【全程复习方略】高中数学 1.1 回归分析的基本思想及其初步应用课时提升作业 新人教A版选修12 (1).doc

回归分析的基本思想及其初步应用一、选择题(每小题3分,共12分)1.(2014渭南高二检测)已知x与y之间的几组数据如下表:x0134y1469则y与x的线性回归方程=x+过点()a.(0,1)b.(1,4)c.(2,5) d.(5,9)【解析】选c.因为x=0+1+3+44=2,y=1+4+6+94=5,所以根据线性回归方程必过样本中心点,可得=x+必过(2,5).【变式训练】(2014石家庄高二检测)已知一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),(xn,yn)其样本点的中心为(2,3),若其回归直线的斜率估计值为-1.2,则该回归直线方程为()a.=1.2x+2b.=1.2x+3c.=-1.2x+5.4d.=-1.2x+0.6【解析】选c.由题意可设回归直线为=-1.2x+,由于回归直线过样本中心(2,3),故有3=-1.22+,解得=5.4,故回归直线方程为=-1.2x+5.4.2.下列三个命题:(1)随机误差e是衡量预报精确度的一个量,它满足e(e)=0.(2)残差平方和越小的模型,拟合的效果越好.(3)用相关指数r2来刻画回归的效果时,r2的值越小,说明模型拟合的效果越好.其中真命题的个数有()a.0b.1c.2d.3【解析】选c.(1)(2)是正确的,(3)中r2越接近1,拟合效果越好,所以(3)错误,故选c.3.(2014济南高二检测)某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表广告费用x/元4235销售额y/万元49263954根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为()a.63.6万元b.65.5万元c.67.7万元d.72.0万元【解题指南】先求出所给数据的平均数,利用回归方程过样本点的中心求出即得回归方程,然后将自变量为6代入即可.【解析】选b.因为x=4+2+3+54=3.5,y=49+26+39+544=42,由数据的样本点的中心在回归直线上且回归方程中的=9.4,所以42=9.43.5+,即=9.1,所以线性回归方程是=9.4x+9.1,所以当广告费为6万元时=9.46+9.1=65.5.4.(2013福建高考)已知x与y之间的几组数据如下表:x123456y021334假设根据上表数据所得线性回归直线方程为=x+,若某同学根据上表中的前两组数据1,0和2,2求得的直线方程为y=bx+a,则以下结论正确的是 ()a.b,ab.b,ac.ad.b,a.二、填空题(每小题4分,共8分)5.如果散点图中的所有的点都在一条直线上,则残差为,残差平方和为,相关指数为.【解析】因为散点图中的所有的点都在一条直线上,所以yi=,相应的残差=yi-=0,残差平方和.相关指数r2=1-=1-0=1.答案:001【变式训练】(2014蚌埠高二检测)已知方程=0.85x-85.7是根据女大学生的身高预报体重的回归方程,其中x,的单位分别是cm,kg,则该方程在样本(165,57)处的残差是.【解题指南】明确残差的含义,计算出便得(165,57)处的残差.【解析】当x=165时,=0.85165-85.7=54.55,所以方程在样本(165,57)处的残差是57-54.55=2.45.答案:2.456.关于x与y有如下数据:x24568y3040605070为了对x,y两个变量进行统计分析,现有以下两种线性模型:甲=6.5x+17.5,乙=7x+17,则模型(填“甲”或“乙”)拟合的效果更好.【解题指南】分别计算两个函数模型所对应的r2,通过比较r12与r22的大小来说明哪个函数模型拟合较好.【解析】模型甲可得yi-与yi-y的关系如下表:yi-0.5-3.510-6.50.5yi-y-20-1010020所以i=15(yi-)2=(-0.5)2+(-3.5)2+102+(-6.5)2+0.52=155,i=15(yi-y)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000,所以r12=1-=1-1551 000=0.845.由模型乙可得yi-与yi-y的关系如下表yi-1-58-9-3yi-y-20-1010020所以i=15(yi-)2=(-1)2+(-5)2+82+(-9)2+(-3)2=180,i=15(yi-y)2=(-20)2+(-10)2+102+02+202=1000,所以r22=1-=1-1801 000=0.82,由r12=0.845,r22=0.82知r12r22,所以模型甲的拟合效果比较好.答案:甲三、解答题(每小题10分,共20分)7.在一段时间内,某种商品的价格x(万元)和需求量y(t)之间的一组数据为:价格x1.41.61.822.2需求量y1210753(1)画出散点图.