山东省威海市文登市高三数学上学期期中试题 文（含解析）.doc

2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（文科） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知集合a=x|a2xa+2，b=x|x2或x4，则ab=的充要条件是（）a0a2b2a2c0a2d0a22设sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）a若d0，则数列sn有最大项b若数列sn有最大项，则d0c若数列sn是递增数列，则对任意nn*，均有sn0d若对任意nn*，均有sn0，则数列sn是递增数列3给出下面四个命题：p1：x（0，+），；p2：x（0，1），p3：x（0，+），；p4：x（0，），x，其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p44将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ax=bx=cx=dx=5若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）abc6d56函数f（x）=的大致图象为（）abcd7x，y满足约束条件，若z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）a或1b1或c2或1d2或18已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=ax（a0，a1），且f（log4）=，则a的值为（）ab3c9d9abc中，a=90，ab=2，ac=1，设点p，q满足=，=（1），r若=2，则=（）abcd210对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn则在此定义下，集合m=（a，b）|ab=16中的元素个数是（）a18b17c16d15二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11设平面向量=（1，2），=（2，y）若，则|3+|等于12已知sin（+x）=，则sin2x的值为13若等比数列an的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+lna17=14已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，当常数a2时，函数f（x）的单调递增区间为15已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinb=sinc（）求cosa的值；（）求cos（2a）的值17有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k（1k4）且kr个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=kf（x），其中y=根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用（）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？18已知=（sin（+x），cosx），=（sin（x），cosx），0，设f（x）=的最小正周期为（）求f（x）的单调增区间；（）当x（，）时，求f（x）的值域；（）求满足f（）=0且1的角的值19已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意xr，都有1xf（x），且f（x）=f（1x）（）求函数f（x）的解析式；（）若x2，2，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围20等差数列an的前n项和为sn，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中s4最大（）求an的通项公式；（）设bn=，nn*（1）求证：bn+1bn； （2）求数列b2n的前n项和tn21已知f（x）=ex+2ax（a为常数），曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线与直线xy3=0垂直（）求a的值及函数f（x）的单调区间；（）证明：当x0时，exx2；（）设f（x）=f（x）ex+1，若f（x）在（1，3）上单调递减，求实数m的取值范围2014-2015学年山东省威海市文登市高三（上）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1已知集合a=x|a2xa+2，b=x|x2或x4，则ab=的充要条件是（）a0a2b2a2c0a2d0a2考点： 必要条件、充分条件与充要条件的判断；空集的定义、性质及运算；交集及其运算专题： 计算题分析： 法一：特殊值验证法：a=0，a=2都符合，所以选a法二：一般法，数轴上作出集合，可得条件，从而解得，选a解答： 解：法一：当a=0时，符合，所以排除cd，再令a=2，符合，排除b，故选a；法二：根据题意，分析可得，解可得，0a2；故选a点评： 本题考查含参数集合交集的运算可以用多种方法，如：特殊值，数形结合法等但要注意端点等号的取得2设sn是公差为d（d0）的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是（）a若d0，则数列sn有最大项b若数列sn有最大项，则d0c若数列sn是递增数列，则对任意nn*，均有sn0d若对任意nn*，均有sn0，则数列sn是递增数列考点： 