【全程复习方略】高中数学 8.9抛物线课时提能训练 苏教版.doc

【全程复习方略】2013版高中数学 8.9抛物线课时提能训练 苏教版 (45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012淮安模拟)抛物线y2=-8x的焦点坐标为_.2.设抛物线y2=8x上一点p到y轴的距离是4，则点p到该抛物线焦点的距离是_.3.已知抛物线y=ax2(ar)的准线方程为y=-1,则a=_.4.以抛物线y24x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为_.5.以抛物线y=x2的焦点为圆心，3为半径的圆与直线4x+3y+2=0相交所得的弦长为_.6.已知抛物线c:y2=4x的焦点为f，直线y=2x-4与c交于a,b两点，则cosafb=_.7.p是抛物线y=x2上任意一点，则当p点到直线x+y+2=0的距离最小时，p点与该抛物线的准线的距离是_.8.已知抛物线y2=2px(p0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于a、b两点,若线段ab的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为_.二、解答题(每小题15分，共45分)9.(2012盐城模拟)已知抛物线c：y2=2px(p0)的准线为l，焦点为f.m的圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切.过原点o作倾斜角为的直线n，交l于点a，交m于另一点b，且ao=ob=2.(1)求m和抛物线c的方程；(2)若p为抛物线c上的动点，求的最小值.10.(2011江西高考)已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点，斜率为的直线交抛物线于a(x1,y1)，b(x2,y2)(x10)与圆c2:x2+y2=交于m、n两点，且mon=120(1)求抛物线c1的方程；(2)设直线l与圆c2相切.若直线l与抛物线c1也相切，求直线l的方程；若直线l与抛物线c1交于不同的a、b两点，求的取值范围.【探究创新】(15分)已知抛物线x22y的焦点为f，准线为l，过l上一点p作抛物线的两条切线，切点分别为a、b.某学习小组在研究讨论中提出如下三个猜想：(1)直线pa、pb恒垂直；(2)直线ab恒过焦点f；(3)等式中的恒为常数现请你一一进行论证答案解析1.【解析】2p=8，=2，f(-2，0).答案：(-2，0)2.【解析】点p到y轴的距离是4，延长使得和准线相交于点q，则|pq|等于点p到焦点的距离，而|pq|=6，所以点p到该抛物线焦点的距离为6.答案：6【方法技巧】抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离的求解技巧抛物线上的点到焦点的距离与抛物线上的点到准线的距离经常发生联系：(1)若求点到焦点的距离，则可联想点到准线的距离；(2)若求点到准线的距离，则经常联想点到焦点的距离.解题时一定要注意.3.【解题指南】先将抛物线方程化成标准形式，再由准线方程确定a的符号及取值.【解析】因为抛物线y=ax2可化为x2=y，又因为其准线方程为y=-1，所以=1，即p=2；因此所以a=答案:4.【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为r=1，故所求圆的方程为(x-1)2+y2=1，即x2-2x+y2=0.答案：x2+y2-2x=05.【解析】因为抛物线y=x2的标准方程为x2=4y，所以，焦点坐标为(0,1)，即圆心坐标为(0,1)，它到直线4x+3y+2=0的距离为所以弦长为答案：6.【解析】由题知f(1,0)，联立消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.不妨设a在x轴上方，于是a,b的坐标分别为(4,4),(1,-2),可求|ab|=3|af|=5,|bf|=2,利用余弦定理得cosafb=答案：7.【解题指南】先根据题设条件求出点p的坐标，再根据抛物线的性质求出点p到准线的距离即可.【解析】由题意，抛物线的准线方程是y=p点到直线x+y+2=0的距离最小时，点p处的切线必与直线x+y+2=0平行，故令y=2x=-1，得得点p的纵坐标为所以p点与该抛物线的准线的距离是答案：8.【解析】方法一：设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意知直线ab的方程为：y=与y2=2px联立得:y2-2py-p2=0,y1+y2=2p,由题意知：y1+y2=4,p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1,故选b.方法二:设a(x1,y1),b(x2,y2),由题意得y1+y2=4,y12=2px1,y22=2px2,两式相减得：kab=p=2,抛物线的方程为y2=4x,其准线方程为x=-1.答案：x=-1【方法技巧】弦中点问题的常用结论及求解技巧(1)对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解,在使用根与系数的关系时，要注意使用条件是0. (2)在椭圆(ab0)中，以p(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=(3)在双曲线 (a0,b0)中，以p(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=(4)在抛物线y2=2px(p0)中，以p(x0,y0)(y00)为中点的弦所在直线的斜率k=9.