(2)求y对x的回归方程.(3)若价格定为1.9万元,则预测需求量大约是多少?(精确到0.01t)【解析】(1)如图所示.(2)列表如下:序号xiyixi2xiyi11.4121.9616.821.6102.561631.873.2412.642541052.234.846.6所以x=159=1.8,y=1537=7.4,i=15xiyi=62,i=15xi2=16.6,所以=i=15xiyi-5xyi=15xi2-5x2=62-51.87.416.6-51.82=-11.5,=y-x=7.4+11.51.8=28.1,故y对x的回归方程为=+x=28.1-11.5x.(3)当x=1.9时,=28.1-11.51.9=6.25,所以价格定为1.9万元时,需求量大约是6.25t.8.(2014潍坊高二检测)某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关,经统计得到数据如下:x123510203050100200y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数1x之间是否具有线性相关关系,如有,求出y对x的回归方程.【解析】把1x置换为z,则有z=1x,从而z与y的数据为:z10.50.3330.20.10.050.0330.020.010.005y10.155.524.082.852.111.621.411.301.211.15所以z=110(1+0.5+0.333+0.005)=0.2251,y=110(10.15+5.52+4.08+1.15)=3.14,i=110zi2=12+0.52+0.3332+0.012+0.0052=1.415003,i=110yi2=10.152+5.522+1.212+1.152=171.803,i=110ziyi=110.15+0.55.52+0.0051.15=15.22102,所以r=i=110ziyi-10zyi=110zi2-10z2i=110yi2-10y20.999 8.因为|r|0.99980.75,所以z对y具有很强的线性相关关系,所以=i=110ziyi-10zyi=110zi2-10z28.976,=y-z1.120,所以所求的z与y的回归方程为=8.976z+1.120.又z=1x,所以=8.976x+1.120.一、选择题(每小题4分,共12分)1.甲、乙、丙、丁4位同学各自对a,b两变量做回归分析,分别得到散点图与残差平方和i=1n(yi-)2如下表:甲乙丙丁散点图残差平方和115106124103哪位同学的试验结果体现拟合a,b两变量关系的模型拟合精度高?()a.甲b.乙c.丙d.丁【解析】选d.残差平方和越小的模型拟合精度越高.2.(2013湖北高考)四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系,并求得回归直线方程,分别得到以下四个结论:y与x负相关且=2.347x-6.423;y与x负相关且=-3.476x+5.648;y与x正相关且=5.437x+8.493;y与x正相关且=-4.326x-4.578.其中一定不正确的结论的序号是()a.b.c.d.【解题指南】x的系数的符号决定变量x,y之间的正、负相关关系.【解析】选d.x的系数大于0为正相关,小于0为负相关.【变式训练】(2014西安高二检测)从某高中随机选取5名高三男生,其身高和体重的数据如下表所示:身高x/cm160165170175180体重y/kg6366707274根据上表可得回归直线方程=0.56x+,据此模型预报身高为172cm的高三男生的体重为()a.70.09b.70.12c.70.55d.71.05【解析】选b.先求出x=170,y=69,代入回归直线方程得=-26.2,把x=172代入回归直线方程得=70.12,故选b.3.一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了8次试验,收集数据如下:零件个数x/个1020304050607080加工时间y/分钟626875818995102108设回归直线方程为=x+,则点(,)在直线x+45y-10=0的()a.右上方b.右下方c.左上方d.左下方【解题指南】利用线性回归系数公式求出,的值,从而可确定(,)与直线x+45y-10=0的位置关系.【解析】选a.由题意,x=10+20+30+40+50+60+70+808=45,y=62+68+75+81+89+95+102+1088=85,i=18xiyi=33400,i=18xi2=20400,8x2=16200,8xy=30600,所以=33 400-30 60020 400-16 200=23,=55.因为55+4523-10=750,所以55,23在直线x+45y-10=0的右上方.故选a.二、填空题(每小题4分,共8分)4.