广东省东莞市南开实验学校高三数学上学期第一次段考试卷 理（含解析）.doc

广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科） 一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|0x3且xn的真子集的个数是（）a16b8c7d42（5分）集合，则（）am=nbmncmndmn=3（5分）下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，使得x2+x+10则p：xr，均有x2+x+104（5分）下列四个不等式：x+2（x0）；（abc0）；（a，b，m0）；（）2恒成立的个数（）a3b2c1d05（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则+的最小值为（）a6b8c4d106（5分）设，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是（）a=bc=（0）d7（5分）若存在实数x使|xa|+|x1|3成立，则实数a的取值范围是（）a1a3b1a3c2a4d2a48（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）a2b2cd二、填空题（56=30）9（5分）若不等式|xa|1的解集为x|1x3，则实数a的值为10（5分）执行如图的程序框图，若输出s=7，则输入k（kn*）的值为11（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是12（5分）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=13（5分）已知ar，若关于x的方程x22x+|a+1|+|a|=0有实根，则a的取值范围是14（5分）函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，则实数a的范围是三、解答题（12+12+14+14+14+14=80，请书写规范答题过程）15（12分）已知集合a=x|x2+x60，b=x|x26x+50，c=x|m1x2m（）求ab，（ra）b； （）若bc=c，求实数m的取值范围16（12分）（文科）设函数f（x）=x22ax8a2（a0），记不等式f（x）0的解集为a（1）当a=1时，求集合a；（2）若（1，1）a，求实数a的取值范围17（14分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）22，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间18（14分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）19（14分）已知椭圆+=1（a1）的左右焦点为f1，f2，抛物线c：y2=2px以f2为焦点且与椭圆相交于点m（x1，y1）、n（x2，y2），点m在x轴上方，直线f1m与抛物线c相切（1）求抛物线c的方程和点m、n的坐标；（2）设a，b是抛物线c上两动点，如果直线ma，mb与y轴分别交于点p，qmpq是以mp，mq为腰的等腰三角形，探究直线ab的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由20（14分）设函数f（x）=ax3（a+b）x2+bx+c，其中a0，b，cr（1）若f（）=0，求f（x）的单调区间；（2）设m表示f（0）与f（1）两个数中的最大值，求证：当0x1时，|f（x）|m广东省东莞市南开实验学校2015届高三上学期第一次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（5分）设集合a=x|0x3且xn的真子集的个数是（）a16b8c7d4考点：子集与真子集 专题：阅读型分析：由集合a=x|0x3且xn，根据真子集的定义即可得出答案解答：解：集合a=x|0x3且xn=0，1，2，集合a的真子集是：，0，1，2，0，1，0，2，1，2，共有7个，故选c点评：本题考查了集合的子集，属于基础题，关键是掌握真子集的定义2（5分）集合，则（）am=nbmncmndmn=考点：集合的包含关系判断及应用 分析：首先分析m、n的元素，变形其表达式，使分母相同，观察分析其分子间的关系，即可得答案解答：解：对于m的元素，有x=，其分子为的奇数倍；对于n的元素，有x=，其分子为的整数倍；分析易得，mn；故选c点评：本题考查集合的包含关系的判断，注意先化简元素的表达式，进而找其间的关系3（5分）下列有关命题的说法错误的是（）a命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”b“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件c若pq为假命题，则p、q均为假命题d对于命题p：xr，使得x2+x+10则p：xr，均有x2+x+10考点：命题的真假判断与应用；四种命题间的逆否关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：