【优化方案】高考数学 3.5 数列的综合应用课时闯关（含解析）.docVIP

3.5 数列的综合应用 课时闯关（含答案解析）一、选择题1数列an的通项公式是关于x的不等式x2xnx(nn*)的解集中的整数个数，则数列an的前n项和sn()an2bn(n1)c. d(n1)(n2)解析：选c.x2(n1)x0，0xn1，xn*，x1,2,3，n.sn.2(2013陕西西安五校联考)已知函数f(x)x2bx的图象在点a(1，f(1)处的切线l与直线3xy20平行，若数列的前n项和为sn，则s2 013的值为()a. b.c. d.解析：选c.函数f(x)x2bx的图象的切线的斜率为f(x)2xb，函数f(x)x2bx的图象在点a(1，f(1)处的切线l的斜率为k2b.切线l与直线3xy20平行，2b3，即b1.f(x)x2x，s2 0131.3设f(x)是定义在r上恒不为零的函数，且对任意的实数x，yr，都有f(x)f(y)f(xy)，若a1，anf(n)(nn*)，则数列an的前n项和sn的取值范围是()a，2) b，2c，1 d，1)解析：选d.由已知可得a1f(1)，a2f(2)f2(1)()2，a3f(3)f(2)f(1)f3(1)()3，anf(n)fn(1)()n，sn()2()3()n1()n，nn*，sn0.q1.q2(1)232.二、填空题6如图，一条螺旋线是用以下方法画成：abc是边长为1的正三角形，曲线ca1、a1a2、a2a3分别是以a、b、c为圆心，ac、ba1、ca2为半径画的弧，曲线ca1a2a3称为螺旋线旋转一圈然后又以a为圆心，aa3为半径画弧，这样画到第n圈，则所得螺旋线的长度ln_(用弧度制表示即可)解析：依题意，螺旋线第一圈的长度为(123)，第二圈的长度为(456)，第三圈的长度为(789)，依次类推，第n圈的长度为(3n2)(3n1)3n，所以螺旋线的总长度：ln(1233n)(3n2n).答案：(3n2n)7已知函数f(x)是周期为4的函数，当0x4时，f(x)|x2|1，若f(x)的图象与射线y(x0)的交点的横坐标由小到大依次组成数列an，则|a2a1|_；|anan1|_.解析：由题意知，当0x4时，f(x)，因为函数f(x)的周期为4，所以画出函数f(x)及射线y(x0)的图象如图所示，易知|a2a1|3.同理由图可知|anan1|3或|anan1|1.答案：33或18(2012高考四川卷)记x为不超过实数x的最大整数例如，22，1.51，0.31.设a为正整数，数列xn满足x1a，xn1(nn*)现有下列命题：当a5时，数列xn的前3项依次为5,3,2；对数列xn都存在正整数k，当nk时总有xnxk；当n1时，xn1；对某个正整数k，若xk1xk，则xk其中的真命题有_(写出所有真命题的编号)解析：对于，当a5时，x15，x23，x32，因此正确对于，注意到当a3时，x13，x22，x31，x42，x51，x62，x71，此时数列xn除第一项外，从第二项起以后的项以2为周期重复出现，因此此时不存在正整数k，使得当nk时总有xnxk，故不正确对于，因为xnn*，且x1a，x1(1)a120，即x11，若xn是正奇数，则xn11；若xn是正偶数，则xn11.综上所述，xn1成立，因此正确对于，因为xk1xk0，所以xk0，即xk0，xkxk0，xk0，xk.又由知xk1，于是有1xk，因此有xk，故正确综上所述，其中的真命题是.答案：三、解答题9在数1和100之间插入n个实数，使得这n2个数构成递增的等比数列，将这n2个数的乘积记作tn，再令anlg tn，n1.(1)求数列an的通项公式；(2)设bntan antan an1，求数列bn的前n项和sn.解：(1)设t1，t2，tn2构成等比数列，其中t11，tn2100，则tnt1t2tn1tn2，tntn2tn1t2t1.并利用titn3it1tn2102(1in2)，得 t(t1tn2)(t2tn1)(tn1t2)(tn2t1)102(n2)anlg tnn2，n1.(2)由题意和(1)中计算结果，知bntan(n2)tan(n3)，n1.由tan 1tan(k1)k，得tan(k1)tan k1.snbitan(k1)tan k n.10假设某市2 013年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是经济适用房，预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每年新建住房中，经济适用房的面积均比上一年增加50万平方米，那么，到哪一年底，该市历年所建经济适用房的累计面积(以2 013年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？解：设经济适用房面积形成数列an，由题意可知an是等差数列其中a1250，d50.则sn250n5025n2225n，令25n2225n4750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2 022年底，该市历年所建经济适用房的累计面积将首次不少于4 750万平方米11(2012高考大纲全国卷)函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过两点p(4,5)、qn(xn，f(xn)的直线pqn与x轴交点的横坐标(1)证明：2 xnxn13；(2)求数列xn的通项公式解：(1)证明：用数学归纳法证明：2xnxn13.当n1时，x12，直线pq1的方程为y5(x4)，令y0，解得x2，所以2x1x23.假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线pqk1的方程为y5(x4)，令y0，解得xk2.由归纳假设知xk240，即