命题的真假判断与应用；数列的函数特性专题： 等差数列与等比数列；简易逻辑分析： 由题意，可根据数列的类型对数列首项的符号与公差的正负进行讨论，判断出错误选项解答： 解：a、当d0时，如果首项小于等于0，则s1即为最大项，若首项为正，则所有正项的和即为最大项，故a正确；b、若d0，数列sn为递增数列，数列sn不可能有最大项，要使前n项和有最大项，则必有公差小于0，故b正确；c、若首项为负，则有s10，故c错误；d、若数列sn为递减数列，即公差小于0，则一定存在某个实数k，当nk时，以后所有项均为负项，不能保证对任意nn*，均有sn0，因此，若要使任意nn*，均有sn0，则数列sn必须是递增数列，故d正确故选c点评： 本题以数列的函数特性为背景考查命题真假的判断，考查了分析判断推理的能力，有一定的探究性3给出下面四个命题：p1：x（0，+），；p2：x（0，1），p3：x（0，+），；p4：x（0，），x，其中的真命题是（）ap1，p3bp1，p4cp2，p3dp2，p4考点： 命题的真假判断与应用专题： 探究型；数形结合分析： 分别根据全称命题和特称命题判断真假的方法去判断四个命题p1可利用两个指数函数的图象进行判断p2可以利用对数的图象来判断p3可以利用对数和指数函数的图象来判断p4：利用指数函数和对数函数的图象来判断解答： 解：对应命题p1可，分别作出函数的图象如图：由图象 可知：x（0，+），所以命题p1错误p2：作出对数函数的图象，由图象知：x（0，1），使命题p2正确p3：作出函数的图象，由图象知命题p3不正确p4：当x（0，）时，所以恒有成立，所以命题p4正确故选d点评： 本题考查了全称命题和特称命题的真假判断，解决本题可以考虑使用数形结合的思想4将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴的方程是（）ax=bx=cx=dx=考点： 函数y=asin（x+）的图象变换分析： 根据本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y=sin（2x+），再根据正弦函数的图象的对称性，求得所得函数图象的一条对称轴的方程解答： 解：将函数y=sin（2x）图象向左平移个单位，所得函数图象对应的解析式为 y=sin2（x+）=sin（2x+）令2x+=k+，kz，求得 x=+，故函数的一条对称轴的方程是x=，故选：a点评： 本题主要考查函数y=asin（x+）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题5若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）abc6d5考点： 基本不等式专题： 不等式的解法及应用分析： 已知式子可化为=1，进而可得3x+4y=（3x+4y）（）+，由基本不等式可得解答： 解：正数x，y满足x+3y=5xy，=1，即=1，3x+4y=（3x+4y）（）=+2=5当且仅当=即x=1且y=时取等号，3x+4y的最小值为：5故选：d点评： 本题考查基本不等式，得出=1是解决问题的关键，属基础题6函数f（x）=的大致图象为（）abcd考点： 函数的图象专题： 函数的性质及应用分析： 根据函数的奇偶性和函数的单调性，即可判断函数的图象解答： 解：f（x）=f（x），且定义域关于原点对称，函数f（x）为偶函数，即函数f（x）的图象关于y轴对称，故排除a，b当x1是函数y=lg|x|为增函数，当0x1时，函数y=lg|x|为减函数，当x0，函数y=为减函数，故函数f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+）为减函数，故图象为先增后减，故排除c，故选：d点评： 本题主要考查了函数的图象的识别，关键是掌握函数的奇偶性和函数的单调性，属于基础题7x，y满足约束条件，若z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为（）a或1b1或c2或1d2或1考点： 简单线性规划专题： 不等式的解法及应用分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，得到直线y=2ax+z斜率的变化，从而求出a的取值解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分abc）由z=y2ax得y=2ax+z，即直线的截距最大，z也最大若a=0，此时y=z，此时，目标函数只在a处取得最大值，不满足条件，若a0，目标函数y=2ax+z的斜率k=2a0，要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线2xy+2=0平行，此时2a=2，即a=1若a0，目标函数y=ax+z的斜率k=a0，要使z=y2ax取得最大值的最优解不唯一，则直线y=2ax+z与直线x+y2=0，平行，此时2a=1，解得a=综上a=1或a=，故选：b点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法注意要对a进行分类讨论8已知函数f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=ax（a0，a1），且f（log4）=，则a的值为（）ab3c9d考点： 函数奇偶性的性质专题： 函数的性质及应用分析： 