综合题分析：根据四种命题的定义，我们可以判断a的真假；根据充要条件的定义，我们可以判断b的真假；根据复合命题的真值表，我们可以判断c的真假；根据特称命题的否定方法，我们可以判断d的真假，进而得到答案解答：解：命题“若x23x+2=0则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”故a为真命题；“x=1”是“x23x+2=0”的充分不必要条件故b为真命题；若pq为假命题，则p、q存在至少一个假命题，但p、q不一定均为假命题，故c为假命题；命题p：xr，使得x2+x+10则非p：xr，均有x2+x+10，故d为真命题；故选c点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，四种命题间的逆否关系，充要条件，是对简单逻辑综合的考查，属于简单题型4（5分）下列四个不等式：x+2（x0）；（abc0）；（a，b，m0）；（）2恒成立的个数（）a3b2c1d0考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：中当x0时，不等式不成立；利用不等式的性质推断恒成立；取ab时，不等式不成立利用作差法可证明解答：当x0时，x+0，不等式不成立；abc0，故恒成立；假设不等式成立，则不等式等价于ab+bmab+am，等价于bmam，等价于ba，若ab则不等式不成立；（）2=0，（）2恒成立故恒成立的结论是，故选：b点评：本题主要考查了基本不等式的应用考查了学生分析和推理的能力5（5分）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点a，若点a在直线mx+ny+1=0上，其中m，n0，则+的最小值为（）a6b8c4d10考点：基本不等式 专题：不等式的解法及应用分析：利用对数函数的性质可得：函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点a（2，1），把点a代入直线mx+ny+1=0，2m+n=1再利用“乘1法”和基本不等式的性质即可得出解答：解：函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点a（2，1），把点a代入直线mx+ny+1=0，可得2mn+1=0，化为2m+n=1m，n0，+=（2m+n）=4+4+2=8，当且仅当n=2m=时取等号+的最小值为8故选：b点评：本题考查了对数函数的性质、“乘1法”和基本不等式的性质，考查了推理能力和计算能力，属于中档题6（5分）设，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是（）a=bc=（0）d考点：平面向量数量积的运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：平面向量及应用分析：利用向量的数量积求出两个向量的夹角即可推出结果解答：解：，是两个非零向量，则=|，=|cos=|，cos=1，是两个非零向量，则使=|成立的一个必要非充分条件是故选：d点评：本题考查向量的数量积以及充要条件的判定，基本知识的应用7（5分）若存在实数x使|xa|+|x1|3成立，则实数a的取值范围是（）a1a3b1a3c2a4d2a4考点：绝对值不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：利用绝对值三角不等式可得3|xa|+|x1|（xa）（x1）|=|a1|，从而可得实数a的取值范围解答：解：3|xa|+|x1|（xa）（x1）|=|a1|，3a13，解得：2a4故选：d点评：本题考查绝对值不等式的解法，利用绝对值三角不等式得到|a1|3是关键，考查等价转化思想与运算求解能力，属于中档题8（5分）若x，y满足且z=yx的最小值为4，则k的值为（）a2b2cd考点：简单线性规划 专题：数形结合；不等式的解法及应用分析：对不等式组中的kxy+20讨论，当k0时，可行域内没有使目标函数z=yx取得最小值的最优解，k0时，若直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的左边，z=yx的最小值为2，不合题意，由此结合约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，由图得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案解答：解：对不等式组中的kxy+20讨论，可知直线kxy+2=0与x轴的交点在x+y2=0与x轴的交点的右边，故由约束条件作出可行域如图，由kxy+2=0，得x=，b（）由z=yx得y=x+z由图可知，当直线y=x+z过b（）时直线在y轴上的截距最小，即z最小此时，解得：k=故选：d点评：本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题二、填空题（56=30）9（5分）若不等式|xa|1的解集为x|1x3，则实数a的值为2考点：绝对值不等式的解法 