在rtboa中，aob =90，ab=1，bo=absin36=sin36。故本选项错误。b、由a可知，选项错误。c、如图，过a作adoc于d，则ad的长是点a到oc的距离。 在rtboa中，bao=36，aob=90，abo=54。ao=ab sin54= sin54。在rtado中， ad=aosin36=absin54sin36=sin54sin36。故本选项正确。d、由c可知，选项错误。故选c。3.（2012浙江湖州3分）如图，在rtabc中，acb=90，ab=10，cd是ab边上的中线，则cd的长是【 】a20 b10 c5 d 【答案】c。【考点】直角三角形斜边上的中线性质。【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半，即可求出cd的长：在rtabc中，acb=90，ab=10，cd是ab边上的中线，cd=ab=5。故选c。4. （2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，a、b两点在河的两岸，要测量这两点之间的距离，测量者在与a同侧的河岸边选定一点c，测出ac=a米，a=90，c=40，则ab等于【 】米aasin40bacos40catan40d【答案】c。【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。【分析】abc中，ac=a米，a=90，c=40，ab=atan40。故选c。5. （2012浙江宁波3分）如图，在rtabc中，c=90，ab=6，cosb=，则bc的长为【 】a4b2cd【答案】a。【考点】锐角三角函数的定义。【分析】cosb=，。 又ab=6，。故选a。二、填空题1. （2012浙江湖州4分）如图，将正abc分割成m个边长为1的小正三角形和一个黑色菱形，这个黑色菱形可分割成n个边长为1的小三角形，若，则abc的边长是 【答案】12。【考点】一元二次方程的应用（几何问题），菱形的性质，等边三角形的性质，锐角三角函数定义。【分析】设正abc的边长为x，则由勾股定理，得高为，。所分成的都是正三角形，根据锐角三角函数定义，可得黑色菱形的较长的对角线为 ，较短的对角线为。黑色菱形的面积=。，整理得，11x2144x144=0。解得（不符合题意，舍去），x2=12。所以，abc的边长是12。2. （2012浙江、舟山嘉兴5分）如图，在rtabc中，abc=90，ba=bc点d是ab的中点，连接cd，过点b作bg丄cd，分别交gd、ca于点e、f，与过点a且垂直于的直线相交于点g，连接df给出以下四个结论：；点f是ge的中点；af=ab；sabc=5sbdf，其中正确的结论序号是 【答案】。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】在rtabc中，abc=90，abbc。又agab，agbc。afgcfb。ba=bc，。故正确。abc=90，bgcd，dbe+bde=bde+bcd=90。dbe=bcd。ab=cb，点d是ab的中点，bd=ab=cb。又bg丄cd，dbe=bcd。在rtabg中，。，fg=fb。故错误。afgcfb，af：cf=ag：bc=1：2。af=ac。ac=ab，af=ab。故正确。设bd= a，则ab=bc=2 a，bdf中bd边上的高=。sabc=， sbdfsabc=6sbdf，故错误。因此，正确的结论为。三、解答题1. （2012浙江丽水、金华6分）学校校园内有一小山坡ab，经测量，坡角abc30，斜坡ab长为12米为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡bd的坡比是1：3(即为cd与bc的长度之比)a，d两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度ad【答案】解：在rtabc中，abc30，acab6，bcabcosabc12。斜坡bd的坡比是1：3，cd。adaccd6。答：开挖后小山坡下降的高度ad为(6)米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】在直角abc中，利用三角函数即可求得bc、ac的长，然后在直角bcd中，利用坡比的定义求得cd的长，根据adaccd即可求解。2. （2012浙江绍兴8分）如图1，某超市从一楼到二楼的电梯ab的长为16.50米，坡角bac为32。（1）求一楼于二楼之间的高度bc（精确到0.01米）；（2）电梯每级的水平级宽均是0.25米，如图2小明跨上电梯时，该电梯以每秒上升2级的高度运行，10秒后他上升了多少米（精确到0.01米）？备用数据：sin32=0.5299，con32=0.8480，tan32=6249。【答案】解：（1）sinbac=，bc=absin32=16.500.52998.74米。（2）tan32=，级高=级宽tan32=0.250.6249=0.156225电梯以每秒上升2级，10秒钟电梯上升了20级。小明上升的高度为：200.1562253.12米。【考点】解直角三角形的应用（坡度坡角问题），锐角三角函数定义。【分析】（1）直接根据正弦函数定义可求一楼于二楼之间的高度bc。（2）由每级的水平级宽均是0.25米，根据正切函数定义可求每级的级高，从而由电梯以每秒上升2级可得电梯上升的级数，因此即可求得小明上升的高度。3. （2012浙江绍兴10分）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念。定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。举例：如图1，若pa=pb，则点p为abc的准外心。应用：如图2，cd为等边三角形abc的高，准外心p在高cd上，且pd=ab，求apb的度数。