解一元二次方程--因式分解法.doc

解一元二次方程-因式分解法一、学习目标1会用因式分解法解一元二次方程；2会用换元法解一元二次方程；3灵活选用简便的方法解一元二次方程.二、知识回顾1分解因式的常用方法有哪些？（1）提取公因式法：am+bm+cm=m(a+b+c)（2）公式法：，（3）十字相乘法：三、新知讲解1因式分解法把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式.当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为因式分解法.2因式分解法解一元二次方程的步骤：把方程的右边化为0；用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3因式分解法的条件、理论依据因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.四、典例探究1用因式分解法解一元二次方程【例1】用因式分解法解方程：（1）2(2x1)2=(12x)；（2）4(y2)2=(y3)2.总结：用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.因式分解法解一元二次方程的步骤：（1）把方程的右边化为0；（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.练1:用因式分解法解方程：x26x+9=（52x）22用换元法解一元二次方程【例2】解方程（x1）25（x1）+4=0时，我们可以将x1看成一个整体，设x1=y，则原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，即x1=1，解得x=2；当y=4时，即x1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5利用这种方法求方程（2x+5）24（2x+5）+3=0的解总结：换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解. 解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的练2:若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b2）8=0，则a+b=_练3: 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.3灵活选用方法解一元二次方程【例3】选择适当方法解下列方程：（1）x25x+1=0；（2）3（x2）2=x（x2）；（3）2x22x5=0；（4）（y+2）2=（3y1）2总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用. （1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单.（4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.练4:选择合适的方法解下列方程.（1）x25x6=0；（2）3x24x1=0；（3）x（x1）=33x；（4）x22x+1=0五、课后小测一、选择题1方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）A. x1=-16，x2=8 B. x1=16，x2=-8 C. x1=16，x2=8 D. x1=-16，x2=-82. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ）A. B. C. D.3.方程x22x=3可以化简为（）A（x3）（x+1）=0 B（x+3）（x1）=0C（x1）2=2 D（x1）2+4=0二、填空题4解一元二次方程x2+2x3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程5方程x（x+1）=2（x+1）的解是6已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为三、解答题7解下列方程：（1）x22x+1=0 （2）x22x2=0（3）（x3）2+2（x3）=08解下列方程：（1）x24x3=0（2）（x2）2=3（x2）（3）2（x）2（x）1=09为了解方程（x21）25（x21）+4=0，我们可以将x21看作一个整体，然后设x21=y，则（x21）2=y2，那么原方程可化为y25y+4=0，解得y1=1，y2=4当y=1时，x21=1，x2