专题：计算题；不等式的解法及应用分析：解绝对值不等式|xa|1，可求得其解为a1xa+1，依题意知，a1=1且a+1=3，从而可得实数a的值解答：解：|xa|1，1xa1，a1xa+1，不等式|xa|1的解集为x|a1xa+1，不等式|xa|1的解集为x|1x3，a1=1且a+1=3，解得：a=2故答案为：2点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查等价转化思想与方程思想的应用，属于中档题10（5分）执行如图的程序框图，若输出s=7，则输入k（kn*）的值为3考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：根据框图的流程依次计算运行的结果，直到输出s=7时，确定此时的n值，从而确定条件nk的k值解答：解：由程序框图知，程序第一次运行n=1，s=0+211=1；第二次运行n=1+1=2，s=1+21=3；第三次运行n=3，s=1+21+22=7输出s=7，程序运行终止时n=3，又不满足条件nk时输出s，k=3，故答案为：3点评：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程依次计算运行的结果是解答此类问题的常用方法11（5分）一个四棱锥的底面为菱形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是4考点：由三视图求面积、体积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：根据三视图判断得几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，根据正视图可得高为=3，由底面为菱形，求出底面面积代入棱锥的体积公式计算解答：解：由三视图知几何体为四棱锥，且四棱锥的一条侧棱垂直于底面，由正视图可得高为=3，底面为菱形，对角线互相垂直平分，底面面积s=241=4，几何体的体积v=43=4故答案为：4点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断三视图的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键12（5分）设为锐角，若cos（）=，则sin（）=考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 专题：三角函数的求值分析：根据题意求得sin（+）=，再根据sin（）=sin（+），再利用两角差的正弦公式计算求得结果解答：解：为锐角，cos（）=为正数，+是锐角，sin（+）=，sin（）=sin（+）=sin（+）coscos（+）sin=，故答案为：点评：本题着重考查了两角和与差的正弦公式，考查了三角函数中的恒等变换应用，属于中档题13（5分）已知ar，若关于x的方程x22x+|a+1|+|a|=0有实根，则a的取值范围是1，0考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：分a1，1a0，a0三种情况进行分类讨论，由此能求出a的取值范围解答：解：当a1时，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x2a1=0，=4+8a+40，解得a1，不成立；当1a0时，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x+2a+1=0，=48a40，解得a0，1a0；当a0时，x22x+|a+1|+|a|=0等价于：x22x+2a+1=0，=48a40，解得a0，不成立综上，a的取值范围是1，0故答案为：1，0点评：本题考查a的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质和绝对值意义的合理运用14（5分）函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，则实数a的范围是1a考点：对数函数的图像与性质 专题：函数的性质及应用分析：由题意可得x2ax+10在2，+）恒成立，当a1时，应有 ，或由此求得a的范围当0a1时，由题意可得，对数的真数 x2ax+2在2，+）上的范围为（0，1），由，求得a的范围，综合可得结论解答：解：由函数y=loga（x2ax+2）在2，+）恒为正，可得x2ax+21，即x2ax+10在2，+）恒成立，当a1时，应有 ，或解求得a，解求得1a当0a1时，由题意可得，对数的真数 x2ax+2在2，+）上的范围为（0，1），此时，0，由，求得a综上可得，实数a的范围为（1，）点评：本题主要考查对数函数的图象和性质，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题三、解答题（12+12+14+14+14+14=80，请书写规范答题过程）15（12分）已知集合a=x|x2+x60，b=x|x26x+50，c=x|m1x2m（）求ab，（ra）b； （）若bc=c，求实数m的取值范围考点：交、并、补集的混合运算；集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：（）求出a与b中不等式的解集确定出a与b，求出a与b的交集，求出a补集与b的并集即可； （）根据b与c的交集为c，得到c为b的子集，分c为空集与不为空集两种情况考虑，求出m的范围即可解答：解：（）a=x|x3或x2，b=x|1x5，ab=x|2x5，ra=x|3x2，则（ra）b=x|3x5； （）bc=c，cb，当c=时，则有m12m，即m1；当c时，则有，解得：2m，综上，m的取值范围是（，1）（2，）点评：此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键16（12分）（文科）设函数f（x）=x22ax8a2（a0），记不等式f（x）0的解集为a（1）当a=1时，求集合a；（2）若（1，1）a，求实数a的取值范围考点：集合的包含关系判断及应用 