由于函数f（x）是奇函数，可得=f（log4）=f（2）=f（2），再利用当x0时，f（x）=ax（a0，a1），可得，解得a即可解答： 解：函数f（x）是奇函数，=f（log4）=f（2）=f（2），当x0时，f（x）=ax（a0，a1），解得a=故选：d点评： 本题考查了函数奇偶性、对数的运算性质，属于基础题9abc中，a=90，ab=2，ac=1，设点p，q满足=，=（1），r若=2，则=（）abcd2考点： 平面向量数量积的运算专题： 平面向量及应用分析： 据平面向量的线性运算，得到=（1），=，代入=2，并化简整理即可解得值解答： 解：由题意可得=0，因为=，=（1），所以=（1），=，代入=2，并化简整理得：（1）+（1）+1=2，即（1）4=2，解得 =，故选：a点评： 本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的运算10对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，mn=m+n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，mn=mn则在此定义下，集合m=（a，b）|ab=16中的元素个数是（）a18b17c16d15考点： 元素与集合关系的判断专题： 集合分析： 根据已知条件，当a，b都为正偶数或正奇数时：需满足a+b=16，a从1到16这16个数字取一个有16种取法，a一旦确定，b也唯一确定，即b有一种取法，所以（a，b）有16种取法，即构成集合m16个元素；当a=1，b=16，或1=16，b=1时则满足ab=16，即构成集合m2个元素，所以集合m有18个元素解答： 解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；（a，b）有7种取法，即这种情况下集合m有8个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；（a，b）有8种取法，即这种情况下集合m有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合m有两个元素；集合m的元素个数是7+8+2=17故选b点评： 考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分把答案填在答题卡中相应题的横线上11设平面向量=（1，2），=（2，y）若，则|3+|等于考点： 向量的加法及其几何意义分析： 先根据求出y的值，再算出3+进行求模运算解答： 解：=（1，2），=（2，y）y=43+=3（1，2）+（2，4）=（1，2）|3+|=故答案为：点评： 本题主要考查共线向量的性质和向量模的运算基础题12已知sin（+x）=，则sin2x的值为考点： 两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦专题： 三角函数的求值分析： 已知等式左边利用两角和与差的正弦函数公式化简，求出sinx+cosx的值，两边平方并利用二倍角的正弦函数公式化简即可求出sin2x值解答： 解：sin（+x）=sincosx+cossinx=（sinx+cosx）=，sinx+cosx=，两边平方得：（sinx+cosx）2=1+sin2x=，解得：sin2x=故答案为：点评： 此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及二倍角的正弦函数公式，熟练掌握公式是解本题的关键13若等比数列an的各项均为正数，且a7a11+a8a10=2e4，lna1+lna2+lna3+lna17=34考点： 等比数列的性质专题： 计算题；等差数列与等比数列分析： 接由等比数列的性质结合已知得到a8a10=e4，然后利用对数的运算性质化简后得答案解答： 解：数列an为等比数列，且a7a11+a8a10=2e4，a7a11+a8a10=2a8a10=2e4，则a8a10=e4，lna1+lna2+lna17=ln（a1a2a17）=34，故答案为：34点评： 本题考查了等比数列的运算性质，考查对数的运算性质，考查了计算能力，是基础题14已知函数f（x）=x2（a+2）x+alnx，当常数a2时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和考点： 利用导数研究函数的单调性；二次函数的性质专题： 函数的性质及应用；导数的概念及应用分析： 求出导数f（x），当a2时，在函数定义域内解不等式f（x）0即可解答： 解：（1）由f（x）=x2（a+2）x+alnx可知，函数的定义域为x|x0，且f（x）=2x（a+2）+=，因为a2，所以1当0x1或x时，f（x）0；当1x时，f（x）0，所以f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+）故答案为：（0，1）和点评： 本题考查了导数的综合应用以及讨论的数学思想；用导数求函数单调区间只要解导数大于0即可15已知函数f（x）=|x+2|+1，g（x）=kx，若f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是考点： 根的存在性及根的个数判断专题： 计算题；数形结合法；函数的性质及应用分析： 画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围解答： 解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：koa=，数形结合可得1k，故答案为：点评： 本题主要考查根的存在性及根的个数判断、考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题三、解答题：本大题共6小题，共75分.