【全程复习方略】高中数学 课时提升卷(十四) 2.3.1 双曲线及其标准方程 新人教A版选修21.doc

双曲线及其标准方程（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013安阳高二检测)双曲线x210-y22=1的焦距为()a.32b.4c.23d.432.焦点在坐标轴上,中心在原点,且经过点p(27,3)和q(-7,-62)的双曲线方程是()a.x225-y275=1b.x275-y225=1c.x2125-y2175=1d.x2175-y2125=13.设是三角形的一个内角,且sin+cos=15,则方程x2sin+y2cos=1所表示的曲线为()a.焦点在x轴上的椭圆b.焦点在y轴上的椭圆c.焦点在x轴上的双曲线d.焦点在y轴上的双曲线4.已知abp的顶点a,b分别为双曲线c:x216-y29=1的左、右焦点,顶点p在双曲线c上,则|sina-sinb|sinp的值等于()a.7b.74c.54d.455.(2013深圳高二检测)已知f1,f2为双曲线c:x2-y2=2的左、右焦点,点p在c上,|pf1|=2|pf2|,则cosf1pf2=()a.14b.35c.34d.45二、填空题(每小题8分,共24分)6.(2013宜春高二检测)双曲线8kx2-ky2=8的一个焦点为(0,3),则k的值为.7.已知双曲线的两个焦点为f1(-5,0),f2(5,0),p是此双曲线上的一点,且pf1pf2,|pf1|pf2|=2,则该双曲线的方程是.8.与圆a:(x+5)2+y2=49和圆b:(x-5)2+y2=1都外切的圆的圆心p的轨迹方程为.三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.已知与双曲线x216-y29=1共焦点的双曲线过点p(-52,-6),求该双曲线的标准方程.10.双曲线x29-y216=1的两个焦点为f1,f2,点p在双曲线上.若pf1pf2,求点p到x轴的距离.11.(能力挑战题)某工程需要开挖一个横截面为半圆的柱形隧道,挖出的土只能沿道路ap,bp运到p处(如图),|ap|=100m,|bp|=150m,apb=60,试说明怎样运土才能最省工.答案解析1.【解析】选d.在方程x210-y22=1中,a2=10,b2=2,c2=a2+b2=12,即c=23,焦距2c=43.2.【解析】选a.设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn0),把p,q两点的坐标代入,得m(27)2-n32=1,m(-7)2-n(-62)2=1,解得m=125,n=175.所以双曲线的标准方程是x225-y275=1.3.【解析】选c.由sin+cos=15得sincos0,cos0,方程表示的是焦点在x轴上的双曲线,故选c.4.【解题指南】使用abp中的正弦定理.【解析】选d.在abp中,根据正弦定理得|sina-sinb|sinp=|pb|-|pa|ab|.由条件可知,c2=16+9=25,|ab|=2c=10,且|pb|-|pa|=2a=8,|sina-sinb|sinp=2a2c=810=45.5.【解题指南】利用双曲线的定义求出|pf1|,|pf2|和|f1f2|的大小,再由余弦定理求得cosf1pf2.【解析】选c.双曲线x2-y2=2化为标准形式为x22-y22=1.这里a=2,c2=4即c=2.由定义|pf1|-|pf2|=2a=22.|pf2|=22,|pf1|=42.又|f1f2|=2c=4,cosf1pf2=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|pf2|=32+8-1624222=34.【变式备选】设f1,f2为曲线c1:x26+y22=1的左、右两个焦点,p是曲线c2:x23-y2=1与c1的一个交点,则pf1f2的面积为()a.22b.2c.1d.14【解析】选b.由椭圆c1与双曲线c2的标准方程可知,两曲线的焦点相同.不妨设p点在双曲线c2的右支上.由椭圆和双曲线的定义可得|pf1|+|pf2|=26,|pf1|-|pf2|=23,解得|pf1|=6+3,|pf2|=6-3.又|f1f2|=26-2=4,由余弦定理得:cosf1pf2=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|pf2|=(6+3)2+(6-3)2-162(6+3)(6-3)=13,sinf1pf2=1-cos2f1pf2=232,spf1f2=12|pf1|pf2|sinf1pf2=2.6.【解析】双曲线的一个焦点为(0,3),双曲线焦点在y轴上且c=3.双曲线方程可化为y2-8k-x2-1k=1,-9k=32,解得k=-1.答案:-1【变式备选】(2013唐山高二检测)双曲线x2m-y23m=1的一个焦点是(0,2),则实数m的值是.【解析】由条件可知,双曲线焦点在y轴上且c=2,方程可化为y2-3m-x2-m=1,则-3m-m=4,解得m=-1.答案:-17.【解析】|f1f2|=2c=25,pf1pf2,|pf1|2+|pf2|2=(2c)2=20,(|pf1|-|pf2|)2+2|pf1|pf2|=20.|pf1|pf2|=2,|pf1|-|pf2|=4=2a,即a2=4.又c2=5,b2=c2-a2=1.故方程为x24-y2=1.答案:x24-y2=1【拓展提升】焦点三角形问题若点p是双曲线上的点,该点往往要与f1,f2连接构成焦点三角形,这里一般要首先具备定义,即|pf1|-|pf2|=2a,其中“”应根据p离f1,f2的“远”或“近”来确定.另外常用到余弦定理、勾股定理和面积公式等.8.【解题指南】结合圆与圆的位置关系及双曲线的定义求p的轨迹方程.【解析】设动圆p的半径为r,且p(x,y),则|pa|=r+7,|pb|=r+1,|pa|-|pb|=60,b0).依题意,c=5,b2=c2-a2=25-a2,故双曲线方程可写为x2a2-y225-a2=1,点p(-52,-6)在双曲线上,(-52)2a2-(-6)225-a2=1.化简得,4a4-129a2+125=0,解得a2=1或a2=1254.又当a2=1254时,b2=25-a2=25-1254=-2540,不合题意,舍去,故a2=1,b2=24.所求双曲线的标准方程为x2-y224=1.10.【解题指南】这是一道典型的与焦点三角形有关的问题.可设点p(x0,y0),则|y0|就是点p到x轴的距离,故只需求出点p的纵坐标即可.【解析】设p点为(x0,y0),而f1(-5,0),f2(5,0),则pf1=(-5-x0,-y0),pf2=(5-x0,-y0).pf1pf2,pf1pf2=0,即(-5-x0)(5-x0)+(-y0)(-y0)=0,整理,得x02+y02=25.又p(x0,y0)在双曲线上,x029-y0216=1.联立,得y02=25625,即|y0|=165.因此点p到x轴的距离为165.11.【解析】如图,以ab所在直线为x轴,ab的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系,设m是分界线上的点,则|ma|+|pa|=|mb|+|pb|,于是有|ma|-|mb|=|pb|-|pa|=150-100=50,这说明分界线是以a,b为焦点的双曲线的右支.在ap