【解析】(1)因为=oacos60=2=1，即p=2，所以抛物线c的方程为y2=4x.设m的半径为r，则所以m的方程为(x-2)2+y2=4.(2)设p(x，y)(x0)，则=(2-x，-y)(1-x，-y)=x2-3x+2+y2=x2+x+2，所以当x=0时，有最小值为2.10.【解析】(1)抛物线y22px(p0)的焦点坐标为(,0)，所以直线ab过点(,0)，斜率为2，所以直线ab的方程是y=2(x-)，与抛物线方程y2=2px联立，消去y得：4x2-5px+p2=0，所以x1+x2=，由抛物线的定义得：|ab|=x1+x2+p=9，解得p=4，因此抛物线方程为：y2=8x.(2)由p=4及4x2-5px+p2=0得x2-5x+4=0，解得：x11,x2=4,y1=-2,y2=4，从而a(1,-2),b(4,4)，设c(x3,y3)，则有=(x3,y3),=(1,-2)+(4,4)=(1+4,-2+4),又因为所以(x3,y3)=(1+4,-2+4)，即x3=1+4，y3=-2+4， 又因为y32=8x3，即(-2+4)2=8(1+4)，即(2-1)2=4+1，解得=0或=2【变式备选】动点p在x轴与直线l：y=3之间的区域(含边界)上运动，且到点f(0,1)和直线l的距离之和为4(1)求点p的轨迹c的方程；(2)过点q(0,-1)作曲线c的切线，求所作的切线方程.【解析】(1)设p(x,y)，根据题意，得化简，得y=x2(y3) (2)设过q的切线方程为y=kx-1(易知k存在)，代入抛物线方程，整理得x2-4kx+4=0由16k2-16=0，解得k=1.于是所求切线方程为y=x-1.11【解析】(1)因为mon=120，所以om与x轴正半轴成30角，所以点m的坐标为()，代入抛物线方程得()2=2p，求得p=1，所以抛物线c1的方程为x2=2y.(2)当直线l的斜率不存在，即直线垂直于x轴时，不合题意.故可设l:y=kx+b，即kx-y+b=0，因为l与圆c2相切，所以即9b2=16(k2+1) ()设直线l与抛物线c1:x2=2y即y=x2相切于点t(t，t2)，因为函数y=x2的导数为y=x，所以 ()由()、()解得所以直线l的方程为y=-x-4或y=x-4.由得x2-2kx-2b=0，设a(x1,y1),b(x2,y2)则x1+x2=2k，x1x2=-2b，且由=4k2+8b0得k2+2b0 ()由()、()可得解得b或b-4，所以=x1x2+y1y2=(x1x2)2+x1x2=b2-2b-,+)，即的取值范围是-，+).【变式备选】如图a-b-c-d-e-f是一个滑滑板的轨道截面图，其中ab，de，ef是线段，b-c-d是一抛物线弧；点c是抛物线的顶点，直线de与抛物线在d处相切，直线l是地平线.已知点b离地面的高度是9米，离抛物线的对称轴的距离是6米，直线de与l的夹角是45.试建立直角坐标系：(1)求抛物线方程，并确定d点的位置；(2)现将抛物线弧b-c-d改造成圆弧，要求圆弧经过点b、d，且与直线de在d处相切.试判断圆弧与地平线l的位置关系，并求该圆弧长.(可参考数据=1.73，=1.41，=3.14，精确到0.1米)【解析】(1)以c为原点，l所在的直线为x轴，如图所示建立直角坐标系,则b(-6，9).设抛物线的方程为y=ax2，把点b(6，9)代入y=ax2得a=，故抛物线方程为y=x2.设d(x0,x02)，根据直线de与l的夹角是45得直线de的斜率为1，由y=x，x01，x0=2，故d点的坐标是(2,1).(2)设所求圆的圆心为h.过d与de垂直的直线方程是l1：y=-x+3，bd的中点坐标是(-2,5)，kbd=-1,故bd中垂线方程是y=x+7，由得x=-2,y=5.h(-2,5).b(6,9)l1,bd是直径.bd=半径r=圆心h到l的距离d=5，d=5=r,故圆弧与地平线l相交.【探究创新】【证明】(1)由x22y，得y对其求导，得yx，设a(x1,)、b(x2,),则直线pa、pb的斜率分别为kpax1，kpbx2，由点斜式得直线pa的方程为y-x1(xx1)，即yx1x ，同理，直线pb的方程为yx2x ，由、两式得点p坐标为()，点p在准线y上，即x1x21.kpakpbx1x21，papb，猜想(1)是正确的(2)直线ab的斜率k由点斜式得直线ab的方程为将上式变形并注意到x1x21，得y显然，直线ab恒过焦点f(0，)，猜想(2)是正确的(3)当abx轴时，根据抛物线的对称性知a(1，)、b(1,)或a(1，)、b(1，)，这时点p的坐标为(0，).1，有1.下面证必成立，x1x2(x121)(x221)x1x2(x12x22x12x221)x1x2(x1x2)22x1x2(x1x2)211(1)22(1)(x1x2)211 (x1x2)2.又(x1x2)21，故恒为1.猜想(3)也是正确的.【变式备选】已知抛物线y2=4x，过点m(0,2)的直线l与抛物线交于a、b两点，且直线l与x轴交于点c.(1)求证:|ma|，|mc|，|mb|成等比数列；(2)设试问+是否为定值，若是，求出此定值；若不是，请说明理由【解析】(1)由题意设直线l的方程为：y=kx+2(k0)(易知k存在