把解答写在答题卡中.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16在abc中，内角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知ac=b，sinb=sinc（）求cosa的值；（）求cos（2a）的值考点： 余弦定理；正弦定理专题： 解三角形分析： （）由正弦定理和已知可先求得，a=2c，从而由余弦定理即可求得cosa的值；（）由（i）可求得sina的值，进而可求cos2a，sin2a的值，进而由两角差的余弦公式可求cos（2a）的值解答： 解：（）在abc中，由，及，可得，又由，有a=2c，所以，（）在abc中，由，可得，所以，cos（2a）=cos2acos+sin2asin=点评： 本题主要考察了两角差的余弦公式、正弦公式、余弦公式的综合应用，属于基础题17有一种新型的洗衣液，去污速度特别快已知每投放k（1k4）且kr个单位的洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度y（克/升）随着时间x（分钟）变化的函数关系式近似为y=kf（x），其中y=根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于4（克/升）时，它才能起到有效去污的作用（）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），求k的值；（）若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？考点：分段函数的应用专题： 函数的性质及应用分析： （）若投放k个单位的洗衣液，3分钟时水中洗衣液的浓度为4（克/升），则，解得k值；（ii）由已知中y=对x进行分类讨论求出满足条件的范围，最后综合讨论结果，可得答案解答： 解：（）由题意知，解得；（3分）（）当k=4，所以y=（5分）当0x5时，由解得x1，所以1x5（8分）当5x16时，由解得：15x15所以5x15综上，1x15 （11分）故若投放4个单位的洗衣液，则有效去污时间可达14分钟 （12分）点评： 本题考查的知识点是分段函数的应用，难度不大，属于基础题，熟练掌握分段函数分段处理的原则，是解答的关键18已知=（sin（+x），cosx），=（sin（x），cosx），0，设f（x）=的最小正周期为（）求f（x）的单调增区间；（）当x（，）时，求f（x）的值域；（）求满足f（）=0且1的角的值考点： 平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法专题： 三角函数的图像与性质分析： （）利用向量数量积运算公式及两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简函数的表达式，通过正弦函数的单调递增间直接求f（x）的单调递增区间；（）通过x（，），求出相位角的范围，利用三角函数的值域直接求f（x）的值域（）由f（）=0且1得，即可得出结论解答： 解：（）=sin2xcos2x=sin（2） （1分）y=f（x）的最小正周期为t=，0，即：=，=1，f（x）=sin（2x）（2分）由，得所以f（x）的单调递增区间为（4分）（）（6分）（8分）（）f（）=0，0，（10分）（12分）点评： 本题考查向量的数量积运算及两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，三角函数的性质的应用，考查计算能力19已知二次函数f（x）=ax2+bx+c满足f（0）=1，对任意xr，都有1xf（x），且f（x）=f（1x）（）求函数f（x）的解析式；（）若x2，2，使方程f（x）+2x=f（m）成立，求实数m的取值范围考点： 函数解析式的求解及常用方法；抽象函数及其应用专题： 计算题；函数的性质及应用分析： （）由f（0）=1，得c=1，又对任意xr，f（x）=f（1x）得f（x）图象的对称轴为直线，即a=b，又对任意xr都有1xf（x），则a0，判别式不大于0，即可得到a，b，进而得到解析式；（）由x2，2，使方程f（x）+2x=f（m）成立即方程x2+x=m2m在x2，2有解令g（x）=x2+x，求出g（x）在2，2的最值，再解不等式，即可得到m的范围解答： 解：（）f（x）=ax2+bx+c（a0），f（0）=1，c=1，又对任意xr，f（x）=f（1x）f（x）图象的对称轴为直线，则，a=b，又对任意xr都有1xf（x），即ax2（a1）x0对任意xr都成立，故a=1，b=1f（x）=x2x+1； （）由f（x）+2x=f（m）得x2+x=m2m，由题意知方程x2+x=m2m在x2，2有解令，g（x）min=g（）=，g（x）max=g（2）=6，m2m6，所以满足题意的实数m取值范围2，3点评： 本题考查函数的解析式的求法：待定系数法，考查二次函数的性质，考查二次不等式的解法，属于中档题20等差数列an的前n项和为sn，已知a1=10，a2为整数，且在前n项和中s4最大（）求an的通项公式；（）设bn=，nn*（1）求证：bn+1bn； （2）求数列b2n的前n项和tn考点： 数列的求和；数列递推式专题： 等差数列与等比数列分析： （）由题意先求得d=3，即可写出通项公式；（）（1）因为，且bn的最大项为，即可证明：bn+1bn； （2），则可得=+，从而由等比数列的求和公式可得数列b2n的前n项和t