(2014梅州高二检测)在2012年8月15日那天,某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查,5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示:价格x99.5m10.511销售量y11n865由散点图可知,销售量y与价格x之间有较强的线性相关关系,其线性回归直线方程是:=-3.2x+40,且m+n=20,则其中的n=.【解析】x=159+9.5+m+10.5+11=1540+m,y=1511+n+8+6+5=1530+n.因为其线性回归直线方程是:=-3.2x+40,所以1530+n=-3.21540+m+40,即30+n=-3.2(40+m)+200,又m+n=20,解得m=n=10.答案:105.一般来说,一个人脚掌越长,他的身高就越高,现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量,得到数据(单位均为cm)如表,作出散点图后,发现散点在一条直线附近,经计算得到一些数据:i=110(xi-x)(yi-y)=577.5,i=110(xi-x)2=82.5;某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得每个脚印长为26.5cm,则估计案发嫌疑人的身高为cm.x20212223242526272829y141148154160169175181188197202【解题指南】根据所给的数据,求得回归方程的斜率的值,代入样本中心点求出的值,得到线性回归方程,把所给的x的值代入预报得出身高.【解析】经计算得到一些数据:i=110(xi-x)(yi-y)=577.5,i=110(xi-x)2=82.5,所以回归方程的斜率=i=110(xi-x)(yi-y)i=110(xi-x)2=577.582.5=7,x=24.5,y=171.5,截距=y-x=0,即回归方程为=7x,当x=26.5,=726.5=185.5,则估计案发嫌疑人的身高为185.5cm.答案:185.5三、解答题(每小题10分,共20分)6.(2014海口高二检测)2013年,首都北京经历了59年来雾霾天气最多的一个月.经气象局统计,北京市从1月1日至1月30日这30天里有26天出现雾霾天气,环境空气质量指数(aqi)技术规定(试行)将空气质量指数分为六级;其中,中度污染(四级),指数为151200;重度污染(五级),指数为201300;严重污染(六级),指数大于300.下面表1是该观测点记录的4天里,aqi指数m与当天的空气水平可见度y(千米)的情况,表2是某气象观测点记录的北京1月1日到1月30日aqi指数频数统计结果.表1aqi指数m与当天的空气水平可见度y(千米)情况aqi指数900700300100空气可见度/千米0.53.56.59.5表2北京1月1日到1月30日aqi指数频数统计aqi指数0,200(200,400(400,600(600,800(800,1 000频数361263(1)设变量x=m100,根据表1的数据,求出y关于x的线性回归方程.(2)根据表2估计这30天aqi指数的平均值.【解析】(1)由x=m100结合图表,可得x1=9,x2=7,x3=3,x4=1,所以x=14(9+7+3+1)=5,y=14(0.5+3.5+6.5+9.5)=5,所以i=14xiyi=90.5+73.5+36.5+19.5=58,i=14xi2=92+72+32+12=140,所以=58-455140-452=-2120,=5-5-2120=414,所以y关于x的线性回归方程是=-2120x+414.(2)由表2知aqi指数的频率分别为330=0.1,630=0.2,1230=0.4,630=0.2,330=0.1,故这30天aqi指数的平均值为:1000.1+3000.2+5000.4+7000.2+9000.1=500.【变式训练】设三组实验数据(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)的回归直线方程是:=x+,使代数式y1-(x1+)2+y2-(x2+)2+y3-(x3+)2的值最小时,=y-x,=x1y1+x2y2+x3y3-3xyx12+x22+x32-3x2,(x,y分别是这三组数据的横、纵坐标的平均数)若有七组数据列表如下:x2345678y4656.287.18.6(1)求上表中前三组数据的回归直线方程.(2)若|y1-(x1+)|0.2,即称(x1,y1)为(1)中回归直线的拟合“好点”,求后四组数据中拟合“好点”的概率.【解题指南】(1)根据所给的数据得出x与y的平均数,代入求线性回归方程系数的公式,利用最小二乘法做出结果,把样本中心点代入求出的值,写出线性回归方程.(2)本题是一个古典概型,试验发生包含的事件个数是4:检验出符合好点的数据,根据所给的表示式检验出符合条件的事件数,根据古典概型概率公式得到结果.【解析