探究：已知abc为直角三角形，斜边bc=5，ab=3，准外心p在ac边上，试探究pa的长。【答案】解：应用：若pb=pc，连接pb，则pcb=pbc，cd为等边三角形的高，ad=bd，pcb=30。pbd=pbc=30，pd=db=ab。与已知pd=ab矛盾，pbpc。若pa=pc，连接pa，同理可得papc。若pa=pb，由pd=ab，得pd=ad =bd，apd=bpd=45。apb=90。探究：bc=5，ab=3，ac=。若pb=pc，设pa=，则，即pa=。若pa=pc，则pa=2。若pa=pb，由图知，在rtpab中，不可能。pa=2或。【考点】新定义，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质，勾股定理。【分析】应用：连接pa、pb，根据准外心的定义，分pb=pc，pa=pc，pa=pb三种情况利用等边三角形的性质求出pd与ab的关系，然后判断出只有情况是合适的，再根据等腰直角三角形的性质求出apb=45，然后即可求出apb的度数。探究：先根据勾股定理求出ac的长度，根据准外心的定义，分pb=pc，pa=pc，pa=pb三种情况，根据三角形的性质计算即可得解。4. （2012浙江绍兴12分）小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。【思考题】如图，一架2.5米长的梯子ab斜靠在竖直的墙ac上，这时b到墙c的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点b将向外移动多少米？（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：解：设点b将向外移动x米，即bb1=x，则b1c=x+0.7，a1c=acaa1=而a1b1=2.5，在rta1b1c中，由得方程 ，解方程得x1= ，x2= ，点b将向外移动 米。（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从a处沿墙ac下滑的距离与点b向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？请你解答小聪提出的这两个问题。【答案】解：（1）；0.8，2.2（舍去）；0.8。（2）不会是0.9米，理由如下：若aa1=bb1=0.9，则a1c=2.40.9=1.5，b1c=0.7+0.9=1.6，1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，该题的答案不会是0.9米。有可能。理由如下：设梯子顶端从a处下滑x米，点b向外也移动x米，则有，解得：x=1.7或x=0（舍去）。当梯子顶端从a处下滑1.7米时，点b向外也移动1.7米，即梯子顶端从a处沿墙ac下滑的距离与点b向外移动的距离有可能相等。【考点】勾股定理的应用，一元二次方程的应用。【分析】（1）直接把b1c、a1c、a1b1的值代入进行解答即可。（2）把（1）中的0.4换成0.9可知原方程不成立；设梯子顶端从a处下滑x米，点b向外也移动x米代入（1）中方程，求出x的值符合题意。5. （2012浙江台州8分）如图，为测量江两岸码头b、d之间的距离，从山坡上高度为50米的a处测得码头b的俯角eab为15，码头d的俯角ead为45，点c在线段bd的延长线上，acbc，垂足为c，求码头b、d的距离（结果保留整数）【答案】解：aebc，adc=ead=45。 又accd，cd=ac=50。 aebc，abc=eab=15。 又， 。 bd185.250135（米）。答：码头b、d的距离约为135米。【考点】解直角三角形的应用（仰角俯角问题），等腰直角三角形的性质，平行的性质，锐角三角函数定义。【分析】由eab=15，根据平行的性质，可得abc=eab=15。从而解直角三角形abc可求得bc的长。由adc=ead=45可得cd=ac=50。从而由bd=bccd可求得b、d的距离。6. （2012浙江台州12分）已知，如图1，abc中，ba=bc，d是平面内不与a、b、c重合的任意一点，abc=dbe，bd=be（1）求证：abdcbe；（2）如图2，当点d是abc的外接圆圆心时，请判断四边形bdce的形状，并证明你的结论【答案】（1）证明：abc=dbe，abc+cbd=dbe+cbd。abd=cbe。在abd与cbe中，ba=bc，abd=cbe，bd=be，abdcbe（sas） 。（2）解：四边形bdef是菱形。证明如下：由（1）abdcbe，ce=ad。点d是abc外接圆圆心，da=db=dc。又bd=be，bd=be=ce=cd。四边形bdce是菱形。【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外接圆的性质，菱形的判定。【分析】（1）由abc=dbe，根据等量加等量和相等，得abd=cbe，从而根据sas即可证得结论。（2）由三角形外接圆圆心到三个顶点距离相等的性质和（1）的结论，得到四边形四边相等，从而得出结论。7. （2012浙江温州9分）某海滨浴场东西走向的海岸线可以近似看作直线l(如图).救生员甲在a处的瞭望台上观察海面情况，发现其正北方向的b处有人发出求救信号，他立即沿ab方向径直前往救援，同时通知正在海岸线上巡逻的救生员乙.乙马上从c处入海,径直向b处游去.甲在乙入海10秒后赶到海岸线上的d处,再向b处游去.若cd=40米,b在c的北偏东35方向,甲乙的游泳速度都是2米/秒.问谁先到达b处？请说明理由.(参考数据：sin550.82,cos550.57,tan551.43)8. （2012浙江义乌6分）如图，在abc中，点d是bc的中点，作射线ad，在线段ad及其延长线上分别取点e、f，连接ce、bf添加一个