专题：集合分析：（1）当a=1时，f（x）=x22x8，不等式x22x80，化为（x4）（x+2）0，解出即可（2）由x22ax8a20，可得（x4a）（x+2a）0，由于a0，可得2ax4a，即a=2a，4a由于（1，1）a，可得，解得即可解答：解：（1）当a=1时，f（x）=x22x8，由不等式x22x80，化为（x4）（x+2）0，解得2x4，集合a=x|2x4（2）x22ax8a20，（x4a）（x+2a）0，又a0，2ax4a，a=2a，4a又（1，1）a，解得，实数a的取值范围是点评：本题考查了一元二次不等式的解法、集合之间的关系，考查了推理能力和计算能力，属于中档题17（14分）已知函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点（，0）（1）求实数a的值；（2）设g（x）=f（x）22，求函数g（x）的最小正周期与单调递增区间考点：函数y=asin（x+）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法 专题：函数的性质及应用分析：（1）根据函数f（x）的图象经过点，可得，由此求得a的值（2）由（1）得，利用三角恒等变换化简g（x）=f（x）22的解析式为，可得函数的最小正周期令2k2x+2k+，kz，求得x的范围，可得函数的增区间解答：解：（1）函数f（x）=sinx+acosx的图象经过点，即，即，解得（2）由（1）得g（x）=f（x）22=函数的最小正周期为函数y=sinx的单调递增区间为（kz），令2k2x+2k+，kz，求得 kxk+，函数的单调递增区间为（kz）点评：本题主要考查三角函数图象的周期性、单调性、同角三角函数的基本关系和三角函数倍角公式等等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力，属于中档题18（14分）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）考点：离散型随机变量的期望与方差；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列 专题：概率与统计分析：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为a1，a2，a3，由已知a1，a2，a3相互独立，由此能求出乙，丙各自能被聘用的概率（2）的可能取值为1，3分别求出p（=1）和p（=3），由此能求出的分布列和数学期望解答：解：（1）记甲，乙，丙各自能被聘用的事件分别为a1，a2，a3，由已知a1，a2，a3相互独立，且满足解得，乙，丙各自能被聘用的概率分别为，（2）的可能取值为1，3=p（a1）p（a2）p（a3）+1p（a1）1p（a2）1p（a3）=p（=1）=1p（=3）=的分布列为13p点评：本小题主要考查相互独立事件、解方程、随机变量的分布列与均值（数学期望）等知识，考查或然与必然的数学思想方法，以及数据处理能力、运算求解能力和应用意识19（14分）已知椭圆+=1（a1）的左右焦点为f1，f2，抛物线c：y2=2px以f2为焦点且与椭圆相交于点m（x1，y1）、n（x2，y2），点m在x轴上方，直线f1m与抛物线c相切（1）求抛物线c的方程和点m、n的坐标；（2）设a，b是抛物线c上两动点，如果直线ma，mb与y轴分别交于点p，qmpq是以mp，mq为腰的等腰三角形，探究直线ab的斜率是否为定值？若是求出这个定值，若不是说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；抛物线的标准方程 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）由c2=a2b2即可得到椭圆的焦点，进而得到p即抛物线的方程，设点m的坐标写出方程，与抛物线的方程联立，消去一个未知数得到关于另一个未知数的一元二次方程，由相切得到判别式=0即可求出；（2）设a，b即可表示出kma，kmb，由mpq是以mp，mq为腰的等腰三角形，可得kma=kmb进而可证明kab为定值解答：解：（1）由椭圆方程得半焦距=1椭圆焦点为f1（1，0），f2（1，0）又抛物线c的焦点为，解得p=2抛物线c的方程：y2=4x点m（x1，y1）在抛物线c上，直线f1m的方程为代入抛物线c得，即f1m与抛物线c相切，=0，x1=1m、n的坐标分别为（1，2）、（1，2） （2）直线ab的斜率为定值1证明如下：设a，b则=，同理，mpq是以mp，mq为腰的等腰三角形，kma=kmb即，化为y1+y2+4=0得y1+y2=4kab=1所以直线ab的斜率为定值1点评：熟练掌握椭圆、抛物